高一数学(秋下)第5讲-空间几何体

第5讲 空间几何体课时数量2课时（120分钟）适用的学生水平优秀 中等 基础较差教学目标（考试要求）理解棱柱、棱锥、棱台，圆柱、圆锥、圆台的概念，牢记它们的几何特征.能画出简单空间图形的三视图，并能识别简单图形的三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图会用平行投影与中心投影两种方法画出简单图形的三视图与直观图，了解 空间图形的不同表示形式渗透数形结合的数学思想，特别注重培养学生空间想象能力教学重点、难点重点：几何体的概念和特征、三视图难点：三视图和直观图以及它们之间的转化建议教学方法数形结合，讲练结合教学内容一、 知识梳理F 提 示 多面体至少有四个平面多边形围成，所以侧面最少的多面体是四面体1多面体及相关概念（1）多面体：多面体是由若干个平面多边形所围成的几何体（2）相关概念围成多面体的各个多边形叫做多面体的面； 相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱和棱的公共点叫做多面体的顶点；F 提 示 凸、凹多面体可以看作平面凸、凹多边形的自然推广连接不在同一个面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线； 凸、凹多面体：把一个多面体的任意一个面延展为平面，如果其余各面都在这个平面的同一侧，则这样的多面体就叫做凸多面体，其他的多面体叫做凹多面体； 截面：一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形（包括它的内部），叫做这个几何体的截面；2柱、锥、台、球的结构特征（1）柱棱柱：一般的，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱；棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称为底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点底面是三角形、四边形、五边形的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱；旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线棱柱与圆柱统称为柱体；（2）锥棱锥：一般的有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥；这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱底面是三角形、四边形、五边形的棱柱分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥；旋转轴为圆锥的轴；垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面；斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面棱锥与圆锥统称为锥体（3）台棱台：用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台；原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；棱台也有侧面、侧棱、顶点圆台：用一个平行于底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台；原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面；圆台也有侧面、母线、轴圆台和棱台统称为台体（4）球以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称为球；半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径 大圆与小圆：过球心的截面叫球的大圆，不过球心的截面叫球的小圆 在球面上，两点之间的最短距离是经过这两点的大圆在这两点间的劣弧的长度，这条弧长叫做两点间的球面距离，公式：（5）组合体由柱、锥、台、球等几何体组成的复杂的几何体叫组合体3空间几何体的三视图F 提 示 正视图也叫主视图，主视图、侧视图、俯视图合称三视图三视图是观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形具体包括：（1）正视图：物体前后方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和长度；（2）侧视图：物体左右方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和宽度；（3）俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图；它能反映物体的长度和宽度；4空间几何体的直观图（1）斜二测画法建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的OX，OY，建立直角坐标系；画出斜坐标系，在画直观图的纸上（平面上）画出对应的OX,OY,使（或），它们确定的平面表示水平平面；画对应图形，在已知图形中平行于X轴的线段，在直观图中画成平行于轴，且长度保持不变；在已知图形中平行于Y轴的线段，在直观图中画成平行于轴，且长度变为原来的一半；擦去辅助线，图画好后，要擦去X轴、Y轴及为画图添加的辅助线（虚线）（2）平行投影与中心投影F 提 示祖冲之之子祖暅总结了刘徽的有关工作，提出“幂势既同则积不容异”，即著名的祖暅原理祖暅原理的内容是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等祖暅应用这个原理，解决了刘徽尚未解决的球体积公式平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点二、方法归纳1. 空间几何体的结构（1）多面体的结构特征主要指底面、侧面、侧棱的性质（2）旋转体的结构特征要注意它的旋转面，旋转轴的位置，几何体的底面、侧面、母线的特征（3）台体是由锥体截得的，常用“还台为锥”的策略2. 三视图和直观图（1）三视图是指从正面、侧面、上面三个不同角度观察到的几何体形状；而直观图主要指用斜二测画法，把一个完整的几何图形画在水平面上三视图具有“长对正、宽相等、高平齐”的基本特征（2）画三视图的规则:长对正，宽相等，高齐平（3）斜二测画法的规则：横不变，竖折半，平行关系不改变由直观图求原图形有关问题或由原图形求直观图问题，一定要注意角的变化及线段长度的变化3. 几何体的表面积与体积（1）有些几何体的表面积求法，可以把其展开，转化为平面图形来计算（2）圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的形状，及与原几何体中一些量的关系（3）球的截面性质，球半径、截面圆的半径、球心到截面的距离构成直角三角形.球的内接和外切问题，常作轴截面（4）解决体积问题关键是求高，有关体积的计算应注意“割补”思想的应用三、典型例题精讲例1两相同的正四棱锥组成如图所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面与正方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有（ ）A1个 B2个 C3个 D无穷多个解析: 由于两个正四棱锥相同，所以所求几何体的中心在正四棱锥底面正方形ABCD中心，由对称性知正四棱锥的高为正方体棱长的一半，影响几何体体积的只能是正四棱锥底面正方形ABCD的面积，问题转化为边长为1的正方形的内接正方形有多少种，所以选D【技巧提示】本题主要考查空间想象能力，以及正四棱锥的体积正方体是大家熟悉的几何体，它的一些内接或外接图形需要一定的空间想象能力，要学会将空间问题向平面问题转化又例:如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是（）等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等；等腰四棱锥的侧面都是全等的等腰三角形；等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆；等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上解析：因为“等腰四棱锥”的四条侧棱都相等，所以它的顶点在底面的射影到底面的四个顶点的距离相等，故A，C正确，且在它的高上必能找到一点到各个顶点的距离相等，故D正确，B不正确，如底面是一个等腰梯形时结论就不成立故选B【技巧提示】抓住本质的东西做出判断。四棱锥的高分别与四条侧棱组成以侧棱为斜边的直角三角形，四条侧棱都相等意味着四个直角三角形全等，这就是本质 例2画正五棱柱的直观图，使底面边长为3cm侧棱长为5cm解析：先作底面正五边形的直观图，再沿平行于Z轴方向平移即可得作法：（1）画轴：画X，Y，Z轴，使XOY45°（或135°），XOZ90°（2）画底面：按X轴，Y轴画正五边形的直观图ABCDE（3）画侧棱：过A、B、C、D、E各点分别作Z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取AA，BB，CC，DD，EE（4）成图：顺次连结A，B，C，D，F，加以整理，去掉辅助线，改被遮挡的部分为虚线ABCBCA【技巧提示】用此方法可以依次画出棱锥、棱柱、棱台等多面体的直观图，斜二测画法不会直接考查，但是可以间接考查DD又例:是正ABC的斜二测画法的水平放置图形的直观图，若的面积为，那么ABC的面积为_解析：，的面积为 的面积为【技巧提示】这是斜二测画法的应用，解题的关键在于建立实物图元素与直观图元素之间的对应关系，特别底和高的对应关系再例:一个三角形用斜二测画法画出来是一个正三角形，边长为2，则原三角形的面积为（） A B C D解析：B例3如图，如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm）（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；解析：（1）俯视图如下图（2）该多面体的体积为长方体截去一个三棱锥长方体体积为三棱锥的体积为所求多面体的体积为【技巧提示】在给出确定的几何体的情况下，要求画出三视图属于较高要求但本题不单给出几何体的直观图，还给出了正视图和侧视图，画出俯视图就不难了（2）中的体积计算也容易得到 例4(2011陕西理科数学第5题)某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ）A B C D解析：由图可知，该几何体是一个正方体挖去了一个圆锥，由正方体的体积8减去圆锥的体积，即可得到所求几何体的体积为故选A例5有一个正四棱台形状的油槽，可以装油，假如它的两底面边长分别等于和，求它的深度为多少？解析：不妨仍将面积小的底作为上底，由题意有， 【技巧提示】这是应用问题由四棱台的体积公式列方程，即可求得深度又例已知圆台的上下底面半径分别是2，5，且侧面面积等于两底面面积之和，求该圆台的母线长解析：设圆台的母线长为，则 圆台的上底面面积为，圆台的下底面面积为， 所以圆台的底面面积为 又圆台的侧面积，于是 ，即为所求例6已知一个圆锥的底面半径为R，高为H，在其中有一个高为的内接圆柱 （1）求圆柱的侧面积； （2）为何值时，圆柱的侧面积最大解析：（1）设内接圆柱底面半径为，代入（2） 【技巧提示】立体几何计算问题常常与方程、不等式、函数等代数问题综合本题为与函数问题综合，需要将内接圆柱侧面积表示为内接圆柱高的函数因为是二次函数，故用配方法即可求得最值又例:一块边长为10的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，试建立容器的