指数与对数的运算
指数与对数的运算【课标要求】（1）通过具体实例（如细胞的分裂，考古中所用的14C的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景；（2）理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。（3）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用；【命题走向】指数与对数的性质和运算，在历年的高考中一般不单独命题。大多以指数函数、对数函数等基本函数的性质为依托，结合运算推理，能运用它们的性质解决具体问题。为此，我们要熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理。【要点精讲】1、整数指数幂的概念。（1）概念： n个a (2)运算性质： 两点解释： 可看作 = 可看作 =2、根式：（1）定义：若 则x叫做a的n次方根。（2）求法：当n为奇数时：正数的n次方根为正数，负数的n次方根为负数 记作： 当n为偶数时，正数的n次方根有两个（互为相反数） 记作： 负数没有偶次方根 0的任何次方根为0名称：叫做根式 n叫做根指数 a叫做被开方数（3）公式： ；当n为奇数时 ； 当n为偶数时 3、分数指数幂（1）有关规定： 事实上， 若设a>0, ，由n次根式定义, 次方根，即：（2）同样规定：；0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。（3）指数幂的性质：整数指数幂的运算性质推广到有理指数幂。 （注）上述性质对r、R均适用。4、对数的概念（1）定义：如果的b次幂等于N，就是，那么数称以为底N的对数，记作其中称对数的底，N称真数。以10为底的对数称常用对数，记作；以无理数为底的对数称自然对数，记作；（2）基本性质：真数N为正数（负数和零无对数）；2）；4）对数恒等式：。（3）运算性质：如果则；R）。（4）换底公式：两个非常有用的结论；。【注】指数方程和对数方程主要有以下几种类型：(1) af(x)=bÛf(x)=logab, logaf(x)=bÛf(x)=ab; （定义法）(2) af(x)=ag(x)Ûf(x)=g(x), logaf(x)=logag(x)Ûf(x)=g(x)>0（转化法）(3) af(x)=bg(x)Ûf(x)logma=g(x)logmb(取对数法)(4) logaf(x)=logbg(x)Ûlogaf(x)=logag(x)/logab(换底法)【典例解析】题型1：指数运算例1（1）计算：；（2）化简 （3）化简：。（4）化简： 例2已知，求的值。题型2：对数运算例3计算（1）；（2）；（3）。例4设、为正数，且满足 （1）求证：；（2）若，求、的值。例5。（1）已知 log 18 9 = a , 18 b = 5 , 求 log 36 45 （用 a, b 表示）（2）设 求证： 题型4：指数、对数方程例6：解方程（1） （2）例7设关于的方程R），（1）若方程有实数解，求实数b的取值范围；（2）当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解。.【巩固练习】1.若，则的值为A50 B58 C89 D111 （ ）2.若，则= ；3.已知的值域为1，7，则的取值范围是 （）A.，B. C. D.4若则 5. 已知(a>0) ，则 .6.（1）；（2）.7. 若，求的值 8.解下列指数方程： (1) (2) (3) (4) 9.解下列对数方程 (1) (2) (3) (4)10.如果函数在区间-1，1上的最大值是14，求的值。11.设若时有意义，求实数的范围。【思维总结】1（其中）是同一数量关系的三种不同表示形式，因此在许多问题中需要熟练进行它们之间的相互转化，选择最好的形式进行运算.在运算中，根式常常化为指数式比较方便，而对数式一般应化为同应化为同底；2要熟练运用初中学习的多项式各种乘法公式；进行数式运算的难点是运用各种变换技巧，如配方、因式分解、有理化（分子或分母）、拆项、添项、换元等等，这些都是经常使用的变换技巧，必须通过各种题型的训练逐渐积累经验；3解决含指数式或对数式的各种问题，要熟练运用指数、对数运算法则及运算性质，更关键是熟练运用指数与对数函数的性质，其中单调性是使用率比较高的知识；【课后作业】1.计算。1）； （2）2.化简下列各式（结果用有理数指数幂表示）：（1）； （2）；3.化简下列各式（结果用有理数指数幂表示）：（1）； （2）4.已知，求下列各式的值：（1）； （2）； （3）；5.计算：（1）；（2）；（3）6.（1）已知，用表示；（2）设，用表示；7. 设，且，求的最小值。8. （1）已知，求的值。答案详解题型1：指数运算例1 解：（1）原式=；（2）原式= = （注意复习，根式开平方）（3）原式=。（4）原式点评：根式的化简求值问题就是将根式化成分数指数幂的形式，然后利用分数指数幂的运算性质求解，对化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式保留；一般的进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时兼顾运算的顺序。例2 解：，又，。点评：本题直接代入条件求解繁琐，故应先化简变形，创造条件简化运算。题型2：对数运算例3解：（1）原式 ；（2）原式 ；（3）分子=；分母=；原式=。点评：这是一组很基本的对数运算的练习题，虽然在考试中这些运算要求并不高，但是数式运算是学习数学的基本功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则，以及学习数式变换的各种技巧。例4 证明：（1）左边；解：（2）由得，由得 由得由得，代入得， 由、解得，从而。点评：对于含对数因式的证明和求值问题，还是以对数运算法则为主，将代数式化简到最见形式再来处理即可。题型3：指对数式的简单应用例5 （1） 解： log 18 9 = a log 18 2 = 1 - a 18 b = 5 log 18 5 = b （2） 证： 题型4：指数、对数方程例6： 解（1）但必须： 舍去 （2）, , 例7 解：（1）原方程为，时方程有实数解；（2）当时，方程有唯一解；当时，.的解为；令的解为；综合、，得1）当时原方程有两解：；2）当时，原方程有唯一解；3）当时，原方程无解。点评：具有一些综合性的指数、对数问题，问题的解答涉及指数、对数函数，二次函数、参数讨论、方程讨论等各种基本能力，这也是指数、对数问题的特点，题型非常广泛，应通过解题学习不断积累经验。【巩固练习】1. 答案: C 易得；2、 -2 3、答案:D 先求出范围再求的范围； 4、 5、3，6 解析： ， （1）时，二次函数在上单调递增，（舍去），（2）当时，二次函数在上单调递增，（舍去），综上。评析：换元之后，函数解析式变了，函数定义域也变了，二次函数最值问题，一般先讨论开口方向，再讨论对称轴和区间的相对位置。7、解：由已知得，当时 ， ， 。
