2022年专接本-高等数学考前拔高综合测试题(含答案带详解)第69期
2022年专接本-高等数学考前拔高综合测试题(含答案带详解)1. 单选题y=x4-2x3+1的凸区间为.( )问题1选项A.(-,0)B.(0,1)C.(1,+)D.(-,+)【答案】B【解析】【考点】本题考查一元函数微分学及其应用-导数的应用-曲线的凹凸性与拐点【解题思路】由y=x4-2x3+1y'=4x3-6x2y''=12x2-12x,令y''=12x2-12x0,则曲线y=f(x)在(a,b)内是凹的;如果在(a,b)内f'' (x)<0,则曲线y=f(x)在(a,b)内是凸的.2. 单选题设f(x)在闭区间0,1上连续,在开区间(0,1)内可导,且f(0)=f(1),则在(0,1)内曲线y=f(x)的所有切线中( )问题1选项A.至少有一条平行于x轴B.至少有一条平行于y轴C.没有一条平行于x轴D.可能有一条平行于y轴【答案】A【解析】【考点】本题考查一元微分学及其应用-微分中值定理及洛必达法则-微分中值定理【解题思路】本题主要是运用罗尔定理.因为f(x)在闭区间0,1上连续,在开区间(0,1)内可导,所以由罗尔定理可得至少存在一点(0,1),使得f' ()=0,即至少有一点处的切线的斜率为0,也就是平行于x轴.故本题选A.3. 单选题若y=2ex-x2+x+1,则y(520)=( )问题1选项A.520exB.2exC.2e520xD.0【答案】B【解析】【考点】本题考查一元函数积分学及其应用-高阶导数-常用的n阶导数公式【解题思路】常用的n阶导数公式:(ex)(n)=ex,(xm)(n)=0(正整数mx-x2+x+1,所以y(520)=2ex.故本题选B.4. 判断题使f' (x)=0的点称为函数的驻点.( )问题1选项A.对B.错【答案】A【解析】【考点】本题考查一元函数微分学及其应用-导数的应用-函数的单调性与极值-函数极值的判定定理【解题思路】由驻点的定义知该结论正确.故本题选A.【点拨】如果x0是函数f(x)的极值点,则f' (x0)=0或者f' (x0)不存在推论 如果函数f(x)在点x0处可导,且在x0处取得极值,则f' (x0)=0.驻点定义:如果f' (x0)=0,则称x0为函数f(x)的驻点.5. 单选题已知f(x)的定义域为1,e,则f(ex)的定义域为( )问题1选项A.(0,1B.0,1C.(0,1)D.0,1)【答案】B【解析】【考点】本题考查函数、极限与连续-函数-函数的概念【解题思路】涉及了复合函数的定义域.因为f(x)的定义域为1,e,所以1exe,解得0x1,所以f(ex)的定义域为0,1.故本题选B.6. 判断题 dF(x) =F(x).( )问题1选项A.对B.错【答案】B【解析】【考点】本题考查一元函数积分学及其应用-不定积分-不定积分的概念及其性质-不定积分的性质【解题思路】 dF(x) =F(x)+C.故本题选B.【点拨】不定积分的性质:设函数f(x)及g(x)的原函数存在,则 f(x)±g(x) dx= f(x) dx± g(x) dx.设函数f(x)的原函数存在,k为非零常数,则 kf(x) dx=k f(x) dx.设函数f(x)的原函数存在,则( f(x) dx)'=f(x);d f(x) dx=f(x)dx.设函数f(x)可导,则 f' (x) dx=f(x)+C; df(x) =f(x)+C.7. 填空题通解为y=C1 e-x+C2 e3x(C1,C2为任意常数)的二阶线性常系数齐次微分方程为( ).【答案】【答案】y''-2y'-3y=0【解析】【解题思路】本题考查常微分方程-二阶常系数线性微分方程-二阶常系数线性齐次微分方程的解法。因为二阶线性常系数齐次微分方程方程通解为y=C1 e-x+C2 e3x,故其特征方程为(r+1)(r-3)=0r2-2r-3=0,故该方程为y''-2y'-3y=0。8. 单选题过曲线y=xlnx上M0点的切线平行于直线y=2x+1,则切点M0的坐标是( )问题1选项A.(1,0)B.(e,0)C.(e,1)D.(e,e)【答案】D【解析】【考点】本题考查一元微分学及其应用-导数的概念-导数的几何意义【解题思路】函数y=f(x)在点x0处的导数f' (x0 )存在,在几何上表明曲线y=f(x)在点(x0,f(x0 ))处存在切线,切线斜率为f' (x0).设M0坐标为(x0,y0),y'=lnx+1,因为过曲线y=xlnx上M0点的切线平行于直线y=2x+1,所以y' (x_0 )=lnx0+1=2,解得x0=e,所以y0=x0 lnx0=e,因此M0坐标为(e,e).故本题选D.9. 多选题下列是微分方程的是( )问题1选项A.x2+y2=RB.(y' )2+3y=0C.D.y''=ex-y【答案】B;C;D【解析】【考点】本题考查一元函数微分学及其应用-导数的概念与性质-导数的性质与运算-基本初等函数导数公式【解题思路】选项A:显然,该方程中不含有未知函数与未知函数的导数和微分,故该方程不是微分方程;选项B:显然该方程中含有未知函数的导数y',所以该方程是微分方程;选项C:显然该方程中含有未知函数的微分dy,所以该方程是微分方程;选项D:显然该方程中含有未知函数的高阶导数y'',所以该方程是微分方程.故本题选BCD.【点拨】微分方程:表示未知函数、未知函数的导数或微分与自变量之间的关系的方程.如果微分方程中的未知函数仅有一个自变量,这样的微分方程称为常微分方程.否则,称为偏微分方程.10. 单选题微分方程y'''+2y''+y'+ex=1的通解中任意常数的个数为( )问题1选项A.0B.1C.2D.3【答案】D【解析】【考点】本题考查常微分方程-微分方程的基本概念-微分方程的解-通解【解题思路】因为微分方程y'''+2y''+y'+ex=1中未知函数最高阶导数为y''',所以该微分方程为3阶微分方程,故其通解中任意常数个数为3.故本题选D.【点拨】微分方程的解:代入微分方程后能使方程成为恒等式的函数y=f(x).特解:不含任意常数的解.微分方程的通解:解中所含任意常数相互独立,且阶数与方程阶数相同.11. 单选题设函数y=f(x)在(-,+)内连续,其二阶导数f'' (x)的图形如图所示,则曲线y=f(x)的拐点的个数为( )问题1选项A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】D【解析】【考点】本题考查一元微分学及其应用-导数的应用-曲线的凹凸性与拐点【解题思路】对于函数f(x)的定义域内的任何一点x0,若在该点的两端f'' (x)符号发生变化,则该点即为拐点.图中f'' (x)=0的三点处满足拐点的条件,此外还有原点处也满足拐点的条件,因此共有4个拐点.故本题选D.12. 判断题方程x3-3x+1=0在区间-1,1上有3个实根.( )问题1选项A.对B.错【答案】B【解析】【考点】本题考查一元函数微分学及其应用-导数的应用-函数的单调性与极值-判断函数的单调性【解题思路】令f(x)=x3-3x+1,对任意x-1,1,都有f' (x)=3x2-30,所以f(x)单调递减,故其在-1,1内最多有一个零点,即方程x3-3x+1=0在区间-1,1上最多有一个实根.故本题选B.【点拨】设函数f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,则有如果在(a,b)内f' (x)>0,则函数在a,b内单调增加;如果在(a,b)内f' (x)<0,则函数在a,b内单调减少.13. 问答题已知血液浓度C关于时间t的函数为C(t)=0.03t+0.04t2-0.004t3,求时间t为多少时血液浓度最大?(提示:).【答案】解:因为C(t)=0.03t+0.04t2-0.004t3,所以C' (t)=0.03+0.08t-0.012t2,令C' (t)=0,解得t17.02,t2-0.35(舍去),当00,当t>7.02时,C' (t)【考点】本题考查一元函数微分学及其应用-导数的应用-函数最值的判定【点拨】实际问题中求最值的方法:(1)根据实际问题建立目标函数,(2)对目标函数在指定的区间内求导,并求驻点、不可导点,(3)求目标函数的极值,通过极值比较获得最值.14. 问答题某公司的甲、乙两厂生产同一种产品,月产量分别是x、y(千件),甲厂的月生产成本是C1=x2-2x+5(千元),乙厂的月生产成本是C2=y2+2y+3(千元).若要求该产品每月总产量为8千件,并使总体成本最小,求甲、乙两工厂的最优产量和相应的最小成本.【答案】解:总成本L(x)=x2-2x+5+(8-x)2+2(8-x)+3=2x2-20x+88,L' (x)=4x-20,L'' (x)=4,令L' (x)=0,即4x-20=0x=5,故x=5为L(x)的唯一极小值点,又由实际问题必有最小值知L(x)在x=5取最小值L(5)=2×52-20×5+88=38,y=8-x=8-5=3。故甲工厂最优产量为5千元,乙工厂最优产量为3千元,最小成本为38000元。【解析】【解题思路】本题考查一元函数微分学及其应用-导数的应用-函数的单调性与极值。15. 填空题曲线y=x3-3x2+2x-1的拐点为( )。【答案】【答案】(1,-1)【解析】【解题思路】本题考查一元函数微分学及其应用-导数的应用-曲线的凹凸性与拐点。y'=3x2-6x+2,y''=6x-6,令y''=06x-6=0x=1,y=13-3×12+2×1-1=-1,故其拐点为(1,-1)。16. 单选题已知y=xex,则dy=( )问题1选项A.xexdxB.exdxC.(1+x)exdxD.(ex+x)dx【答案】C【解析】【考点】本题考查一元函数微分学及其应用-函数的微分-微分的运算【解题思路】因为y'=ex+xex,所以dy=(ex+xex )dx=(1+x)ex dx.故本题选C.17. 填空题若f(x+1)=2x+3,则f(f(x)-3)=( )【答案】【答案】4x-3【解析】【考点】本题考查函数、极限与连续-函数-函数的四则运算与复合运算【解题思路】本题要根据复合运算求出f(x)的表达式.因为f(x+1)=2x+3=2x+2+1=2(x+1)+1,所以f(x)=2x+1,因此f(