北师大版初中数学九年级上册《角平分线》教案
7页1、1课课 题:题:第一章 第四节 角平分线(第二课时)课课 型:型:新授课教学目标:教学目标:1.掌握三角形三个内角的平分线的性质,进一步发展学生的推理证明意识和能力 (重点)2.综合运用角平分线的判定和性质定理,解决几何中的问题(重难点)3.在数学活动中获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立自信心教法与学法指导:教法与学法指导: 本节课教学模式主要采用“小组合作竞学”的教学模式.提出问题让学生想,设计问题让学生做,错误原因让学生说,方法与规律让学生归纳,并且营造小组竞学的氛围. 教师的作用在于组织、点拨、引导,促进学生主动探索,积极思考,大胆想象,总结规律,充分发挥学生的主体作用,让学生真正成为学习的主人.课前准备:课前准备:制作课件,学生课前进行相关预习.教学过程:教学过程:一、一、感悟导入感悟导入问题 1 习题 18 的第 1 题作三角形的三个内角的角平分线,你发现了什么?(教师可用多媒体演示尺规作图过程) 生生 三角形的三个内角的角平分线交于一点 生生 根据角平分线的性质定理还可知这点到三角形三边的距离相等 师师 你还可以用什么方法说明上述结论呢? 生生 利用折纸在纸板上画一个
2、三角形并剪下来,折叠,作出三角形三个内角的角平分线交于一点 师师 如何利用我们学过的公理和已证的定理来证明它呢?可以类比我们学过的知识解决吗? 生生 可以类比三角形三条边的垂直平分线交于一点的方法来证明我们在证此结论时,先是设有其中两边的垂直平分线交于一点,然后利用线段垂直平分线的判定定理,说明这一点在第三边的垂直平分线上2 师师 很好!下面我们就来证明:三角形三条角平分线相交于一点三角形三条角平分线相交于一点二、探究新知二、探究新知1.1.三角形角平分线性质定理的证明三角形角平分线性质定理的证明 师生共析师生共析 已知:如图,设ABC 的角平分线 BM、CN 相交于点 P,证明:证明:P 点在BAC 的角平分线上证明:证明:过 P 点作 PDAB,PFAC,PEBC,其中 D、E、F 是垂足BM 是ABC 的角平分线,点 P 在 BM 上,PDPE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)同理:PEPFPDPF点 P 在BAC 的平分线上(在一个角的内部,且到角两边距离相等的点,在这个角的平分线上)ABC 的三条角平分线相交于点 P 师师 在证明过程中,我们除证明了三角形的三条角平分
3、线相交于一点外,还证明了什么呢?生生还证明了 PDPEPF,即这个交点到三角形三边的距离相等 师师 于是我们得出了有关三角形的三条角平分线的结论,即定理 三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等下面我们通过列表来比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理三边垂直平分线三条角平分线三角形锐角三角形交于三角形内一点交于三角形内一点3钝角三角形交于三角形外一点直角三角形交于斜边的中点交点性质到三角形三个顶点的距离相等到三角形三边的距离相等 师师 下面我们来看问题 2(多媒体演示)如图,直线 l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可选择的地址有几处?生生有一处在三条公路的交点 A、B、C 组成的ABC 三条角平分线的交点处 师师 你如何发现的? 生生 因为三角形三条角平分线交于一点,且这一点到三边的距离相等而现在要建的货物中转站要求它到三条公路的距离相等这一点刚好符合 生生 我找到四处(同学们很吃惊) 师师 你是如何找到的?生生除了刚才同学找到的三角形 ABC 内部的一点外,我认为在三角形外部还有三点作ACB、A
4、BC 外角的平分线交于点 P1(如下图所示),我们利用角平分线的性质定理和判定定理,可知点 P1在CAB 的角平分线上,且到 l1、l2、l3的距离相等同理还有BAC、BCA 的外角的角平分线的交点 P2;BAC、CBA 的外角的角平分线的交点P3因此满足条件的点共 4 个,分别是 P、P1、P2、P34三、合作竞学三、合作竞学多媒体演示例例 1如图,在ABC 中,ACBC,C90,AD 是ABC 的角平分线,DEAB,垂足为 E(1)已知 CD4cm,求 AC 的长;(2)求证:ABACCD分析:分析:本例需要运用前面所学的多个定理,而且将计算和证明融合在一起,目的是使学生进一步理解、掌握这些知识和方法,并能综合运用它们解决问题第(1)问中,求 AC的长,需求出 BC 的长,而 BCCDDB,CD4cm,而 BD 在等腰直角三角形 DBE 中,根据角平分线的性质,DECD4cm,再根据勾股定理便可求出 DB 的长第(2)问中,求证 ABACCD这是我们第一次遇到这种形式的证明,利用转化的思想 ABAEBE,所以需证 ACAE,CDBE(1)解:解:AD 是ABC 的角平分线,C90,
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