2013年中考攻略专题11几何三大变换之旋转探讨(含答案)

快乐学习，天天向上 （龙岗） 28961123【2013年中考攻略】专题11：几何三大变换之旋转探讨轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换。旋转变换是指在同一平面内，将一个图形（含点、线、面）整体绕一固定点旋转一个定角，这样的图形变换叫做图形的旋转变换，简称旋转。旋转由旋转中心、旋转的方向和角度决定。经过旋转，旋转前后图形的形状、大小不变，只是位置发生改变；旋转前、后图形的对应点到旋转中心的距离相等，即旋转中心在对应点所连线段的垂直平分线上； 旋转前、后的图形对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。把一个图形绕着某一定点旋转一个角度360°/n(n为大于1的正整数)后，与初始的图形重合，这种图形就叫做旋转对称图形，这个定点就叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角。 特别地，中心对称也是旋转对称的一种的特别形式。把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。如果把一个图形绕某一点旋转180度后能与自身重合，这个图形是中心对称图形。在初中数学以及日常生活中有着大量的旋转变换的知识，是中考数学的必考内容。结合2011和2012年全国各地中考的实例，我们从下面九方面探讨旋转变换：（1）中心对称和中心对称图形；（2）构造旋转图形；（3）有关点的旋转；（4）有关直线（线段）的旋转；（5）有关等腰（边）三角形的旋转；（6）有关直角三角形的旋转；（7）有关平行四边形、矩形、菱形的旋转；（8）有关正方形的旋转；（9）有关其它图形的旋转。一、中心对称和中心对称图形：典型例题：例1. （2012天津市3分）下列标志中，可以看作是中心对称图形的是【 】（A） （B） （C） （D）【答案】B。【考点】中心对称图形。【分析】根据中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此结合各图形的特点求解：A、C、D都不符合中心对称的定义。故选B。例2. （2012上海市4分）在下列图形中，为中心对称图形的是【 】A等腰梯形B平行四边形C正五边形D等腰三角形【答案】B。【考点】中心对称图形。【分析】根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合。因此，等腰梯形、正五边形、等腰三角形都不符合；是中心对称图形的只有平行四边形故选B。例3. （2012广东深圳3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是【 】 【答案】A。【考点】中心对称和轴对称图形。【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合。因此，A既是轴对称图形，又是中心对称图形，选项正确；B既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，选项错误；C.是轴对称图形，不是中心对称图形，选项错误；D.不是轴对称图形，是中心对称图形，选项错误。故选A。例4. （2012福建宁德4分）下列两个电子数字成中心对称的是【 】【答案】A。【考点】中心对称图形。【分析】根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合。因此，符合条件的只有A。故选A。例5. （2012湖北随州4分）下列图形：等腰梯形，菱形，函数的图象，函数y=kx+b(k0)的图象，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有【 】 A B. C. D.【答案】D。【考点】轴对称图形和中心对称图形。【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合。因此，等腰梯形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故本小题错误；菱形，既是轴对称图形又是中心对称图形，故本小题正确；函数图象是双曲线，既是轴对称图形又是中心对称图形，故本小题正确；函数y=kx+b（k0）图象是直线，既是轴对称图形又是中心对称图形，故本小题正确。综上所述，既是轴对称图形又是中心对称图形有。故选D。例6. （2012山东德州4分）在四边形ABCD中，AB=CD，要使四边形ABCD是中心对称图形，只需添加一个条件，这个条件可以是 （只要填写一种情况）【答案】AD=BC（答案不唯一）。【考点】中心对称图形，平行四边形的判定。【分析】根据平行四边形是中心对称图形，可以针对平行四边形的各种判定方法，给出相应的条件，得出此四边形是中心对称图形：AB=CD，当AD=BC时，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形。当ABCD时，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 当B+C=180°或A+D=180°时，四边形ABCD是平行四边形。故此时是中心对称图形。故答案为：AD=BC或ABCD或B+C=180°或A+D=180°等（答案不唯一）。例7. （2012四川宜宾3分）如图，在平面直角坐标系中，将ABC绕点P旋转180°得到DEF，则点P的坐标为 【答案】（1，1）。【考点】坐标与图形的旋转变化，中心对称的性质。【分析】将ABC绕点P旋转180°得到DEF， ABC和DEF关于点P中心对称。 连接AD，CF，二者交点即为点P。 由图知，P（1，1）。 或由A（0，1），D（2，3），根据对应点到旋转中心的距离相等的性质得点P的坐标为（），即（1，1）。练习题：1. （2012重庆市4分）下列图形中，是轴对称图形的是【 】ABCD2.（2012广东珠海3分）下列图形中不是中心对称图形的是【 】 A.矩形 B.菱形 C.平行四边形 D.正五边形3. （2012江苏盐城3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是【 】4.（2012四川达州3分）下列几何图形中，对称性与其它图形不同的是【 】5.（2012河南省3分）如下是一种电子记分牌呈现的数字图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是【 】A B C D6.（2012黑龙江大庆3分）下列哪个函数的图象不是中心对称图形【 】A. B. C D.7.（2011云南曲靖3分）小明、小辉两家所在位置关于学校中心对称。如果小明家距学校2公里，那么他们两家相距 公里；二、构造旋转图形：典型例题：例1. （2012浙江丽水、金华3分）在方格纸中，选择标有序号中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形该小正方形的序号是【 】 ABCD【答案】B。【考点】中心对称图形。【分析】根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合。因此，通过观察发现，当涂黑时，所形成的图形关于点A中心对称。故选B。例2. （2012福建三明8分）如图，已知ABC三个顶点的坐标分别为A（2，1），B（3，3），C（1，3）.画出ABC关于x轴对称的A1B1C1，并写出点A1的坐标；（4分）画出ABC关于原点O对称的A2B2C2，并写出点A2的坐标.（4分）【答案】解：如图所示，A1（2，1）。如图所示，A2（2，1）。 【考点】轴对称和中心对称作图。【分析】根据轴对称和中心对称的性质作图，写出A1、A2的坐标。例3.（2012海南省8分）如图，在正方形网络中，ABC的三个顶点都在格点上，点A、B、C的坐标分别为（2，4）、（2，0）、（4，1），结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：（1）画出ABC关于原点O对称的A1B1C1.（2）平移ABC，使点A移动到点A2（0，2），画出平移后的A2B2C2并写出点B2、C2的坐标.（3）在ABC、A1B1C1、A2B2C2中，A2B2C2与 成中心对称，其对称中心的坐标为 . 【答案】解：（1）ABC关于原点O对称的A1B1C1如图所示：（2）平移后的A2B2C2如图所示： 点B2、C2的坐标分别为（0，2），（2，1）。（3）A1B1C1；（1，1）。【考点】网格问题，作图（中心对称变换和平移变换），中心对称和平移的性质。【分析】（1）根据中心对称的性质，作出A、B、C三点关于原点的对称点A1、B1、C1，连接即可。 （2）根据平移的性质，点A（2，4）A2（0，2），横坐标加2，纵坐标减2，所以将B（2，0）、C（4，1）横坐标加2，纵坐标减2得到B2（0，2）、C2（2，1），连接即可。 （3）如图所示。例4. （2012江苏泰州10分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，ABC的顶点A、B、C在小正方形的顶点上，将ABC向下平移4个单位、再向右平移3个单位得到A1B1C1，然后将A1B1C1绕点A1顺时针旋转90°得到A1B2C2（1）在网格中画出A1B1C1和A1B2C2；（2）计算线段AC在变换到A1C2的过程中扫过区域的面积（重叠部分不重复计算）【答案】解：（1）如图所示：（2）图中是边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，。将ABC向下平移4个单位AC所扫过的面积是以4为底，以2为高的平行四边形的面积：4×2=8。再向右平移3个单位AC所扫过的面积是以3为底，以2为高的平行四边形的面积：4×2=6。当A1B1C1绕点A1顺时针旋转90°到A1B2C2时，A1C1所扫过的面积是以A1为圆心以以为半径，圆心角为90°的扇形的面积，重叠部分是以A1为圆心，以为半径，圆心角为45°的扇形的面积，去掉重叠部分，面积为： 线段AC在变换到A1C2的过程中扫过区域的面积=86×=14+。【考点】作图（平移和旋转变换），平移和旋转的性质，网格问题，勾股定理，平行四边形面积和扇形面积的计算。【分析】（1）根据图形平移及旋转的性质画出A1B1C1及A1B2C2即可。 （2）画出图形，根据图形平移及旋转的性质分三部分求取面积。 例5.（2012江苏常州6分）在平面直角坐标系xOy中，已知ABC和DEF的顶点坐标分别为A（1，0）、B（3，0）、C（2，1）、D（4，3）、E（6，5）、F（4，7）。按下列要求画图：以点O为位似中心，将ABC向y轴左侧按比例尺2：1放大得ABC的位似图形A1B1C1，并解决下列问题：（1）顶点A1的坐标为 ，B1的坐标为 ，C1的坐标为 ；（2）请你利用旋转、平移两种变换，使A1B1C1通过变换后得到A2B2C2，且A2B2C2恰与DEF拼接成一个平行四边形（非正方形）。写出符合要求的变换过程。【答案】解：作图如下：