2008高考数学专题

2008高考数学专题高考数学专题1集合集合A已知集合A(x,y)|x2mxB y2=0和B(x,y)|xCy10,0x2,如果，D求实数m的取值范围。X2mxy2解：由Xy（x）得： X2(m1)x10（0x2）. AB，Q方程在区间，上至少有一个实数根。由（m）2，得m3或m-1.当 m3时，由x1x2-（m）0及x1x2=1>0,知方程有两个互为倒数的正根。故必有一根在区间(0,1内，从而方程至少有一根在区间0,2内。综上所述，所求m的取值范围是(-,-1.2含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法。含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法。A. （2003 年全国高考试题） 已知 c>0.设p: 函数 y=cx在 R 上单调递减。Q: 不等式 x|xc|>1 的解集为 R。如果 P 和 Q 有且仅有一个正确，求 c 的取值范围。分析：对 p 来讲可顺利地确定 01 的解集为 R 函数 y=xxc在 R 上恒大于 1。2x2c,x2c,xxcQ2c, x1 的解集为 R2c>1c>0.5如果 P 正确，且 Q 不正确，则 00，函数 f(x) =axbx2。()当 b>0 时，若对任意 xR 都有 f(x) 1，证明：a ；2 b()当 b>1 时，证明：对任意 x 0,1,f(x)的充要条件是 b1a；2 b()当 00, b>0, aQ2 b() 必要性：对任意 x 0,1，f(x)1 - 1f(x)，据此可以推出 - 1 f(1)，即ab-1. ab1；对任意 x0,1,f(x)1 f(x)1, b>1,可以推出 f()1，即 a QQ1 b1， a1abg2 bb1a.2 b充分性： b>1，ab1，对人任意 x0,1，可以推出 axbx2b(xx2)x x -Q1，即 axbx2 -1； b>1， a，对任意 x0,1,可以推出 axbx2bx21，即Q2 b2 bxaxbx21.-1f(x)1综上，当 b>1 时， 对任意 x0,1,f(x)1 的充要条件是 b1a2 b() 因为 a>0，00,0<b1 时，对任意 x0,1,f(x)1 的充要条件是 ab+1.5 映射与函数映射与函数函数是数学中研究两个变量之间相互依存、相互联系的规律的内容，函数思想的实质是应用运动变化、相互联系、相互制约的观点去认识和处理有关的问题，它既是一种认识问题时在观念上的指导，又是一种处理问题时的策略上的选择。A 某城市为了改善交通状况，需要进行路网改造，已知原有道路为 a 个标段，（注：1 个标段是指一定长度的机动车道），拟增建 x 个标段的新路和 n 个道路交叉，n 与 x 满足关系 n = ax + b ，其中b 为常数，设新建 1 个标段道路的平均造价为 k 万元，新建 1 个交叉口的平均造价是新建 1 个标段道路的平均造价的倍(1), 越大，路网越通畅，设路网的堵塞率为，它与的关系为。1 2(1)写出新建道路交叉口的总造价 y（万元）与 x 的函数关系式；若要求路网的堵塞率介于 5%与 10%之间，而且新建道路标段数为原有道路标段数的 20%，求新建道路的总造价与新建道路交叉口的总造价之比 p 的取值范围。当 b = 5 时，在的假设下，要求造价比 p = 可行吗？为什么？分析：本题阅读量较大，题目中涉及到的量很多，字母多而复杂，仔细读题后发现仍然求函数表达式以及相关最值问题，属于基本类型，关键在于对题目所给信息的提炼，加工。解: 依题意得新建道路交叉口的总造价为: ()yk nkaxb新建道路总造价为 kx 万元，Q()kxxpyaxb220.2 (0.2)(5 )aa abab由，得，10.050.12(1)49P 的取值范围为229(5 )4(5 )aapababb = 5 ,Q2111 254(25)40204()apaaa因此，p =是不可行的。1 206函数的解析式与定义域函数的解析式与定义域在探究函数解析式是，不仅要掌握常见的方法，而且也要注意函数性质的运用，特别是函数的单调性，奇偶性和周期性的运用。A 已知函数 y = f(x) 是定义在 R 上的周期函数，周期为 T = 5 ，函数 y = f(x) (-1x1)是奇函数，又知 y = f(x) 在0，1上是一次函数，在1，4上是二次函数，且在 x = 2 时，函数可取得最小值，最小值为 5 . 求证 f(1) + f(4) = 0;试求 y = f(x) 在1,4上的解析式；试求 y = f(x) 在4,9上的解析式.分析：正确运用题设条件，利用待定系数法求函数的解析式。解：y = f(x) 是以 5 为周期的周期函数，Qf(4) = f(45) = f(- 1).又 y = f(x) (- 1x1)是奇函数，f(1) = - f(- 1) = - f(4).f(1) + f(4) = 0.当 x1,4时，由题意，可设 f(x) = a(x)25 (a0).由 f(1) + f(4) = 0,得a(12)25 +a(42)25 =0 .解得 a = 2 .f(x) = 2(x2)25 (1x4) .y = f(x) (- 1x1)是奇函数，Qf(0) = - f(0) .f(0) = 0 .由于 y = f(x) (0x1)是一次函数,可设 f(x) =kx (0x1) .f(1) = 2 (12)25 = - 3 ,Qk = - 3 .当 0x1 时,f(x) = - 3x ; 当-1x<0 时,0< -x1 . f(x) = - f(x) = - 3x ,当 4x6 时, -1x51 .f(x) = f(x5) = -3(x5) = -3x + 15 .当 6<x9 时,1<x54,f(x) = f(x5) = 2 (x5) 225 = 2 (x7)25 .-3x + 15 , (4x6)f(x) = 2 (x7)25 . (6<x9)7 函数的值域与最值函数的值域与最值最值型应用题的导数解法在考查能力和素质越来越突出的高考中，命题上增加综合型、能力型和应用型的题目是改革的方向。应用题仍是高考中的重点和热点，其中最值型应用题是一种常见的重要题型，导数则是解决这类问题的强有力的工具。应用导数求解最值型应用题的步骤是：1建立模型 认真分析实际问题中的数量关系，建立数学模型，即建立变量间的函数关系 y = f(x)并确定其定义域 D。2解出驻点 求出定义域区间 D 内函数的驻点。3求端点值 求出定义域区间 D 上端点处的函数值。4确定最值 比较函数各驻点的函数值和端点处的函数值的大小，根据问题的实际意义，确定函数的最大（小）值和最大（小）值点。A 如下图，用半径为 R 的圆铁皮，剪一个圆心角为 a 的扇形，制成一个圆锥形的漏斗，问圆心角a 取什么值时，漏斗的容积最大？分析：设圆锥的底面半径为 r，高为 h，如果求出 r，就可以由 Ra = 2r 求出 a 。设圆锥的体积为V，那么 V =.由图知：.下面选择对 a 和 r 求导数的方法，求漏斗的容积的最大值。21 3r h222rhR解法一：设圆锥的底面半径为 r，高为 h，体积为 V，那么由222,2,rhRRar代入 V =，得21 3r h36 2224 21()()322124RaRaRaVRaggg再令，求它的导数得，令。6 4 24aTa5 '3 23( )42aT aa'( )0T a 即。求得，5 3 23402aa2 6 3a检验，当时, ,时, ，所以当时, 2063a'( )0T a 2 623a'( )0T a 2 6 3a取得极大值，并且这个极大值就是最大值，且取得最大值时，也就取得最大值，所以当( )T a( )T a( )V a时，漏斗的容积最大。2 6 3a解法二：设圆锥的底面半径为 r，高为 h，体积为 V，那么，因此由222rhR.再令，求它的导数2222246111( )(0)333V rr hrRrR rrrRg246( )T rR rr。再令，即，求得，可'235( )46T rR rr'( )0T r 235460R rr6 3rR以检验当时, 取得最大值，也就是当时，取得最大值。再把6 3rR( )T r6 3rR( )V r代入得.所以当时，漏斗的容积最大。6 3rR2Rar2 6 3a2 6 3a评析：在利用导数求函数的最值时，可以直接建立函数关系式 V = f(a) ,利用求变量 a 的导数，求出容积的最大值。为了计算方便可以对其中的中间过渡量 h 或 r 求导数，再代入有关关系式，同样可以求出a 的值，从而求得容积的最值，而且相比较而言，利用中间过渡量 h 求导显得更为简捷。8 函数的奇偶性函数的奇偶性A （2003 年上海春季高考题）已知函数.1111 3333 ( ), ( )55xxxxf xg x证明是奇函数，并求的单调区间.( )f x( )f x分别计算和的值，由此概括出涉及函数和的对(4)5 (2) (2)ffg(9)5 (3) (3)ffg( )f x( )g x所有不等于零的实数都成立的一个等式，并加以证明.x解：函数的定义域关于原点对称，又Q( )f x(,0)(0,)U.1111 3333()()()( )55xxxxfxf x 是奇函数。( )f x设1111 3333 211 121212,(0,),()()55xxxxxxx x xf xf x11 33 1222 1211()(1)5xxxxgQ11 33 121133 1210,10,xx xx g在上单调递增。又是奇函数, 在上也是12()()0.( )f xf xf x(0,)( )f x( )f x(,0)单调递增. 的单调区间为和.( )f x(,0)(0,)算得.由此概括出对所有不等于零(4)5 (2)(2)0,(9)5 (3)(3)0ffgffggg的实数有: 因为x2()5 ( )( )0.f xf x g xg.221111 22223333332333311()5 ( )( )5()()055555xxxxxxf xf x g xxxxx ggg9 函数的单调性函数的单调性A （黑龙江省西北地区模拟试题） 设平面向量，若存在不同时为3113(,),( ,)2222ab0 的两个实数、 及实数，使且.st0k 2() ,xatk b ysatb xy()求函数关系式；( )sf t()若函数在是单调增函数；( )sf t1,)()求证：；03k()设，且满足，求证: .001,()1xf x00 ()f f xx00()f xx解：() 3113(,),( ,)