中考数学一轮复习提升练习第3.5讲 反比例函数（考点精析+真题精讲）（含解析）

备战2024中考数学一轮复习第5讲反比例函数考向解读考点精析真题精讲题型突破专题精练第三章函数第5讲反比例函数考点精析真题精讲考向一 反比例函数的定义考向二 反比例函数的图象和性质考向三 反比例函数解析式的确定考向四 反比例函数中k的几何意义考向五 反比例函数与一次函数的综合考向六 反比例函数的应用考向七 反比例函数与平面几何综合类型一最值问题类型二存在性类型三与面积有关第5讲反比例函数反比例函数也是非常重要的函数,年年都会考,总分值为15分左右，预计2024年各地中考一定还会考，反比例函数与一次函数结合出现在解答题中是各地中考必考的一个答题，反比例函数的图象与性质和平面几何的知识结合、反比例函数中|k|的几何意义等也会是小题考察的重点.考点精析一、反比例函数的概念1反比例函数的概念：一般地，函数（k是常数，k0）叫做反比例函数反比例函数的解析式也可以写成的形式自变量x的取值范围是x0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数2反比例函数（k是常数，k0）中x，y的取值范围自变量x和函数值y的取值范围都是不等于0的任意实数二、反比例函数的图象和性质1反比例函数的图象与性质（1）图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限由于反比例函数中自变量x0，函数y0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴（2）性质：当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小当k<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大表达式（k是常数，k0）kk>0k<0大致图象所在象限第一、三象限第二、四象限增减性在每个象限内，y随x的增大而减小在每个象限内，y随x的增大而增大2反比例函数图象的对称性反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=x和y=-x，对称中心为原点3注意（1）画反比例函数图象应多取一些点，描点越多，图象越准确，连线时，要注意用平滑的曲线连接各点（2）随着|x|的增大，双曲线逐渐向坐标轴靠近，但永不与坐标轴相交，因为反比例函数中x0且y0（3）反比例函数的图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自象限内的增减情况当k>0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k>0时，y随x的增大而减小同样，当k<0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大三、反比例函数解析式的确定1待定系数法：确定解析式的方法仍是待定系数法，由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式2待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤（1）设反比例函数解析式为（k0）；（2）把已知一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程；（3）解这个方程求出待定系数k；（4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式四、反比例函数中|k|的几何意义1反比例函数图象中有关图形的面积2涉及三角形的面积型当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解（1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图，SABC=2SACO=|k|；（2）如图，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C，则SAOB=SAOC+SBOC=+=；（3）如图，已知反比例函数的图象上的两点，其坐标分别为，C为AB延长线与x轴的交点，则SAOB=SAOCSBOC=五、反比例函数与一次函数的综合1涉及自变量取值范围型当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标针对时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围.例如，如下图，当时，x的取值范围为或；同理，当时，x的取值范围为或2求一次函数与反比例函数的交点坐标（1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定.k值同号，两个函数必有两个交点；k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点；（2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况六、反比例函数的实际应用解决反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，特别注意自变量的取值范围真题精讲考向一 反比例函数的定义1反比例函数的表达式中，等号左边是函数值y，等号右边是关于自变量x的分式，分子是不为零的常数k，分母不能是多项式，只能是x的一次单项式2反比例函数的一般形式的结构特征：k0；以分式形式呈现；在分母中x的指数为11（山东滨州·中考真题）下列函数：y=2x1；y=x2+8x2；中，y是x的反比例函数的有 （填序号）【答案】【解析】反比例函数的定义【分析】根据反比例函数的定义逐一作出判断：y=2x1是一次函数，不是反比例函数；是反比例函数；y=x2+8x2是二次函数，不是反比例函数；不是反比例函数；是反比例函数；中，a0时，是反比例函数，没有此条件则不是反比例函数故答案为2（2023·山西·统考中考真题）已知都在反比例函数的图象上，则a、b、c的关系是（    ）ABCD【答案】B【分析】先根据反比例函数中判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论【详解】解：反比例函数中，函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小位于第三象限，点位于第一象限，故选：B【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键3（2023·湖南永州·统考中考真题）已知点在反比例函数的图象上，其中a，k为常数，且则点M一定在（    ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】A【分析】根据反比例函数中的，可知反比例函数经过第一、三象限，再根据点M点的横坐标判断点M所在的象限，即可解答【详解】解：，反比例函数的图象经过第一、三象限，故点M可能在第一象限或者第三象限，的横坐标大于0，一定在第一象限，故选：A【点睛】本题考查了判断反比例函数所在的象限，判断点所在的象限，熟知反比例函数的图象所经过的象限与k值的关系是解题的关键考向二 反比例函数的图象和性质当k>0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内，y随x的增大而减小当k<0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内，y随x的增大而增大双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）4（2020·山东威海·中考真题）一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图象可能是（ ）A B C D【答案】D【分析】根据一次函数与反比例函数图象的性质进行判断即可得解【解析】当时，则一次函数经过一、三、四象限，反比例函数经过一 、三象限，故排除A，C选项；当时，则一次函数经过一、二、四象限，反比例函数经过二、四象限，故排除B选项，故选：D【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数图像的性质，熟练掌握相关性质与函数图像的关系是解决本题的关键5（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）已知点在反比例函数的图像上，且，则下列结论一定正确的是（    ）ABCD【答案】D【分析】把点A和点B的坐标代入解析式，根据条件可判断出、的大小关系【详解】解：点，）是反比例函数的图像上的两点，即，故D正确故选：D【点睛】本题主要考查反比例函数图像上点的坐标特征，掌握图像上点的坐标满足函数解析式是解题的关键6.（2023·山西·统考中考真题）已知都在反比例函数的图象上，则a、b、c的关系是（    ）ABCD【答案】B【分析】先根据反比例函数中判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论【详解】解：反比例函数中，函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小位于第三象限，点位于第一象限，故选：B【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键7（2020·湖北武汉·中考真题）若点，在反比例函数的图象上，且，则的取值范围是（ ）ABCD或【答案】B【分析】由反比例函数，可知图象经过第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，由此分三种情况若点A、点B在同在第二或第四象限；若点A在第二象限且点B在第四象限；若点A在第四象限且点B在第二象限讨论即可【解析】解：反比例函数，图象经过第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，若点A、点B同在第二或第四象限，a-1a+1，此不等式无解；若点A在第二象限且点B在第四象限，解得：；由y1y2，可知点A在第四象限且点B在第二象限这种情况不可能综上，的取值范围是故选：B【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键，注意要分情况讨论，不要遗漏8. 已知点A(，2)、B(2，)都在反比例函数的图象上(1)求、的值；(2)若直线与轴交于点C，求C关于轴对称点C的坐标【解析】解：（1）将点A(，2)、B(2，)的坐标代入得：，解得；，所以.（2）直线为， 令，所以该直线与轴的交点坐标为C（1,0），C关于轴对称点C的坐标为(1，0)考向三 反比例函数解析式的确定1反比例函数的解析式（k0）中，只有一个待定系数k，确定了k值，也就确定了反比例函数，因要确定反比例函数的解析式，只需给出一对x，y的对应值或图象上一个点的坐标，代入中即可2确定点是否在反比例函数图象上的方法：（1）把点的横坐标代入解析式，求出y的值，若所求值等于点的纵坐标，则点在图象上；若所求值不等于点的纵坐标，则点不在图象上（2）把点的横、纵坐标相乘，若乘积等于k，则点在图象上，若乘积不等于k，则点不在图象上9（2020·陕西中考真题）在平面直角坐标系中，点A（2，1），B（3，2），C（6，m）分别在三个不同的象限若反比例函数y（k0）的图象经过其中两点，则m的值为_【答案】-1【分析】根据已知条件得到点在第二象限，求得点一定在第三象限，由于反比例函数的图象经过其中两点，于是得到反比例函数的图象经过，于是得到结论【解析】解：点，分别在三个不同的象限，点在第二象限，点一定在第三象限，在第一象限，