高中数学数列基础知识与典型例题

数学基础知识例题数列1.数列的前项和与通项的关系：2.数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。关键是找数列的通项结构。例1.已知数列的前n项和为,求数列的通项公式.例2.已知，求及例3.已知， 求及例4.求和.例5.数列1,3,5,7,(2n1)+的前n项之和为Sn，则Sn等于( )(A)n2+1(B)2n2n+1(C)n2+1(D)n2n+1例6.求和: .等差数列与等比数列等差数列等比数列定义(为常数,)递推公式()()通项公式（）中项（）（）前项和重要性质从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列。如：（下标成等差数列）从等比数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等比数列。如：（下标成等差数列）证明方法证明一个数列为等差数列的方法：1.定义法2.中项法证明一个数列为等比数列的方法：1.定义法2.中项法设元技巧三数等差：四数等差：三数等比：四数等比：联系真数等比，对数等差; 指数等差，幂值等比。重点把握通项公式和前n项和公式,对于性质主要是理解(也就是说自己能推导出来),具体运用时就能灵活自如.特别是推导过程中运用的方法,是我们研究其他数列的一种尝试.如推导等差数列通项公式的“累差”法和推导等比数列通项公式的“累积”法，是我们求其他数列通项公式的一种经验.又比如推导等差数列求和公式的“倒序相加法”和推导等比数列求和公式的“错位相减法”都是数列求和的重要技巧。等差数列与等比数列注:等差、等比数列的证明须用定义证明;数列计算是本章的中心内容，利用等差数列和等比数列的通项公式、前项和公式及其性质熟练地进行计算，是高考命题重点考查的内容.解答有关数列问题时，经常要运用各种数学思想.善于使用各种数学思想解答数列题，是我们复习应达到的目标.函数思想：等差等比数列的通项公式求和公式都可以看作是的函数，所以等差等比数列的某些问题可以化为函数问题求解.分类讨论思想：用等比数列求和公式应分为及；已知求时，也要进行分类；整体思想：在解数列问题时，应注意摆脱呆板使用公式求解的思维定势，运用整体思想求解.在解答有关的数列应用题时，要认真地进行分析，将实际问题抽象化，转化为数学问题，再利用有关数列知识和方法来解决.解答此类应用题是数学能力的综合运用，决不是简单地模仿和套用所能完成的.特别注意与年份有关的等比数列的第几项不要弄错.等差数列与等比数列例7.等差数列a n中，已知，a n =33，则n为（ ）(A)48 (B)49 (C)50 (D)51例8.在等比数列中,则例9.和的等比中项为( ) 例10. 在等比数列中，求，例11.在等比数列中,和是方程的两个根,则( ) 例12.已知等差数列满足,则有( ) 例13. 已知数列的前项和，求证:数列成等差数列，并求其首项、公差、通项公式。等差数列与等比数列例14. 一个等差数列的前12项之和为354，前12项中偶数项与奇数项之比为32：27，求公差.例15. 在等比数列，已知，求.例16.设数列an为等差数列，Sn为数列an的前n项和，已知S7=7，S15=75,Tn为数列的前n项和，求Tn.例17.三数成等比数列，若将第三个数减去32，则成等差数列，若再将这等差数列的第二个数减去4，则又成等比数列，求原来三个数.例18. 在5和81之间插入两个正数，使前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，求这两个数的和.例19. 设an是等差数列，已知b1+b2+b3=，b1b2b3=，求等差数列的通项an.例20. 已知等差数列an中，|a3|=|a9|，公差d<0，则使前n项和Sn取最大值的正整数n是( )(A)4或5 (B)5或6 (C)6或7 (D)8或9数学基础知识与典型例题(第三章数列)答案例1. 当时，,当时，,经检验 时 也适合,例2. 解：, ,设 则是公差为1的等差数列,又 ,当时 ,例3 解： 从而有, ,.例4.解：例5.A 例6. 解: -， 当时,;当时，例7.C 例8.192 例9.C 例10. 解： 另解：是与的等比中项，例11.D 例12.C 例13.解：,当时,时亦满足 , 首项且 成等差数列且公差为6、首项、通项公式为例14. 解一：设首项为，公差为 则 解二： 由 例15. 解：，例16. 解题思路分析：法一：利用基本元素分析法设an首项为a1，公差为d，则 此式为n的一次函数 为等差数列 法二：an为等差数列，设Sn=An2+Bn 解之得： ，下略注：法二利用了等差数列前n项和的性质例17.解：设原来三个数为 则必有 , 由： 代入得：或 从而或13 原来三个数为2,10,50或例18.70例19. 解题思路分析： an为等差数列 bn为等比数列 b1b3=b22, b23=, b2=, , 或 或 , , an=2n-3 或 an=-2n+5例20.