中考数学一轮复习提升练习第4.5讲 几何测量问题（题型突破+专题精练）（含解析）

题型突破专题训练题型一全等测距1如图，点B、F、C、E在一条直线上（点F，C之间不能直接测量），点A，D在BE的异侧，如果测得ABDE，ABDE，ACDF若BE14m，BF5m，则FC的长度为m【答案】4【解析】解：ABDE，ACDF，BE，ACBDFE，在ABC和DEF中，ABCDEF（AAS），BCEF，BCFCEFFC，即BFCE5m，FCBEBFCE14m5m5m4m；故答案为：4【总结】：本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的性质；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键2如图，有一池塘，要测池塘两端A，B两点的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A，B两点的C，连接AC并延长AC到点D，使CDCA，连结BC并延长BC到点E，使CECB，连接DE，那么量出的长就等于AB的长 这是因为可根据方法判定ABCDEC【解析】解：量出DE的长就等于AB的长 这是因为可根据SAS方法判定ABCDEC故答案为：DE，SAS总结：本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键3小明家门前有一条小河，村里准备在河面上架上一座桥，但河宽AB无法直接测量，爱动脑的小明想到了如下方法：在与AB垂直的岸边BF上取两点C、D使CDCB，再引出BF的垂线DG，在DG上取一点E，并使A、C、E在一条直线上，这时测出线段DE的长度就是AB的长（1）按小明的想法填写题目中的空格；（2）请完成推理过程【解析】解：（1）在与AB垂直的岸边BF上取两点C、D使CDCB，再引出BF的垂线DG，在DG上取一点E，并使A、C、E在一条直线上，这时测出线段DE的长度就是AB的长故答案为：CB，DE；（2）由题意得DGBF，CDECBA90°，在ABC和EDC中，ABCEDC（ASA），DEAB（全等三角形的对应边相等）4要测量河两岸相对的两点A，B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C，D，使CDBC，再定出BF的垂线DE，使A，C，E在一条直线上（如图所示），可以说明EDCABC，得EDAB，因此测得ED的长就是AB的长，请你运用自己所学知识说明他们的做法是正确的【解析】证明：BFAB，DEBD，ABCBDE又CDBC，ACBDCEEDCABC（ASA），DEBA总结：本题考查了全等三角形的判定方法；需注意根据垂直定义得到的条件，以及隐含的对顶角相等，观察图形，找着隐含条件是十分重要的5某海域有一小岛P，在以P为圆心，半径r为海里的圆形海域内有暗礁一海监船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东的方向上，当海监船行驶海里后到达B处，此时观测小岛P位于B处北偏东方向上（1）求A，P之间的距离AP；（2）若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由如果有触礁危险，那么海监船由B处开始沿南偏东至多多少度的方向航行能安全通过这一海域？【答案】（1）；（2）海监船由B处开始沿南偏东小于的方向航行能安全通过这一海域【分析】(1)如图1, 作，交AB的延长线于C，利用等腰直角三角形PBC,含30°角的直角三角形APC计算即可;(2)作差比较x与r的大小，判断有危险；以P为圆心，半径r为作圆，作圆的切线 计算PBD的大小，从而得到CBD的大小，从而判断即可.【详解】解：（1）如图1，作，交AB的延长线于C，由题意知：，设：则，解得，经检验：是原方程的根，且符合题意，；（2），因此海监船继续向东航行有触礁危险；设海监船无触礁危险的新航线为射线BD，以为圆心，为半径作圆，过作圆P的切线 交于点D，PDB=90°，由（1）得： ，PBD=60°，CBD=15°，海监船由B处开始沿南偏东小于的方向航行能安全通过这一海域【点睛】本题考查了方位角，特殊角的三角函数值，解直角三角形，圆的切线的判定，直径所对的圆周角是直角，熟练掌握特殊角的三角函数值，灵活解直角三角形是解题的关键题型二相似测距6.在同一时刻，物体的高度与它在阳光下的影长成正比在某一时刻，有人测得一高为的竹竿的影长为，某一高楼的影长为，那么这幢高楼的高度是（ ）ABCD【答案】D【分析】设此高楼的高度为x米，再根据同一时刻物高与影长成正比列出关于x的比例式，求出x的值即可【解析】解：设这幢高楼的高度为米，依题意得：，解得：故这栋高楼的高度为36米故选：【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键7.如图，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为时，标准视力表中最大的“”字高度为，当测试距离为时，最大的“”字高度为（ ）mmABCD【答案】C【分析】根据题意，得、，结合相似三角形的性质，通过相似比计算，即可得到答案【解析】根据题意，得，且 故选：C【点睛】本题考查了相似三角形的知识；解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，从而完成求解8.如图，小明想要测量学校操场上旗杆的高度，他作了如下操作：（1）在点处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角；（2）量得测角仪的高度；（3）量得测角仪到旗杆的水平距离利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（ ）ABCD【答案】A【解析】【分析】延长CE交AB于F，得四边形CDBF为矩形，故CF=DB=b，FB=CD=a，在直角三角形ACF中，利用CF的长和已知的角的度数，利用正切函数可求得AF的长，从而可求出旗杆AB的长【详解】延长CE交AB于F，如图，根据题意得，四边形CDBF为矩形，CF=DB=b，FB=CD=a，在RtACF中，ACF=，CF=b，tanACF= AF=,AB=AF+BF=，故选：A【点睛】主要考查了利用了直角三角形的边角关系来解题，通过构造直角三角形，将实际问题转化为数学问题是解答此类题目的关键所在9一数学兴趣小组去测量一棵周围有围栏保护的古树的高，在G处放置一个小平面镜，当一位同学站在F点时，恰好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时测得FG3m，这位同学向古树方向前进了9m后到达点D，在D处安置一高度为1m的测角仪CD，此时测得树顶A的仰角为30°，已知这位同学的眼睛与地面的距离EF1.5m，点B，D，G，F在同一水平直线上，且AB，CD，EF均垂直于BF，求这棵古树AB的高（小平面镜的大小和厚度忽略不计，结果保留根号）【答案】（94）m【分析】过点C作CHAB于点H，则CHBD，BHCD1m，由锐角三角函数定义求出BDCHAH，再证EFGABG，得，求出AH（84）m，即可求解【详解】解：如图，过点C作CHAB于点H，则CHBD，BHCD1m，由题意得：DF9m，DGDFFG6（m），在RtACH中，ACH30°，tanACHtan30°，BDCHAH，EFFB，ABFB，EFGABG90°由反射角等于入射角得EGFAGB，EFGABG，即，解得：AH（84）m，ABAHBH（94）m，即这棵古树的高AB为（94）m【点睛】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，相似三角形的应用等知识，正确作出辅助线构造直角三角形，证明EFGABG是解题的关键10.如图，一艘轮船以每小时30海里的速度自东向西航行，在处测得小岛位于其西北方向（北偏西方向），2小时后轮船到达处，在处测得小岛位于其北偏东方向求此时船与小岛的距离（结果保留整数，参考数据：，）【答案】此时船与小岛的距离约为44海里【解析】【分析】过P作PHAB，设PH=x，由已知分别求PB、BH、AH，然后根据锐角三角函数求出x值即可求解【详解】如图，过P作PHAB，设PH=x，由题意，AB=60，PBH=30º，PAH=45º，在RtPHA中，AH=PH=x,在RtPBH中，BH=AB-AH=60-x，PB=2x，tan30º=，即，解得：，PB=2x=44（海里），答：此时船与小岛的距离约为44海里【点睛】本题考查了直角三角形的应用，掌握方向角的概念和解直角三角形的知识是解答本题的关键11如图，小华遥控无人机从点A处飞行到对面大厦MN的顶端M，无人机飞行方向与水平方向的夹角为37°，小华在点A测得大厦底部N的俯角为31°，两楼之间一棵树EF的顶点E恰好在视线AN上，已知树的高度为6米，且，楼AB，MN，树EF均垂直于地面，问：无人机飞行的距离AM约是多少米？（结果保留整数参考数据：cos31°0.86， tan31°0.60， cos37°0.80， tan37°0.75）【答案】38米【分析】过作于，易证，得，则，再由锐角三角函数求出，然后在中，由锐角三角函数定义求出的长即可【详解】解：过作于，如图所示：则，由题意得：，在中，在中，即无人机飞行的距离约是【点睛】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，相似三角形的应用等知识，正确作出辅助线构造直角三角形，证明是解题的关键题型三锐角三角函数测距12如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔的高度，他从古塔底部点处前行到达斜坡的底部点处，然后沿斜坡前行到达最佳测量点处，在点处测得塔顶的仰角为，已知斜坡的斜面坡度，且点，在同一平面内，小明同学测得古塔的高度是（）ABCD【答案】A【分析】过作于，于，得到，设，根据勾股定理得到，求得，于是得到结论【详解】解：过作于，于，斜坡的斜面坡度，设，故选：A【点睛】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，解直角三角形的应用坡角坡度问题，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键13无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为的处测得试验田右侧出界处俯角为，无人机垂直下降至处，又测得试验田左侧边界处俯角为，则，之间的距离为（参考数据：，结果保留整数）（ ）ABCD【答案】C【分析】根据题意易得OAMN，N=43°，M=35°，OA=135m，AB=40m，然后根据三角函数可进行求解【详解】解：由题意得：OAMN，N=43°，M=35°，OA=135m，AB=40m，；故选C【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数是解题的关键14小明用一块含有60°（DAE60°）的直角三角尺测量校园内某棵树的高度，示意图如图