探究函数概念的策略

编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第1页 共1页 探究函数概念的策略策略引入 两只黄色的小鸡正争着啄地上的一条蚯蚓。一个小男孩对一个小女孩喊："快看啊，小鸡吃蚯蚓！""才不是吃，是争着蚯蚓玩！"小女孩说。"瞧，蚯蚓被吃到肚子里去了。"小男孩惊叫道。"好奇怪，小鸡怎么会吃蚯蚓呢！小鸡只吃碎米，奶奶每天给小鸡碎米吃。"小女孩嘟嘟囔囔。 "小鸡还吃饭、吃菜叶、吃虫子，还吃-"小男孩说不出来，停顿了一会，"可能还吃巧克力。"说完，他从口袋里掏出刚才吃剩的巧克力，掰了一小块，放在地上。"小鸡认为是小泥块，才不吃。"小女孩说。"不会的！"小男孩嚷道，"它们没有看见。"说完，弯腰捡起了巧克力，丢到小鸡群中。"吃了，吃了。小鸡爱吃巧克力，谁都爱吃巧克力。"小男孩跳着，笑着，奔到房下："妈妈，妈妈，小鸡爱吃巧克力！"以上这一幕，体现了一次探究活动，探究是人的天性。正是通过对周围世界不断的探究，人成长起来了！"策略剖析 探究的策略就是在探究问题的过程中所采取的方法，如对比、等价探究、加强条件或削弱条件等等。它是在好奇心驱使下、以问题为导向、有高度智力投入且内容和形式都十分丰富的学习活动。策略的合理使用能使问题的探究过程更有方向性，更有效，提高学习的效率，达到准确把握概念实质的目的。学会探究，就掌握了剖析概念的利器函数是贯穿高中数学知识的主线，其思想方法渗透到各部分内容的学习中。由于函数的概念比较抽象，涉及面广，同学们理解起来感到难度大，在运用中常常表现出思路闭塞、逻辑紊乱。要全面准确地掌握函数概念，不仅要具有“打破沙锅问到底”的探究精神，而且要掌握科学地探究的策略，使我们的探究活动具有目的性及可行性。在学习中，对所研究的对象进行分析、综合、抽象，对概念的必要性和合理性进行推敲,直到我们能够界定问题,并形成和修正解决问题的方案。对函数概念的探究可以从以下几个方面进行： 1.通过对比，探究函数与映射的联系 当学习一个新概念时，要开展知识之间的纵横联系，寻求不同概念之间的交汇点，对相似的概念要把握它们之间的区别与联系。函数概念是建立在映射概念基础上的。映射f:AB是指，对于集合A的每一个元素a，按照某个对应法则f，在集合B中都有唯一确定的值和它对应。当A、B都是非空数集时，映射f:AB叫做从A到B的函数。可见，映射是建立在集合A集合B上的单值对应。由于函数是描述变量情景中的两个变量之间存在的量的关系。因此，函数又是建立在从非空集到非空集上的映射，故函数是一种特殊的映射。2、探究“关键词”与本质探究一：寻求关键词。审查函数的定义，发现“每一个确定”，“唯一确定”是定义中的关键词。它的意思是，自变量x所在的集合中的每一个元素，通过某种对应法则，在另一个变量y所在的集合中都有且只有一个确定的值与x的值对应。它体现函数是从一个数集到另一个数集上的单值映射。 例1：下列各图象中， y y y y o x 0 x o x o x （1） （2） （3） （4）不可能是函数y=f(x)的图象的序号是_。 在四个图象中，从定义中所要求的对应关系入手，发现（3）、（4）不符合“唯一确定”的条件，故答案：（3）（4）。 请同学们想一想：怎样修改（3）（4）的图象，使它们能作为某函数的图象？ 数学不是空中楼阁，数学是来源于生活的。探究二：把握本质要素。对于函数而言，函数有三要素：定义域，值域，及对应法则f。其中f是使“对应”得以实现的方法和途径，是联系x和y的纽带，是函数的核心；定义域是自变量x的取值范围，值域是全体函数值的集合。对于函数的对应法则的确定，具体问题具体分析。在分析过程的关键在于探究y与x之间存在的等量关系。一旦定义域和对应法则确定，函数的值域就随之确定。关于函数的定义域的探究可以从以下方面展开。其一：研究函数的解析式。在一般情况下，函数的定义域就是使函数的解析式有意义的自变量的取值范围。其二：扣紧函数所针对的具体的背景。数学是来源于生活的。例如：我们用函数来模拟在销售衣服的过程中，在一周到5周内，每件衣服的销售价格y与周次x的函数关系时，该函数的定义域就不是R，而是且，诸如此类的问题，请同学们结合平时学习加以重视。其三：灵活处理函数的定义域，使之符合研究问题的特殊要求。例如：函数在R上是有意义的，但不存在反函数，如果将其定义域限制在R+，那么它就存在反函数。在什么条件下，两个函数被认为是相同的函数？3、探究符号 准确运用 探究发展 数学知识的表达方式有文字语言，符号语言及图象语言，三种语言的互化在解决问题时十分重要。三种语言中，符号语言由于形式简洁、抽象、概括性强，因此，理解及运用的难度大。例如在学习函数的周期性时，抓住定义中的f(x+T)=f(x)提出问题。例2、你能从f(x+T)=f(x)得出其他关于函数周期性的表达式吗？探究1：将f(x+T)=f(x)改写为f(x+T)= -f(x)。注意到-f(x)就是f(x)的相反数，因此计算f(x+2T)=f(x+T)+T=-f(x+T)=-f(x)=f(x).可见满足条件f(x+T)= -f(x)的函数仍具有周期性，最小正周期为2T。探究2：若f(x+T)= 或f(x)=- ，同样可以推出f(x)的周期为2T.探究3：若将f(x+T)=f(x)改为f(T-x)=f(x)，该函数还具备周期性吗？如果不具备周期性，那么你能得出什么结论？ 当函数f(x)满足f(T-x)=f(x)时，函数不具备周期性。反例：满足，此时T=2，但它不是周期函数。通过研究它的图象还可以发现x=1是其图象的对称轴。类似的反例还有f(x)= 等等。从对反例的研究，可以对满足f(T-x)=f(x)的函数进行对称性的论证。你注意到探究过程的特点吗？探究概念，是不是挺有用的？证明：在函数图象上任取一点P（x,y）则y=f(x) 设P关于x=T的对称点（T-x,y）。 由f(T-x)=f(x)得f(T-x)=f(x) 即y=f(T-x) 所以（T-x,y）也在y=f(x)的类似的图象上。得到结论：当函数f(x)满足f(T-x)=f(x)时，f(x)的对称轴为x=T。例3：当f（xl）f（1-x）时，函数y=f(x)的图象的对称轴是什么？并回答yf（xl）与 yf（1-x）的图象的对称轴。对这个问题，你是否认为它们的对称轴都是y轴？分析：我们先来比较两个问题中的条件有何区别：发现问题1是对一个函数图象的对称性的探究，这个问题在上例中我们已经研究过了。而第二个问题是对两个函数图象之间的位置的对称性的研究。解：当f（xl）f（1-x）时，y=f(x)的图象的对称轴是y轴。我们由函数图象的基本知识已经知道y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称，再根据图象的平移，f(x-1)是将f(x)的图象向右平移1个单位得到；f(1-x)的图象是将f(-x)的图象也向右平移1个单位得到。所以yf（xl）与 yf（1-x）的图象的对称轴是x=1.探究是数学的生命线可见，不透彻理解一个图象的对称性与两个图象的对称关系的区别，两者很容易混淆。可见对概念理解如果仅仅停留在字面上的含义是远远不够的，还须理解其隐含着的深层次的含义并掌握各种等价的表达方式，并将其开拓发展。4、探究概念的隐含条件 例4：判断函数的奇偶性。分析：本题中如果只去考察的关系式，易将此函数错认为偶函数。产生错解的一个重要原因在于忽略对该函数的定义域的考察。事实上，该函数的定义域是，不关于原点对称。所以此函数是非奇非偶函数。隐含条件太重要了，值得好好关注。函数奇偶性的定义是这样叙述：对定义域D上的任意x，如果都有成立，则称是偶函数；如果，则称是奇函数。虽然定义中字面上并没有提到定义域关于原点对称，但是我们探究定义不难得到：对任意，则-成立，因此定义域D关于原点对称。由以上各例可以看出，对概念的探究活动十分的重要。在探究的过程中，不仅学习了概念，而且对概念的理解也更深刻。我们还发现对概念进行探究往往还能得到许多重要的发现，有了以上的探究成果，对我们解决许多函数问题有很大的帮助。策略演练1、 求证：函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称的充要条件是y=f(x+a)是偶函数。2、 为什么函数y=f(x)与y=f-1(x)的图象关于直线yx对称，而y=f(x)与 x=f-1(y)却有相同的图象。3、请你就反函数与函数的单调性之间的联系进行探究，并与同学开展交流。策略反思：1、 你还有哪些有效的探究问题的办法与思路。 2、谈一谈，你对应用探究策略学习数学概念的心得。第 1 页 共 1 页