人教A版高中数学（必修第二册）同步讲义第26讲 8.2 立体图形的直观图（教师版）

更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：第03讲 8.2 立体图形的直观图课程标准学习目标掌握用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图.。会用斜二测画法画常见的柱、锥、台、球以及简单组合体的直观图。1.通过阅读课本在 认识柱锥台体的图形的基础上，理解立体图形的直观图的画法；2.熟练运用掌握平面图形的斜二测画法，理解例题图形的斜二测画法要领；3.在认真学习的基础上，提升学生空间向量能力和数学分析能力，抽象思维能力；知识点01：空间几何体的直观图（1）空间几何体的直观图的概念直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形.直观图是把空间图形画在平面内，既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系的图形.（2）水平放置的平面图形的直观图画法（斜二测画法）（1）画轴：在平面图形上取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点，画直观图时作出与之对应的轴和轴，两轴相交于点，且使（或）（2）画线：已知图形中平行于或在轴，轴上的线段，在直观图中分别画成平行或在轴，轴上的线段.（3）取长度：已知图形中在轴上或平行于轴的线段，在直观图中长度不变.在轴上或平行于轴的线段，长度为原来长度的一半.（4）成图：连接有关线段，擦去作图过程中的辅助线，就得到了直观图.方法归纳：设一个平面多边形的面积为，利用斜二测画法得到的直观图的面积为，则有.【即学即练1】（2023上·上海·高二校考期中）如图有一个直角梯形，则它的水平放置的直观图是（    ）  A  B  C  D  【答案】A【详解】作出直角梯形的直观图如下图所示：  A选项满足要求.故选：A.知识点02：空间几何体的直观图的绘制方法（1）画轴. 在平面图形中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点, 画直观图时，把它们分别画成对应的轴与轴，两轴交于点, 且使”(或）, 它们确定的平面表示水平面；（2）画底面. 已知图形中，平行于轴轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴、轴或轴的线段；（3）画侧棱. 已知图形中平行于轴或轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于轴的线段，长度变为原来的一半；（4）成图. 连线成图以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图.简记为：画轴；画底面；画侧棱；成图.【即学即练2】（2023·全国·高一随堂练习）画出上、下底面边长分别为2cm和4cm.高为2cm的正四棱台的直观图.【答案】直观图见解析【详解】第一步，用斜二测画法，画出水平放置的边长为4cm的正方形；第二步，取四边形对角线中点O，建立坐标系，作平面，且2cm；第三步，建立平面坐标系，用斜二测画法画出水平放置的边长为2cm的正方形；第四步，连接，得四棱台即为所求，如图：    知识点03：斜二测画法保留了原图形中的三个性质 平行性不变，即在原图中平行的线在直观图中仍然平行；共点性不变，即在原图中相交的直线仍然相交；平行于x，z轴的长度不变【即学即练3】（2023上·上海·高二上海市大同中学校考阶段练习）水平放置的的斜二测直观图是如图中的，已知，则边的实际长度是 .【答案】5【详解】把直观图还原为原图形，如图所示，则，所以.故答案为：5.题型01 画水平放置的平面图形的直观图【典例1】（2023下·四川成都·高一成都七中校考期末）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的选项是（    ）A三角形的直观图是三角形B平行四边形的直观图必为矩形C正方形的直观图是正方形D菱形的直观图是菱形【答案】A【详解】对于A，三角形的三个顶点不共线，直观图中，三个顶点对应的点也必然不共线，三角形的直观图依然是三角形，A正确；对于B，如下图所示的平行四边形，其中，其直观图为平行四边形，而非矩形，B错误；  对于C，正方形的直观图为平行四边形，如下图所示，C错误；  对于D，如下图所示的菱形，其中，其直观图为平行四边形，若，则，即，四边形不是菱形，D错误.  故选：A.【典例2】（2023上·上海宝山·高二校考阶段练习）画出图中水平放置的四边形的直观图，并求出直观图中三角形的面积.  【答案】答案见解析，的面积为【详解】根据题意，结合斜二测画法的规则，可得水平放置的四边形的直观图，如图所示，则的面积为.  【典例3】（2023·全国·高一课堂例题）画水平放置的正三角形的直观图【答案】画图见解析【详解】画法如图，按如下步骤完成：      第一步在已知的正三角形ABC中，取AB所在的直线为x轴，取对称轴CO为y轴画对应的轴、轴，使第二步在轴上取，在轴上取第三步连接，所得就是水平放置的正三角形ABC的直观图【变式1】（2023上·上海普陀·高二校考期中）用斜二测画法画水平放置的正方形的直观图为平行四边形，取所在直线为x轴，所在直线为y轴若在直观图中，则 【答案】2【详解】如图所示，斜二测画法画边长为2的正方形的直观图，是平行四边形，且；由于四边形为正方形，所以，故答案为：2【变式2】（2023·全国·高一随堂练习）用斜二测画法画出下列图形：(1)水平放置的边长为5cm的正方形；(2)水平放置的梯形和平行四边形；【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【详解】（1）在已知正方形中，取所在直线为轴（如图1（1），画出对应的，轴，使，（如图1（2），即四边形即为正方形的直观图.  （2）仿照正方形的直观图的画法：水平放置的梯形（如图2（1）的直观图（如图2（2），  水平放置的平行四边形（如图3（1）的直观图（如图3（2），    题型02 由直观图还原平面图形 【典例1】（2024·全国·高二专题练习）如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形是一个边长为1的正方形，则原图形的形状是（    ）ABCD【答案】A【详解】在直观图中，其一条对角线在y轴上且长度为，所以在原图形中其中一条对角线必在y轴上，且长度为，故选：A【典例2】（2023下·陕西商洛·高一统考期末）如图，的斜二测画法的直观图是腰长为2的等腰直角三角形，轴经过的中点，则（    ）  AB4CD【答案】C【详解】根据题意可得的原图如图所示，其中D为AB的中点，由于为的中点，,且OA=2，故故选：C    【典例3】（2024·全国·高一假期作业）如图，在斜二测画法下被画成正三角形，请画出的真正图形【答案】作图见解析【详解】如图，即为所求图形作图过程：过C作CDAB于D，延长DA到O，使得DODC，连接OC，则COD45°过O作OyOB，并以Oy作为y轴，OB作为x轴，在y轴正半轴取，使得，连接、，则根据斜二测画法的原理可知即为真正的图形【变式1】（2023下·江西九江·高一德安县第一中学校考期末）图为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是（）A  B  C  D  【答案】C【详解】根据该平面图形的直观图，该平面图形为一个直角梯形，且在直观图中平行于轴的边与底边垂直，原图形如图所示：此平面图形可能是C.故选：C.【变式2】（2023下·河南信阳·高一校联考期中）若水平放置的四边形AOBC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，四边形为等腰梯形，则原四边形AOBC的面积为（    ）  ABCD【答案】D【详解】在直观图中，四边形为等腰梯形，而，则，由斜二测画法得原四边形AOBC是直角梯形，如图.  所以四边形AOBC的面积为.故选：D.【变式3】（2024·全国·高二专题练习）如图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图.若A1D1Oy，A1B1C1D1，A1B1 C1D12，A1D1OD11.试画出原四边形，并求原图形的面积.【答案】作图见解析；5【详解】如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上截取ODOD11；OCOC12在过点D与y轴平行的直线上截取DA2D1A12.在过点A与x轴平行的直线上截取ABA1B12.连接BC，便得到了原图形(如图).由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB2，CD3，直角腰长度为AD2.所以面积为S×25.题型03 画简单几何体的直观图 【典例1】（2023·全国·高一随堂练习）画底面边长为3cm、高为3.5cm的正三棱柱的直观图【答案】图形见解析【详解】取的中点，画，用斜二测画法画出水平放置的边长为的正三角形，其中，；画平面，在上截取；画出，；，且与交于点，如图所示；      连接、，即得正三棱柱，最后将，轴擦去，即可得到正三棱柱的直观图如下：  【典例2】（2023下·高一课时练习）用斜二测画法画出底面为正方形的四棱台的直观图，其中上、下底面边长分别为2，3，高为2【答案】答案见解析【详解】（1）画轴画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，（2）画下底面如图，以O为中心，在x轴上取线段MN，使；在y轴上取线段PQ，使分别过点M和点N作y轴的平行线，分别过点P和点Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，则面ABCD即为四棱台的下底面（3）画上底面在z轴上取一点，使，过点分别作，在平面内以为中心画水平放置的边长为2的正方形的直观图（4）连线被遮挡的线画成虚线，擦去辅助线并整理，就得到四棱台的直观图（如图）  【典例3】（2023下·高一课时练习）画一个底面边长为，高为的正五棱锥（底面是正五边形，顶点在底面的投影是底面的中心），比例尺是【答案】答案见解析【详解】依题意，先作出边长为的正五边形，同时以过正五边形中心且平行于所在的直线为轴，以所在直线为轴，如图，  利用斜二测画法作出正五边形的直观图，如图，  再在直观图中，以过原点且垂直于的直线为轴，按比例尺在轴作出，连接，如图，  最后将轴去掉，将看不到的线画成虚线，即可得到满足题意的正五棱锥，如图.  【变式1】（2023·全国·高一随堂练习）画底面边长为3cm、高为3cm的正四棱锥的直观图【答案】答案见解析【详解】画法：（1）画轴，画轴、轴、轴，它们交于点，使.（2）画底面，按轴、轴画正方形的直观图，取边长等于，使正方形的中心对应于点，在轴上分别取点、，且使，分别过、作平行于轴的直线，分别交于、四点.（3）画高（线），在轴上取（4）成图，连结、，并加以整理，就得到所要画的正四棱雉的直观图.  【变式2】（2023·高一课前预习）画出下列图形的直观图：(1)棱长为4cm的正方体；(2)底面半径为2cm，高为4cm的圆锥【答案】(1)画法见解析，；(2)画法见解析，【详解】（1）如下图所示，按如下步骤完成：第一步：作水平放置的正方形ABCD的直观图，使得AB=4cm，BC=2cm，且DAB=45°，取平行四边形ABCD的中心O，作x轴AB，y轴BD，第二步：过点