2024届河北省衡水市部分高中高三一模数学（解析版）

2024年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题数学试卷（一）（考试时间：120分钟，满分：150分）注意事项：1.答题前，先将自己的姓名准考证号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设全集，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据集合并补运算即可求得.【详解】，所以，所以，故选：B.2. 已知复数满足，则的虚部为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由复数除法运算法则直接计算，结合复数的虚部的概念即可求解.【详解】因为，所以，所以的虚部为.故选：A.3. 将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若函数的最大值为，则的值不可能为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据图象的平移变换得到，然后根据和差公式和辅助角公式整理得到，最后根据三角函数的性质求的范围即可.【详解】由题意得，则，因为，所以，所以.故选：D.4. 在等比数列中，若为一确定的常数，记数列的前项积为.则下列各数为常数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据已知条件判断出为确定常数，再由此确定正确答案.【详解】设等比数列的公比为，依题意，为确定常数，即为确定常数.不符合题意；不符合题意；不符合题意；为确定常数，符合题意.故选：D5. 关于函数，为自然数集，下列说法正确的是（ ）A. 函数只有最大值没有最小值B. 函数只有最小值没有最大值C. 函数没有最大值也没有最小值D. 函数有最小值也有最大值【答案】D【解析】【分析】先对函数整理化简，根据反比例函数的性质，结合复合函数单调性的“同增异减”，即可求出函数的最小值与最大值.【详解】，由反比例函数的性质得：在上单调递减，此时，在上单调递减，此时，又因为，为自然数集，所以在上取到，时,，同理在上取到，时,，所以当，为自然数集时，函数有最小值也有最大值.故选：D6. 已知函数，则“曲线关于直线对称”是“曲线关于直线对称”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】分别求出两个函数的对称轴的集合，利用两个集合的关系即可判断.【详解】令，得，所以曲线关于直线对称令，得，所以曲线关于直线对称因Ü所以“曲线关于直线对称”是“曲线关于直线对称”的充分不必要条件故选：7. O为坐标原点，F为抛物线的焦点，M为C上一点，若，则的面积为（ ）A. B. C. D. 8【答案】C【解析】【分析】首先根据焦半径公式求点的坐标，再代入面积公式，即可求解.【详解】设点，,所以，得，,所以的面积.故选：C8. 为三个互异的正数，满足，则下列说法正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】对于可构造函数，利用导函数可求出其单调性，利用数形结合可得，对于，可在同一坐标系下画出函数及的图象，可得，再由不等式性质可知A正确.【详解】由得且，构造函数，所以，易得在上单调递减，在上单调递增，其函数图象如下图所示： 由图可得，易知函数及交于点，作出函数及的图象如下图所示： 由图知所以，即，由此可得，即.故选：A【点睛】方法点睛：在求解不等式比较大小问题时，经常利用同构函数进行构造后通过函数单调单调性比较出大小，画出函数图象直接由图象观察得出结论.二多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有两个或两个以上选项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）9. 已知10个数据的第75百分位数是31，则下列说法正确的是（ ）A. 这10个数据中至少有8个数小于或等于31B. 把这10个数据从小到大排列后，第8个数据是31C. 把这10个数据从小到大排列后，第7个与第8个数据的平均数是31D. 把这10个数据从小到大排列后，第6个与第7个数据的平均数是31【答案】AB【解析】【分析】由百分位数的概念可判断.【详解】因为这10个数据的第75百分位数是31，由，可知把这10个数据从小到大排列后，第8个数为31，可知，选项A，B正确，C，D错误.故选：AB.10. 函数，则下列结论正确的是（ ）A. B. 的值域为C. 是偶函数D. ， 【答案】AC【解析】【分析】根据函数解析式，结合分段函数的性质，逐项判断即可.【详解】，A正确；，则的值域为，B错误；时，所以，时，所以为偶函数，C正确；时，取，此时，则，D错误.故选：AC11. 某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，轴截面ABCD为等腰梯形，且满足.下列说法正确的是（ ） A. 该圆台轴截面ABCD的面积为B. 该圆台的表面积为C. 该圆台的体积为D. 该圆台有内切球，且半径为【答案】AB【解析】【分析】求出圆台的高可判断A；由圆台的表面积和体积公式可判断B，C；由内切圆的性质以及切线长定理易知轴截面ABCD不存在内切圆可判断D.【详解】对于A，由，可得高，则圆台轴截面ABCD的面积为，故A正确；对于B，圆台的侧面积为，又，所以，故B正确；对于C，圆台的体积为，故C错误；对于D，若圆台存在内切球，则必有轴截面ABCD存在内切圆，由内切圆的性质以及切线长定理易知轴截面ABCD不存在内切圆，故D错误，故选：AB.三填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12. 已知在点处的切线为直线，则_.【答案】#-0.5【解析】【分析】结合题目条件，列出方程求解，即可得到本题答案.【详解】因为，所以，因为在点处的切线为直线，所以，解得.故答案为：13. 已知力，满足，且，则_N.【答案】【解析】【分析】将变形后平方得到相应结论，然后将平方即可计算对应的值.【详解】由，可得，所以，化简可得，因为，所以，所以.故答案为【点睛】本题考查向量中的力的计算，难度较易.本题除了可以用直接分析计算的方式完成求解，还可以利用图示法去求解.14. 已知双曲线C：的左右焦点分别为，过作x轴的垂线交C于点P于点M（其中O为坐标原点），且有，则C的离心率为_.【答案】【解析】【分析】由向量垂直的坐标表示得出关于的齐次式后可得离心率【详解】如图，易得，设，由得，解得，即，又，代入得，因为 故解得，故答案： 四解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）15. 在中，内角所对的边分别是，三角形面积为，若为边上一点，满足，且.（1）求角；（2）求的取值范围.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）结合面积公式、正弦定理及两角和的正弦公式化简可得，进而求解即可；（2）在中由正弦定理可得，在中，可得，进而得到，结合三角恒等变化公式化简可得，进而结合正弦函数的图象及性质求解即可.【小问1详解】，即，由正弦定理得，由，得【小问2详解】由（1）知，因为，所以，在中，由正弦定理得，即，在中，,，所以的取值范围为.16. 已知数列的前项和为，且.（1）求的通项公式；（2）设的前项和为，求.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）先用替换原式中的，然后两式作差，结合与的关系，即可得到为等差数列，从而得到其通项.（2）由（1）的结论，求得及，代入化简，得到的式子，裂项相消即可.【小问1详解】，两式作差得:，成等差数列，又当时，所以即【小问2详解】由（1）知，则，即，故 .17. 已知椭圆过和两点.分别为椭圆的左右焦点，为椭圆上的点（不在轴上），过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）求的范围.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）将点代入椭圆方程，即可求出椭圆C的标准方程；（2）分类讨论直线斜率是否为0，从而假设直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理与弦长公式得到关于的关系式，再分析即可得解；【小问1详解】由题意可知，将点代入椭圆方程，得，解得，所以椭圆的标准方程为.【小问2详解】由（1）知，当直线l的斜率为0时，当直线l的斜率不为0时，设直线的方程为，联立，消去，得，易得，则，所以，因为，所以，所以，所以，综上，即的范围是.18. 中国制造2025提出“节能与新能源汽车”作为重点发展领域，明确了“继续支持电动汽车、燃料电池汽车发展，掌握汽车低碳化、信息化、智能化核心技术，提升动力电池、驱动电机、高效内燃机、先进变速器、轻量化材料、智能控制等核心技术的工程化和产业化能力，形成从关键零部件到整车的完成工业体系和创新体系，推动自主品牌节能与新能源汽车与国际先进水平接轨的发展战略，为我国节能与新能源汽车产业发展指明了方向.某新能源汽车制造企业为了提升产品质量，对现有的一条新能源零部件产品生产线进行技术升级改造，为了分析改造的效果，该企业质检人员从该条生产线所生产的新能源零部件产品中随机抽取了1000件，检测产品的某项质量指标值，根据检测数据整理得到频率直方图（如图）：（1）从质量指标值在的两组检测产品中，采用分层抽样的方法再抽取5件.现从这5件中随机抽取2件作为样品展示，求抽取的2件产品恰好都在同一组的概率.（2）经估计知这组样本的平均数为，方差为.检验标准中，其中表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数，值四舍五入精确到个位.根据检验标准，技术升级改造后，若质量指标值有落在内，则可以判断技术改造后的产品质量初级稳定，但需要进一步改造技术；若有落在内，则可以判断技术改造后的产品质量稳定，认为生产线技术改造成功.请问：根据样本数据估计，是否可以判定生产线的技术改造成功？【答案】（1）； （2）详见解析；【解析】【分析】（1）根据分层抽样确定抽取比例，然后运用组合求解即可；（2）根据题中公式，计算出区间并判段数据落在该区间的概率，然后与题中条件比较即可得出结论.【小问1详解】由题意可知，所以抽取的2件产品恰好都在同一组的概率为：;【小问2详解】因为，知则该抽样数据落在内的频率约为，又该抽样数据落在内的频率约为，所以可以判断技术改造后的产品质量初级稳定，但不能判定生产线技术改