2025版高考数学总复习第7章立体几何第4讲空间直线平面垂直的判定与性质提能训练

第4讲 空间直线、平面垂直的判定与性质A组基础巩固一、单选题1(2023·北京延庆统测)已知直线a，平面，a，那么“a”是“”的( A )A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析过a作平面b，a，ab，若a，则b，又b，但，a时，a或a与相交，不一定a，故选A.2(2024·广东实验中学阶段测试)已知m，n为异面直线，m平面，n平面，直线l满足lm，ln，l，l，则( D )A且lB且lC与相交，且交线垂直于lD与相交，且交线平行于l解析由m平面，直线l满足lm，且l，所以l，又n平面，ln，l，所以l，由直线m，n为异面直线，且m平面，n平面，则与相交，否则，若则推出mn，与m，n异面矛盾，所以，相交，且交线平行于l，故选D.3(2022·广东珠海模拟)已知，是两个不同的平面，l，m，n是三条不同的直线，下列条件中，可以得到l的是( D )Alm，ln，m，nBlm，mC，lDlm，m解析由，是两个不同的平面，l，m，n是三条不同的直线，知：对于A，lm，ln，m，n，则l与相交、平行或l，故A错误；对于B，lm，m，则l与相交、平行或l，故B错误；对于C，l，则l与相交、平行或l，故C错误；对于D，lm，m，则由线面垂直的判定定理得l，故D正确故选D.4. (2022·卓越联盟质检)已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，PA平面ABC，PA2AB，则下列命题中正确的有( B )平面PAB平面PAE；PBAD；直线CD与PF所成角的余弦值为；直线PD与平面ABC所成的角为45°；CD平面PAE.A BC D解析PA平面ABC，PAAB，在正六边形ABCDEF中，ABAE，PAAEA，AB平面PAE，且AB平面PAB，平面PAB平面PAE，故成立；AD与PB在平面的射影AB不垂直，不成立；CDAF，直线CD与PF所成的角为PFA，在RtPAF中，PA2AF，cosPFA，成立；在RtPAD中，PAAD2AB，PDA45°，故成立；CDAF，CD平面PAF，显然AF与平面PAE相交，CD与平面PAE相交，即不成立，故选B.5(2024·湖南天壹名校联盟联考)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和线段BC1上的动点，则满足与DD1垂直的直线MN( D )A有且仅有1条 B有且仅有2条C有且仅有3条 D有无数条解析正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和线段BC1上的动点，过点M作垂直于DD1的平面，交BC1于点N，则MNDD1.因为M是DD1上的动点所以过M点与DD1垂直的平面有无数个，所以满足条件的N点也有无数个，所以有无数个满足条件的直线MN，即满足与DD1垂直的直线MN有无数条故选D.6(2023·河南开封等2地联测)已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题中正确的是( D )A若，m，mn，则nB若，m，n，则mnC若mn，m，n，则D若m，mn，n，则解析对于A，可能会出现n，n，或n与相交但不垂直的情况，所以A不正确；对于B，m，n可能是异面直线，所以B不正确；对于C，可能平行或相交但不垂直，所以C不正确；对于D，在平面内可找到一条直线垂直于平面，根据面面垂直的判定定理可知D正确，故选D.7(2024·江苏常州中学检测)设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( D )A若mn，n，则mB若m，则mC若mn，n，则mD若m，n，n，则m解析对于A，若mn，n，则m或者m或者m，相交，故A错误；对于B，若m，则m或者m或者m，相交，故B错误；对于C，若mn，n，则m或者m或者m，相交，故C错误；对于D，若m，n，则nm，又n，所以m，故D正确故选D.8(2023·江西赣州模拟)在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，P分别为A1B，A1C1，A1D的中点，则下列结论中错误的是( D )AMNAD1B平面MNP平面BC1DCMNCDD平面MNP平面A1BD解析对A，在A1BC1中，因为M，N分别为A1B，A1C1的中点，所以MNBC1.又BC1AD1，所以MNAD1，A正确；对B，在A1BD中，因为M，P分别为A1B，A1D的中点，所以MPBD.因为MP平面BC1D，BD平面BC1D，所以MP平面BC1D.因为MNBC1，MN平面BC1D，BC1平面BC1D，所以MN平面BC1D.又因为MPMNM，MP，MN平面MNP，所以平面MNP平面BC1D，B正确；对C，因为MNAD1，AD1CD，所以MNCD，C正确；对D，取BD的中点E，连接A1E，EC1，则A1EC1是二面角A1BDC1的平面角设正方体棱长为a，则cosA1EC10，又0°<A1EC1<180°，则A1EC190°，所以平面A1BD与平面BC1D不垂直又平面MNP平面BC1D，所以平面MNP与平面A1BD不垂直，D错误故选D.二、多选题9(2023·广东江门调研)设m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是( AB )A若m，n，则mnB若，m，则mC若m，n，则mnD若，则解析对于A，因为n，所以经过n作平面，使l，可得nl，又因为m，l，所以ml，结合nl，得mn.由此可得A是真命题；对于B，因为且，所以，结合m，可得m，故B是真命题；对于C，设直线m、n是位于正方体上底面所在平面内的相交直线，而平面是正方体下底面所在的平面，则有m且n成立，但不能推出mn，故C不正确；对于D，设平面、是位于正方体经过同一个顶点的三个面，则有且，但是，推不出，故D不正确故选AB.10如图，PA圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上一点，E，F分别是点A在PB，PC上的射影，给出下列结论正确的是( ABD )AAFPBBEFPBCAE平面PBCD平面PAC平面PBC解析由于PA平面ABC，因此PABC，又ACBC，因此BC平面PAC，所以BCAF，由于PCAF，因此AF平面PBC，所以AFPB，故A正确；因为AEPB，AFPB，所以PB平面AEF，因此EFPB，故B正确；若AE平面PBC，由A知AF平面PBC，由此可得出AFAE，这与AF，AE有公共点A矛盾，故AE平面PBC不成立，故C错误；由BC平面PAC知平面PAC平面PBC，故D正确，故选ABD.11. (2022·广东茂名五校联盟联考)已知正方体ABCDA1B1C1D1中，点O是底面ABCD的中心，点M是侧面BB1C1C内的一个动点，且OM平面C1A1D，则以下关系一定正确的是( BD )AOMDC1BVMC1A1DVCC1A1DCOMB1CDOMBD1解析如图易知平面C1A1D平面ACB1，由题意可知M在B1C上运动，当M运动到点C时OM与DC1异面，A错；由B1CA1D知B1C平面C1A1D，VMC1A1DVCC1A1D，B对；C显然错；由BD1平面ACB1知OMBD1，D对故选BD.三、填空题12(2023·湖南五校联考)已知直线m、l，平面、，且m，l，给出下列命题：若，则ml；若，则ml；若ml，则；若ml，则.其中正确的命题是_.解析对于，若，m，l，则ml，故正确；对于，若，则ml或m与l垂直，或m与l异面，故错误；对于，若ml，则或或与相交，故错误；对于，若ml，m，则l，又l，所以，故正确13(2019·北京)已知l，m是平面外的两条不同直线给出下列三个论断：lm；m；l.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：_若l，lm，则m.(或若l，m，则lm)_.解析由l，m是平面外的两条不同直线，及线面平行的判定定理得：若l，lm，则m，若l，m，则由线面垂直的性质和线面平行的性质得lm，若l，m，则lm，故答案为：若l，lm，则m.(或若l，m，则lm)四、解答题14(2023·广东梅州质检)如图，在四棱锥BACDE中，平面ABC平面ACDE，ABC是等边三角形，在直角梯形ACDE中，AECD，AEAC，AE1，ACCD2，P是棱BD的中点求证：EP平面BCD.证明证法一：如图，作PQDC交BC于点Q，连接AQ，P为BD的中点，Q为BC的中点，PQ綉CD，又AE綉CD，PQ綉AE，四边形AEPQ为平行四边形，EPAQ.又ABC为等边三角形，AQBC，EPBC.又AECD，AEAC，CDAC，又平面ABC平面ACDE，CD平面ABC，又AQ平面ABC，AQCD，EPCD，又CDBCC，EP平面BCD.证法二：分别取梯形两腰AC、ED的中点O、H，连接OH，OB.则OHAE，AEAC，OHAC，又平面ACDE平面ABC，OH平面ABC，OHAC，OHOB.又ABC为正三角形，OBAC.如图建立空间直角坐标系，由题意易知E(1,0,1)，C(1,0,0)，B(0，0)，D(1,0,2)，P，(1，0)，(0,0,2)，从而·0，·0，EPBC，EPCD，又BCCDC，EP平面BCD.15(2024·江苏淮安调研)如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，BAD60°，将CBD沿BD折起到PBD的位置，使PA.求证：平面PBD平面ABD.证明如图，取BD中点O，连接OA，OP.因为四边形ABCD是边长为2的菱形，BAD60°，所以ABD、PBD是边长为2的正三角形，因为O是BD的中点，所以OABD，OPBD，所以POA为二面角PBDA的平面角因为PD2，ODBD1，所以OP，同理可得OA，因为PA，