最新数学竞赛辅导讲义——直线与圆的方程

精品文档数学竞赛辅导讲义直线与圆的方程一、例题3cos的值域 .例 1 求函数 f0，2sin例 2 当实数 x ， y 满足 x2y 12时，不等式 xy m 0 恒成立，求实数 m1的取值范围 .例 3 过直线 l : x5上一动点 M作圆 C : x2y216 的两条切线，切点分别为 T1 ，T2，试求12的垂心H的轨迹方程.yMTTl: x=5MT1HxOT2精品文档精品文档二、练习题1. 若直线 l1 : 4xy40 ，l2 : mxy0 与 l 3 : 2x3my40 能围成一个三角形，则实数 m 的取值范围是 _.2. 方程 | x | 11y1 2 表示的曲线是 _.3. 以两圆 C1 : x2y24x y 1 0 与 C2 : x2y22x2 y 1 0 的公共弦为直径的圆的方程为 _.4. 已知当 aR 且 a1时，圆 x2y22ax2(a2) y20 总与直线 l 相切，则直线 l 的方程是 _.5. 在平面直角坐标系中， 横纵坐标都是有理数的点称为有理点， 则过点 ( 2，0) 且其上至少存在两个有理点的直线的条数为 _.6. 在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点，则平面上的整点到直线 l : y5 x4 的距离的最小值是 _.357. 已知矩形 ABCD 的顶点 C 的坐标为 (4, 4) ，顶点 A 在圆 O : x2y29( x, y 0)上移动，且 AB ， AD 两边始终分别平行于x 轴， y 轴，求矩形 ABCD 面积的最小值，以及取得最小值时点A的坐标.yDCABxO精品文档精品文档8. 已知直线 l : yxb 与圆 C : x2( y1)21 相交于 A ， B 两点，点 P 在 l 上，且 | PA | | PB |2 .当 b 变化时，求点 P 的轨迹方程 .9.（ 2012年全国联赛 ）在平面直角坐标系xOy 中，菱形 ABCD 的边长为4，且|OB|OD | 6.（ 1）求证： |OA | | OC |为定值；（2）当点 A 在半圆 M : ( x2) 2y 24(2x4)yB上运动时，求点 C 的轨迹 .ACMxOD精品文档精品文档10. 直线 l 与O 相离，点 P 为 l 上任意一点，过点P 引O 的两条切线，切点分别为 A ， B ，求证：直线 AB 过定点 .lAPOB数学竞赛辅导讲义直线与圆的方程 参考答案1 21. m m 1， ，4 .6 32.两个半圆 .3. x2y 26 x12 y 1 0.554. x y 0.5.答案： 1.分析： 显然，若存在这样的直线，则该直线必有斜率.下面用反证法 证明斜率必为零 .假设斜率不为零， 设点 A( p1， q1 ) 与 B( p2， q2 ) 为该直线上的两个不同的有理点，则有q1q2 q1 ，p12p2p1注意到等号的左边是个无理数，而右边是有理数，矛盾 .因此假设错误，即满足条件的直线的斜率必为零 .注：此题属竞赛级别 .6.答案：34 .85分析：平面上的整点 (a， b) 到直线 l : y5 x4 的距离35精品文档精品文档d (a,b)| 25a 15b 12 | 5(5a3b) 12 | ，252152534因 5(5a3b) 为 5的倍数，故当且仅当5(5a3b)10 ，即 5a 3b2 ，亦即a 3k2 ， b 5k 4 （ kZ ）（根据数论中的孙子定理，当然若想简单一点，取 a b1便可）时， d (a,b) 取最小值 .注：此题属竞赛级别 .A42424242时，矩形 ABCD 面当且仅当点的坐标为，或，7.2222积最小且最小值为 7 .28.答案：点 P 的轨迹方程为 x2( y1) 23(2 1yx2 1).分析：易见点 P 在圆 C 的外部，即点 P 在点 A 、B 的同侧 .否则，若点 P 在线段 AB22r2上，则 2 | PA| |PB| PA| |PB |122（这里 r 为圆 C 的半径），矛盾 .利用切割线定理，设直线 PT 与圆 C 相切于点 T ，yP lxO A则有|PT|2 |PA| |PB|2 ，C -1T于是|PC|2 |PT|2r 22 1 3，这表明点 P 在BP以 C (0, 1) 为圆心，3 为半径的圆上， 但不能说这个圆就是点 P 的轨迹，因为点 P 还有其他约束13.条件，即点 P 在直线 l 上，而 l 是要与圆 C 相交的 .9.（ 1）（从几何关系入手） 设点 E 为菱形 ABCD 的对角线的交点，则|OA| |OC| (|OE | | AE|) (|OE|EC|) |OE|2| AE|2(| OB |2|BE|2) |AE|2= |OB|2 (| BE |2| AE |2) |OB |2| AB|2 624220.注：此题的条件可以简化一下 .（ 2）（利用圆的参数方程） 因点 A 在半圆 M : ( x2) 2y 24(2x 4) 上运动，精品文档精品文档故可设点 A 的坐标为(2，)，2cos 2sin )(22再利用（ 1）的结论，可得点 C 的参数方程为x5， ），y（为参数，且25 tan22即点 C 的轨迹是一条线段，端点为(5， 5) ， (5，5) .10. 如图建立直角坐标系，设圆 O 的半径为 r ，yl直线 l 的方程为 xa(ar ) ， l 上的动点P( a， t) ，切点 A(x1， y1 )， B(x2， y2 ) ，则切线 PA ， PB 的方程分别为x1xy1 yr 2 ， x2 xy2 yr 2 ，A(x1,y1)P(a,t)raOxB(x2,y2)15.因点 P(a， t ) 在切线 PA ， PB 上，故x1a y1t r 2 ， x2a y2tr 2 ，上述两个方程表明A，B 都在直线 axtyr 2 上，这恰是直线AB 的方程 .2r据此方程可知，直线AB 恒过定点 (，0) .换个角度，由于 OA AP ，OB BP ，故点 A ，B 在以 OP 为直径的圆 M 上，从而直线 AB 成为圆 O 与圆 M 的公共弦所在的直线了 .注：直线 AB （也称切点弦）的方程与圆的切线方程非常类似，能记住最好不过了. 第一种方法妙不可言，将来可以移植到椭圆、抛物线上 .精品文档