2021年高三数学北师大版(理)一轮课后限时集训：4函数及其表示
课后限时集训El函数及其表示建议用时：45分钟I 4组基础巩固炼、选择题卜列所给图像是函数图像的个数为（B. 2A.C.D. 4B 中当x>0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图像，中当x= X0时，y的值有两个，因此不是函数图像，中每一个 x的值对应唯一的y值，因此是函数图像.1 ，2 . （2019成都模拟）函数f（x） = log2（1 2x） + F的定义域为（）x I 1A. 0,1B. -00, 21C. (-1,0)U 0, 2一 .1D. 1)U 1, 2.“ c、1f(x)"-2x) + x+ 11 一由12x>0,且x+1w0,得x<2且xw 1,所以函数，1的定义域为（8, 1）u 1, 2 .，1一3 .已知 f2x 1 =2x 5,且 f(a) = 6,则 a 等于()7A.478- -4D.“1A 令 t = x 1,则 x=2t+2, f(t) = 2(2t+2) 5 = 4t1,贝 4a1=6,解得a = 414.若二次函数g(x)满足g(1)= 1,g(1) = 5,且图像过原点，则g(x)的解析式为()A . g(x)=2x23xB. g(x)=3x22xC. g(x)=3x2+2xD. g(x)= 3x2 2x2B 设 g(x) = ax +bx+ c(aw0), g(1)=1, g(1) = 5,且图像过原点,a+b+c=1 二 ab+c=5c= 0,c= 0,5.已知函数f(x) =2* x, x< 1,log3 x 1 , x>1,且 f(xo) = 1 ,则 x0=( .g(x)=3x22x.B.C. 0 或 47,设函数 f(x)= I x>1'则f(f(2) =,函数f(x)的值域是5,1115-2 3, +8)(2)=2，. .f(f(2)=f 2 = 22= 2.当 x> 1 时，f(x)e(0,i),当 x< 1 时，f(x)e 3, +8),.f(x)C 3, +8).8 .若 f(x)对任意 x R 恒有 2f(x) f( x) = 3x+ 1,则 f(1) =2f 1 -f -1 =4,2 由题意可知2f -1 -f 1 = 2,解得 f(1) = 2.三、解答题且 f( 2)=3, f(1) = f(1).ax+ b, x< 0,9 .设函数f(x) =2 ) x 声 0)(1)求函数f(x)的解析式;在如图所示的直角坐标系中画出f(x)的图像.解(1)由 f(2) = 3, f(1) = f(1),2a+b = 3, 覆行a+b=2,a= - 1,解得b=1,所以f(x) =x+ 1, x< 0, 2x, x>0.(2)函数f(x)的图像如图所示.10 .行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离.在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y(m)与汽车的车速.一x2x(km/h)满足下列关系：y=赤+ mx+ n(m, n是吊数).如图是根据多次头验数据绘制的刹车距离y(m)与汽车的车速x(km/h)的关系图.25.2 m,求行驶的最大速度.(1)求出y关于(2)如果要求刹车距离不超过解(1)由题意及函数图像,402200+40m+n = 8.4,徂/602-1解得m=100.n=0,所以上, y-200+ 100( 0)。x2 1 x 20。+100<25.2,得一72&X&70.)+60m+n=18.6, x>0, - 0< x< 70.故行驶的最大速度是 70 km/h.B组综合运用练A.C.设函数f(x) =2x+ nlOg2XB.D.33 =2,则实数n的值为(),3因为f 43=2x4+n3= 2+n.3一1 .33-1当/+ n<1,即n< 2时，f f 4 =2+n +n = 2,解得n= 3,不符合题息；.3一1 .当,+ n>1,即 n> 一2时，33r 3f f 4 =log2 2+ n =2,即2+n = 4,5解得n = 2,付合题息，故选D.x2 + x, x> 0,2.已知函数f(x)= 八 八 若af(a) f(a)>0,则实数a的取值范围为 3x, x<0,()A. (1, +00)B. (2, +00)C. ( 8, 1)U(1, +00)D. ( 8, 2)U(2, +00)D 当 a>0 时，不等式 af(a) f(a)>0 化为 a2 + a3a>0,解得a>2.当 a<0 时，不等式 af(a) f( a)>0 化为一a2 2a<0,解得a< 2.综上可得实数a的取值范围为( 8, -2)U(2, +00).x a 2 1, x< 1,3,设函数f(x)=若f(x)f恒成立，则实数a的取值范围ln x, x> 1,为()A. 1,2B. 0,2C. 1 , +00)D. 2, +00)A 若f(x户f恒成立，则f(1)是f(x)的最小值，则当x01时，f(x户f包成立， 又函数v= (x-a)2-1的图像的对称轴为直线x= a,所以a> 1.由分段函数性质得(1- a)2-1<ln 1,得0&a&2.综上可得，实数a的取值范围为1<a<2,故选A.一一一14. (2019平顶山模拟)已知具有性质：f1 = f(x)的函数，我们称为潴足“倒负”x变换的函数，下列函数:f(x) = x 1; f(x) = x+ 1;xxx, 0<x< 1 , f(x) =0, X= 1 ,x'x> 1.其中满足“倒负”变换的函数是 .(填序号)对于，f(x) = x1, f 1 =1x= f(x),满足题意；对于，f 1 =! + x x x xx x1 0<x<1, xx=1，一一一 ，一 1= f(x),不湎足题思；对于，f '= x-X, x>1,1。x1，即 f x = 0, x=1,x, 0<x< 1 ,一 14 故f工=f(x),酒足题意. x综上可知，满足“倒负”变换的函数是.C组思维拓展炼Vx, o<x< 1,11.设 f(x)=c , 若 f(a) = f(a+1),则 f£=()2 x- 1 , x> 1.aA. 2B. 4C. 6D. 8C 当 0<a<1 时，a+ 1>1, f(a)=，f(a+1) = 2(a+1 1) = 2a,. f(a) = f(a+ 1), .Va = 2a,解得a=4或a=o(舍去).1：f- =f(4)=2X (41) = 6. a当 a>1 时，a+1>2, .f(a) = 2(a 1), f(a+ 1) =2(a+ 1 1)=2a,2(a1)=2a,无解.综上，f 1 .11法一：取 k=1, a=2C(0,1),则令m = 1, m=2,此时f 2 =f-2=f(1),所以f(x)是Q函数. =6. a2.已知x为实数，用冈表示不超过x的最大整数，例如1.2 = 1, 1.2 = 2,1 = 1.对于函数f(x),若存在mC R且m?Z,使得f(m) = f(m),则称函数f(x)是Q函数.(1)判断函数f(x) = x证明：设 kC N+,取 ae(k2 k, k2),令m=k, m=一言 则一定有 mm = ak2 a、，7- (-k)= . (0,1),且 f(m) = f(m),所以 f(x)是 Q 函数.kk ；x, g(x)=sin x是否是。函数(只需写出结论)；(2)已知f(x) = x+2请写出a的一个值，使得f(x)为Q函数，并给出证明. x解(1)f(x) = x2gx 是 Q 函数，g(x) = sin 次不是 Q 函数.、,一3a 3 . .33(2)法一：取 k=1, a=2C(1,2),则令m=1, m=1 = 2,此时 f 2 =f 万=f(1),所以f(x)是Q函数.证明：设 kCN+,取 aC(k2, k2+k),令m=k, m= a,则一定有 mm=ak kka k2=e (0,1),且 f(m) = f(m),所以 f(x)是 Q函数. kA. 0D. 1 或 3C 当 x001 时，由 f(x0)= 2x0=1,得 x0= 0(满足 x00 1);当 x0>1 时，由 f(x0) = log3(x0 1)=1,得 x。- 1 = 3,则 x0=4(满足 x0>1),故选 C.二、填空题6.若函数v= f(x)的定义域为0,2,则函数9因=安的定义域是.x 10,1)由 002x02,得 0&x& 1 ,又 x1 W0,即 xw 1,所以 0&x< 1,即 g(x)的定义域为0,1).
