北师大版初中数学九年级上册《角平分线》教案
1课课 题：题：第一章 第四节 角平分线（第二课时）课课 型：型：新授课教学目标：教学目标：1.掌握三角形三个内角的平分线的性质，进一步发展学生的推理证明意识和能力 （重点）2.综合运用角平分线的判定和性质定理，解决几何中的问题（重难点）3.在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心教法与学法指导：教法与学法指导： 本节课教学模式主要采用“小组合作竞学”的教学模式.提出问题让学生想，设计问题让学生做，错误原因让学生说，方法与规律让学生归纳，并且营造小组竞学的氛围. 教师的作用在于组织、点拨、引导，促进学生主动探索，积极思考，大胆想象，总结规律，充分发挥学生的主体作用，让学生真正成为学习的主人.课前准备：课前准备：制作课件，学生课前进行相关预习.教学过程：教学过程：一、一、感悟导入感悟导入问题 1 习题 18 的第 1 题作三角形的三个内角的角平分线，你发现了什么？(教师可用多媒体演示尺规作图过程) 生生 三角形的三个内角的角平分线交于一点 生生 根据角平分线的性质定理还可知这点到三角形三边的距离相等 师师 你还可以用什么方法说明上述结论呢？ 生生 利用折纸在纸板上画一个三角形并剪下来，折叠，作出三角形三个内角的角平分线交于一点 师师 如何利用我们学过的公理和已证的定理来证明它呢？可以类比我们学过的知识解决吗？ 生生 可以类比三角形三条边的垂直平分线交于一点的方法来证明我们在证此结论时，先是设有其中两边的垂直平分线交于一点，然后利用线段垂直平分线的判定定理，说明这一点在第三边的垂直平分线上2 师师 很好！下面我们就来证明：三角形三条角平分线相交于一点三角形三条角平分线相交于一点二、探究新知二、探究新知1.1.三角形角平分线性质定理的证明三角形角平分线性质定理的证明 师生共析师生共析 已知：如图，设ABC 的角平分线 BM、CN 相交于点 P，证明：证明：P 点在BAC 的角平分线上证明：证明：过 P 点作 PDAB，PFAC，PEBC，其中 D、E、F 是垂足BM 是ABC 的角平分线，点 P 在 BM 上，PDPE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)同理：PEPFPDPF点 P 在BAC 的平分线上(在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上)ABC 的三条角平分线相交于点 P 师师 在证明过程中，我们除证明了三角形的三条角平分线相交于一点外，还证明了什么呢？生生还证明了 PDPEPF，即这个交点到三角形三边的距离相等 师师 于是我们得出了有关三角形的三条角平分线的结论，即定理 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等下面我们通过列表来比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理三边垂直平分线三条角平分线三角形锐角三角形交于三角形内一点交于三角形内一点3钝角三角形交于三角形外一点直角三角形交于斜边的中点交点性质到三角形三个顶点的距离相等到三角形三边的距离相等 师师 下面我们来看问题 2(多媒体演示)如图，直线 l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？生生有一处在三条公路的交点 A、B、C 组成的ABC 三条角平分线的交点处 师师 你如何发现的？ 生生 因为三角形三条角平分线交于一点，且这一点到三边的距离相等而现在要建的货物中转站要求它到三条公路的距离相等这一点刚好符合 生生 我找到四处(同学们很吃惊) 师师 你是如何找到的？生生除了刚才同学找到的三角形 ABC 内部的一点外，我认为在三角形外部还有三点作ACB、ABC 外角的平分线交于点 P1(如下图所示)，我们利用角平分线的性质定理和判定定理，可知点 P1在CAB 的角平分线上，且到 l1、l2、l3的距离相等同理还有BAC、BCA 的外角的角平分线的交点 P2；BAC、CBA 的外角的角平分线的交点P3因此满足条件的点共 4 个，分别是 P、P1、P2、P34三、合作竞学三、合作竞学多媒体演示例例 1如图，在ABC 中，ACBC，C90°，AD 是ABC 的角平分线，DEAB，垂足为 E(1)已知 CD4cm，求 AC 的长；(2)求证：ABACCD分析：分析：本例需要运用前面所学的多个定理，而且将计算和证明融合在一起，目的是使学生进一步理解、掌握这些知识和方法，并能综合运用它们解决问题第(1)问中，求 AC的长，需求出 BC 的长，而 BCCDDB，CD4cm，而 BD 在等腰直角三角形 DBE 中，根据角平分线的性质，DECD4cm，再根据勾股定理便可求出 DB 的长第(2)问中，求证 ABACCD这是我们第一次遇到这种形式的证明，利用转化的思想 ABAEBE，所以需证 ACAE，CDBE(1)解：解：AD 是ABC 的角平分线，C90°，DEABDECD4cm(角平分线上的点到这个角两边的距离相等)ACBCBBAC(等边对等角)C90°，B×90°45°21BDE90°45°45°BEDE(等角对等边)在等腰直角三角形 BDE 中BDcm(勾股定理)，22DE24ACBCCDBD(4)cm245(2)证明：证明：由(1)的求解过程可知，RtACDRtAED(HL 定理)ACAEBEDECD，ABAEBEACCD例例 2已知：如图，P 是AOB 平分线上的一点，PCOA，PDOB，垂足分别为C、D求证：(1)OCOD；(2)OP 是 CD 的垂直平分线证明：证明：(1)P 是AOB 角平分线上的一点，PCOA，PDOB，PCPD(角平分线上的点到角两边的距离相等)在 RtOPC 和 RtOPD 中，OPOP，PCPD，RtOPCRtOPD(HL 定理)OCOD(全等三角形对应边相等)(2)又 OP 是AOB 的角平分线，OP 是 CD 的垂直平分线(等腰三角形“三线合一”定理)思考：思考：图中还有哪些相等的线段和角呢？四、课堂小结四、课堂小结1.师：通过本节课的学习，你有哪些感悟与收获？生 1：本节课我学会了证明三角形角平分线的性质定理生 2：我们可以用三角形角平分线的性质定理解决一些数学问题和实际问题. 生 3：我进一步熟练了尺规作角的平分线6生 4：我学会了类比的思想方法.生 5：通过课本 p39,第 2 题和助学 p24 第 7 题我学会了归纳总结思想.五、达标检测五、达标检测1.如图，在ABC 中，AB=AC，AD 是ABC 的角平分线，DEAB，DFAC，垂 足分 别为 E、F，下面给出四个结论：DA 平分EDF；AE=AF；AD 上的点到 B、C 两点的距离相等；到 AE、AF 距离相等的点，到 DE、DF 的距离也相等，其中正 确的结论有：( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个答案D2. 已知：如下图，在ABC 的外角CBD 和BCE 的平分线 相交于点 F， 求证：点 F 在DAE 的平分线上. 点拨方法要证明点在角平分线上，那就是要证明点到角两边的距离相等，那应该用用什么方法呢? 答案证明：过点 F 作 FGBC,FMAE,FNAD 垂足分别为 G、M、N.FB、FC 分别为CBD、BCE 的角平分线FG = FN, FG =FMFN =FM点 F 在DAE 的平分线上.六、布置作业六、布置作业1习题 19 第 1，2，3 题2完成助学 p26 第 1，2 题选作第 5 题七、七、 板书设计板书设计FEDACBMNGFADEBC7§142 角平分线(二)1定理：三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等2例在ABC 中，ACBC，C90°，AD 是ABC 的角平分线，DEAB，垂足为E(1)已知 CD4cm，求 AC 的长；(2)求证：ABACCD分析：分析：(略)解：(略)八、八、 教学反思教学反思教材中的引入是一种用被动的方式将学生的知识回想起来.而笔者的引入以交流方式让 学生主动回想起角平分线的概念以及画法，这样对学生思维的启发度深；也让学生明白前 后知识的联系，以填空的形式给出让学生的思维对角平分线是射线、三角形的角平分线是 线段有了充分的理解与掌握.这样学生对知识的学习达到知其然、知其所以然的效果. 1、这节课主要是用类比的教学方法将书本的知识隐含的内容表达出来、给学生一 种美的感受；将旧知与新知以有效的语言表达出来、合适的方式写在一起，为师生的交流 创造良好的氛围；这样学生的学习就容易达到事半功倍的效果。通过问题的解决，让学生 学会从不同角度分析问题、解决问题；让学生学会引申、变更问题，以培养学生发现问题 、提出问题的创造性能力. 2.重视情境创设，让学生经历求知过程.本节课引入问题教学的模式，其目的是引导学 生积极参与课堂，积极投入到解题思路的探索过程中，通过合作学习引导学生深层次参与 ，倡导同学们要学会用大脑去思考，用耳朵去倾听,用眼睛去观察，用双手去操作，使学生 言语与行动逐步起到自觉调控的作用，促进思维的“内化” ，从而发展学生的独立思考.3、教学过程不足之处 在具体的教学过程中，整个课堂显得时间仓促，没有给学生留下足够的时间和空间进行定 理应用。特别是课堂小结，在对知识的梳理上显然做的不够。假如对本节课进行第二次设 计，我想只探讨角平分线性质定理即可，而后补充一些例题给学生足够的时间让他们进行 分析和运用，落实对推理问题思路的探寻和清晰、条理性书写证明的过程，切实培养学生 的逻辑推理能力和灵活运用知识解决问题的能力.另外，教学语言不精练，有的话重复了好 几遍，过多的点拨剥夺了学生的思维参与机会；课堂提问质量不高，尤其是对课堂语言的 锤炼，不仅仅是表达清楚，更要言简意赅，把更多的时间留给学生，让学生在课堂上有更 多的时间去思考.还要注意，发挥学生的主体性不应停留在口头上，还要在实际操作时充分 体现教师是学生学习的引导者，学生是学习的真正的主人.
