2024届高考数学挑战模拟卷 【全国卷（理科）】(含答案)

2024届高考数学挑战模拟卷 【全国卷（理科）】学校：_姓名：_班级：_考号：_一、选择题1已知集合,则( )A.B.C.D.2复数（其中i为虚数单位），则( )A.B.2C.D.53如图是甲,乙两人高考前10次数学模拟成绩的折线图,则下列说法错误的是( )A.甲的数学成绩最后3次逐渐升高B.甲的数学成绩在130分以上的次数多于乙的数学成绩在130分以上的次数C.甲有5次考试成绩比乙高D.甲数学成绩的极差小于乙数学成绩的极差4记为等差数列的前n项和,若,则( )A.28B.30C.32D.365已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C在第一、四象限分别交于点A，B，与圆相切，则的值等于( )A.B.C.D.6从2，3，4三个数中任选2个，分别作为圆柱的高和底面半径，则此圆柱的体积大于的概率为( )A.B.C.D.7若，则( )A.B.C.或-1D.或18九章算术·商功中记载：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，不易之率也.”我们可以翻译为：取一长方体，分成两个一模一样的直三棱柱，直三棱柱称为“堑堵”；再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得一个四棱锥和一个三棱锥，这个四棱锥称为“阳马”，这个三棱锥称为“鳖臑”.某“阳马”的三视图如图所示，则它最长侧棱的值是( )A.1B.2C.D.9定义：若，则称是函数的k倍伸缩仿周期函数.设，且是的2倍伸缩仿周期函数.若对于任意的，都有，则实数m的最大值为( )A.12B.C.D.10在正四棱台中，则该正四棱台的外接球的体积为( )A.B.C.D.11若，则( )A.B.C.D.12在公差不为零的等差数列中，且，成等比数列，设数列的前n项和为，则( )A.B.C.D.二、填空题13函数的图象在点处的切线方程是_.14已知向量，则_.15过双曲线右焦点F作直线l,且直线l与双曲线C的一条渐近线垂直,垂足为A,直线l与另一条渐近线交于点B.且点A,B位于x轴的异侧,O为坐标原点,若的内切圆的半径为,则双曲线C的离心率为_.16已知函数有正零点,则正实数a的取值范围为_三、解答题17在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，.（1）求的面积；（2）证明：是钝角三角形.18如图，在直四棱柱中，底面ABCD是直角梯形，且.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.19某地区在一次考试后，从全体考生中随机抽取44名，获取他们本次考试的数学成绩x（单位：分）和物理成绩y（单位：分），绘制成如下散点图：根据散点图可以看出y与x之间具有线性相关关系，但图中有两个异常点A，B.经调查得知，A考生由于感冒导致物理考试发挥失常，B考生因故未能参加物理考试.为了使分析结果更科学准确，剔除这两组数据后，对剩下的数据进行处理，得到一些统计量的值：，其中，分别表示这42名同学的数学成绩、物理成绩，.y与x的相关系数.（1）若不剔除A，B两名考生的数据，用44组数据作回归分析，设此时y与x的相关系数为，试判断与r的大小关系，并说明理由；（2）求y关于x的线性回归方程（精确到0.01），如果B考生参加了这次物理考试（已知B考生的数学成绩为125分），估计B考生的物理成绩是多少（精确到个位）；（3）从概率统计规律看，本次考试该地区的物理成绩.以剔除异常数据后的物理成绩作为样本，用样本平均数作为的估计值，用样本方差作为的估计值.试求该地区5000名考生中，物理成绩在区间内的人数Z的数学期望.（精确到个位）附：线性回归方程中，.若，则，.20在平面直角坐标系中,椭圆的离心率为,直线被C截得的线段长为.(1)求C的方程;(2)已知直线与圆相切,且与C相交于M,N两点,F为C的右焦点,求的周长L的取值范围.21已知函数,.（1）讨论的单调性;（2）若函数有两个零点,.（i）求m的取值范围;（ii）求证：.22在平面直角坐标系xOy中,曲线的参数方程为(为参数).以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,取相同的长度单位,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线交于O,A两点,与曲线交于O,B两点,当取得最大值时,求直线l的直角坐标方程.23已知函数.（1）解不等式;（2）设函数,若函数与的图象无公共点,求参数m的取值范围.参考答案1答案：B解析：由,则,故选B.2答案：A解析：，则.故选：A.3答案：C解析：对于A,由折线图可知最后三次数学成绩逐渐升高,故A说法正确;对于B,甲的数学成绩在130分以上的次数为6次,乙的数学成绩在130分以上的次数为5次,故B说法正确;对于C,甲有7次考试成绩比乙高,故C的说法错误;对于D,由折线图可知,甲乙两人的数学成绩的最高成绩相同,甲的最低成绩为120分,乙的最低成绩为110分,因此甲数学成绩的极差小于乙数学成绩的极差,D说法正确,故选:C4答案：D解析：因为为等差数列的前n项和,所以.故选:D.5答案：D解析：直线l的斜率存在，设为k，直线l过点，得直线l的方程为，即.由直线l与圆相切，得，解得，不妨取，设，易知，联立消去y整理得，则，则，故选D.6答案：B解析：从2，3，4三个数中任选2个，作为圆柱的高和底面半径，有，共6种情况，圆柱的体积，即，满足条件的有，3种情况，所以此圆柱的体积大于的概率.故选B.7答案：A解析：因为，所以解得，所以.8答案：D解析：设“阳马”为四棱锥，如图所示.由三视图得，平面BCDE，四边形BCDE是矩形.因为平面BCDE，所以，则，.故最长的侧棱长为.故选D.9答案：B解析：，当时，故，故当时，故，当时，恒成立；当时，即，故，即，即实数m的最大值为.故选：B.10答案：C解析：令，O分别是正四棱台的上、下底面的中心，连接，上底面外接圆半径，下底面外接圆半径，则棱台的高为.设外接球的半径为R，显然球心M在所在的直线上.当棱台两底面在球心异侧时，即球心M在线段上，如图，设，则，由，得，解得，舍去，则棱台两底面在球心同侧，球心M在线段的延长线上，如图.设，则，由，得，解得，所以，所以该正四棱台的外接球的体积为.故选C.11答案：D解析：因为，所以令，则，.，当时，所以函数在上单调递减.又，所以，即.故选D.12答案：C解析：设等差数列的公差为，由，成等比数列，得，即，解得或（舍去），所以，从而，故，两式相减，得，所以，所以13答案：解析：,所以,故所求切线方程为,即.14答案：5解析：，解得，.15答案：.解析：如图所示：设A在第一象限,由题意可知,其中d为点到渐近线的距离,所以,设的内切圆的圆心为M,则M在的平分线Ox上,过M分别作于N,于T,又因为于A,所以四边形MTAN为正方形,所以,所以,又因为,所以,所以,所以,所以.故答案为：.16答案：解析：由已知可得,定义域为.因为等价于.令,则在R上恒成立,所以,在R上单调递增.由可知,根据的单调性可知,所以有.因为,所以.令,则.由可得,.由可得,所以在上单调递增;由可得,所以在上单调递减.所以,在处取得唯一极小值,也是最小值,所以,所以.故答案为：.17答案：（1）2（2）证明见解析解析：（1）在中，由正弦定理可得，即.，的面积为.（2）证明：由（1）知，.又，或当，时，为钝角，此时是钝角三角形；当，时，同理可得B为钝角，此时是钝角三角形.综上，是钝角三角形.18答案：（1）证明见解析（2）解析：（1）证明：在直四棱柱中，底面，底面ABCD，.又，平面，平面.平面，.易知四边形是正方形，.又，平面，平面.（2），两两垂直，以B为坐标原点，分别以，所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，.设平面的法向量为，则令，得.易知平面的一个法向量为，故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.19答案：（1），理由见解析（2）81分（3）3415解析：（1）.理由如下：由题图可知，y与x呈正相关，异常点A，B会降低变量之间的线性相关程度.44个数据点与其回归直线的总偏差更大，回归效果更差，所以相关系数更小，42个数据点与其回归直线的总偏差更小，回归效果更好，所以相关系数更大，42个数据点更贴近其回归直线，44个数据点与其回归直线更离散.（以上理由任选其一作答即可）（2）设y关于x的线性回归方程为.由题中数据可得，所以.又因为，所以，所以.将代入，得，所以估计B考生的物理成绩为81分.（3），所以，又因为，所以，所以.所以，故该地区5000名考生中，物理成绩在区间内的人数Z的数学期望为3415.20答案：(1)(2)解析：（1）由题意可知,点在椭圆上,则有,解得.所以C的方程为.（2）由题意知,设,由与圆相切,得,即.由消去y并整理得.该方程的判别式,由韦达定理得.于是,而.同理,.所以.显然,下面对的符号进行讨论：当时,.（*）令,则且.代入（*）化简得.因为,所以,解得,当且仅当时取等号.当时,.综上,周长L的取值范围为.21答案：（1）当时,在上单调递增;当时,在内单调递减,在单调递增.（2）（i）（ii）见解析解析：（1）函数,当时,则在上单调递增;当时,令,得.当时,单调递减,当时,单调递增;综上所述,当时,在上单调递增;当时,在内单调递减,在单调递增.（2）（i）由题意可得：,令,整理可得,设,则,且,可知,令,解得;令,解得;则在内单调递减,在内单调递增,由题意可知：有两个零点,则,解得,若,令,则,则,可知在内有且仅有一个零点;且当x趋近于趋近于,可知内有且仅有一个零点;即,符合题意,综上所述：m的取值范围为.（ii）由（i）可知：令,则,令,则,因为,则,可知在内单调递增,则,可得在内恒成立,可知在内单调递增,则,即,不妨设,则,且,在内单调递减,可得,即,证毕.22答案：（1）的极坐标方程:,的直角坐标方程:（2）解析：（1）曲线的参数方程为(为参数)消去参数,可得直角坐标方程:,又由,可得曲线的极坐标方程为,由可得,则的直角坐标方程:；（2）联立方程组,可得,联立方程组,可得,所以当时,取得最大值,此时直线l的直角坐标方