(最新)垂径定理——教案
垂径定理 【学习目标】1、掌握垂径定理及推论，并能够结合勾股定理灵活运用。2、解决圆的相关问题时，作垂直于弦的直径是最常见的辅助线。3、通过独立思考、合作探究，培养学生团队合作意识，竞争精神，使学生灵活运用所学知识解决生活中的实际问题，让学生体会数学来源于生活，又服务应用于生活 【教学重点】垂径定理及推论的灵活运用【教学难点】 探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决生活中的实际问题【课型】 新授课 【授课人】 袁 斌 【授课时间】 2013年12月13日星期五【温故知新】一、 圆的对称性：1、 当圆绕圆心旋转任意角度，都能与自身重合，这说明了圆具有 对称性。（特别的，圆是 对称图形， 是它的对称中心）2、 圆是 对称图形，任意一条直径所在的直线 都是它的对称轴。二、 圆心角、弧、弦之间的关系在同圆或等圆中：1、如果圆心角相等，那么它们所对的弧 ；所对的弦 。2、如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角 ；所对的弦 。3、如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角 ；所对的优弧 、劣弧 。袁老师温馨提醒： 在同圆或等圆中，两条弧（一般同为优弧或劣弧）、两条弦、两个圆心角 中，只要有一组量相等，那么它们所对应 的其余各组量也分别 相等。可简记为：圆心角相等劣（优）弧相等弦相等（知一推二）【情境引入】 1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m).分析：解决此问题的关键是根据赵州石拱桥的实物图画出几何图形。我们发现，赵州桥的桥拱是圆弧形，跨度是弧所对的弦的长，拱高是弧的中点到弦的距离,可以通过数学建模，将这个实际问题转化到数学圆的相关知识中去，通过解决数学问题，从而赵州石拱桥的半径也就解决出来了。【探究新知】如图，AB是O的一条弦，作直径CD，使CDAB，垂足为E（1） 这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？同学们将相等的线段和弧几乎全部找出来了，数学是一门非常严谨的学科，现在，我们要想方设法运用我们已经学过的知识来证明我们的结论是否成立。定理1：垂直于弦的直径平分这条 推论： 垂直于弦的直径平分这条弦所对的两条 。定理1和其推论合在一起即是垂径定理。垂径定理：垂直于弦的直径平分这条 并且平分这条弦所对的两条 。垂径定理的剖析：条件是 ；结论是 。垂径定理三种表示方法：1、 文字表示： 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧。2、 数学几何符号语言表示CD是O的直径，CDABAE=BE，弧AC=弧BC，弧AD=弧BD3、 图形表示（如右图）袁老师温馨提醒： 垂径定理是圆中一个重要的结论，三种语言要相互转化，形成整体，才能运用自如。下列图形符合垂径定理的条件吗？ 垂径定理是圆的轴对称性的体现，它可以进一步引申为：对于一个圆和一条直线，如果具备下列五个条件中的任意两个，那么一定具备其他三个：过圆心； 垂直于弦；平分弦； 平分弦所对的优弧； 平分弦所对的劣弧， 简称（知二得三）垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧为什么不能是直径？因为：圆的两条直径必互相平分，所以被平分的弦必须不是直径，否则结论不一定成立。【学以致用】一、 判断下列语句是否正确1、 垂直于弦的直线平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 （ 错 ）2、 经过弦的中点的直径一定垂直于弦。 （ 错 ）3、 平分弦的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的两条弧 （ 错 ）二、 解决问题例1、如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，求证：AC=BD例2、如图，已知在O中，弦AB=8cm，圆心O到AB的距离OE=3cm，求O的半径。袁老师温馨提醒：1、垂径定理经常和勾股定理结合使用。2、解决有关弦的问题时，经常构造直角三角形进行相关计算。 通常做辅助线的方法是：（1）连结半径；（2）过圆心作一条与弦垂直的线段等辅助线，为应用垂径定理创造条件。3、垂径定理的几个基本图形【小试牛刀】1、 （如图1）半径为4cm的O中，弦AB=4cm,那么圆心O到弦AB的距离OE= 。2、（如图2）O的直径为10cm，圆心O到弦AB的距离为3cm，则弦AB= 。3、 （如图3）半径为2cm的圆中，过半径中点且垂直于这条半径的弦长AB= 。4、 （如图4）在O中，弦AB=8cm，圆心O到AB的距离OC=3cm，则O的半径为 。5、 （如图5）弓形的弦长AB为24cm，弓形的高CD为8cm，则这弓形所在圆的半径为 。 （如图1） （如图2） （如图3） （如图4） （如图5）【再逛赵州石拱桥】 1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m).【奋战中考】 如图，是一个汽油桶的横截面图，在其上方有一个进油孔，该汽油桶的截面直径为50dm，此时汽油桶内液面宽度AB=40dm，现在从进油孔装进一些油后，当液面AB=48dm时，液面上升了高度是多少？【能力提升】 如图所示，MN是O的直径，半径为1，点A是半圆上的一个点，AON=60°，AON的平分线交弧AN于点B，P是直径MN上的一动点，观察图形并思考：是否存在点P，使PA+PB有最小值？若存在，则最小值是多少？【课堂小结】 请围绕以下两个方面小结本节课：1、 从知识上学习了什么？ 垂径定理及其推论2、 从方法上学习了什么？ 垂径定理和勾股定理结合。 在圆中解决与弦有关的问题时常作的辅助线 过圆心作垂直于弦的线段； 连接半径。【布置作业】 教材69页，A组1、2题4
