解析几何专题

第九章解析几何1. (1)直线的倾斜角定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角；规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0；围：直线的倾斜角的取值围是0，).(2)直线的斜率当直线l的倾斜角时，其倾斜角的正切值tan 叫做直斜率，即ktan_；斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率公式为k.2.直线方程的五种形式名称几何条件方程适用条件斜截式纵截距、斜率ykxb与x轴不垂直的直线点斜式过一点、斜率yy0k(xx0)两点式过两点与两坐标轴均不垂直的直线截距式纵、横截距1不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式AxByC0(A2B20)所有直线规律方法直线倾斜角的围是0，)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的围时，要分与两种情况讨论.当时，斜率k0，)；当时，斜率不存在；当时，斜率k(，0).1.直线的倾斜角和斜率的关系：(1)任何直线都存在倾斜角，但并不是任意直线都存在斜率.(2)直线的倾斜角和斜率k之间的对应关系：0°0°<<90°90°90°<<180°k0k>0不存在k<02.在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件.用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线.故在解题时，假设采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；假设采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况.3.根据斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的围；二是要考虑正切函数的单调性.4.截距为一个实数，既可为正数，也可为负数，还可以为0，这是解题时容易忽略的一点.第2讲两直线的位置关系1. (1)两条直线平行均为斜截式时l1l2k1k2且b1b2 均为一般式时，A1B2-A2B1=0特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2平行.(2)两条直线垂直均为斜截式时那么l1l2k1·k21， 均为一般式时，A1A2-B1B2=0当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直.2.两直线相交直线l1：A1xB1yC10和l2：A2xB2yC20的公共点的坐标与方程组的解一一对应.相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行方程组无解；重合方程组有无数个解.3.距离公式(1)两点间的距离公式平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|.特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|.(2)点到直线的距离公式平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d.(3)两条平行线间的距离公式一般地，两条平行直线l1：AxByC10，l2：AxByC20间的距离d.(4)利用距离公式应注意：点P(x0，y0)到直线xa的距离d|x0a|，到直线yb的距离d|y0b|；两平行线间的距离公式要两直线方程中x，y的系数化相等.5解决点关于直线对称问题要把握两点，点M与点N关于直线l对称，那么线段MN的中点在直线l上，直线l与直线MN垂直.(6)如果直线或点关于点成中心对称问题，那么只需运用中点公式就可解决问题.(7)假设直线l1，l2关于直线l对称，那么有如下性质：假设直线l1与l2相交，那么交点在直线l上；假设点B在直线l1上，那么其关于直线l的对称点B在直线l2上.对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称利用坐标转移法解决问题.6.在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在.假设两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，假设直线无斜率，要单独考虑.第3讲圆的方程1.圆的定义和圆的方程定义平面到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆方程标准(xa)2(yb)2r2(r0)圆心C(a，b)半径为r一般x2y2DxEyF0(D2E24F0)充要条件：D2E24F0圆心坐标：半径r2.点与圆的位置关系平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(xa)2(yb)2r2之间存在着以下关系：(1)drM在圆外，即(x0a)2(y0b)2r2M在圆外；(2)drM在圆上，即(x0a)2(y0b)2r2M在圆上；(3)drM在圆，即(x0a)2(y0b)2r2M在圆.3、求圆的方程时，应根据条件选用适宜的圆的方程,求圆的方程有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的根本量.确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：圆心在过切点且垂直切线的直线上；圆心在任一弦的中垂线上；两圆切或外切时，切点与两圆圆心三点共线；(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解.4、把有关式子进展转化或利用所给式子的几何意义解题，充分表达了数形结合以及转化的数学思想，其中以下几类转化极为常见：(1)形如m的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如taxby的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如m(xa)2(yb)2的最值问题，可转化两点间距离的平方的最值问题.思想方法1.确定一个圆的方程，需要三个独立条件.“选形式、定参数是求圆的方程的根本方法，是指根据题设条件恰中选择圆的方程的形式，确定其中的三个参数.2.解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算.3.求轨迹方程和求轨迹是有区别的，求轨迹方程得出方程即可，而求轨迹在得出方程后还要指明轨迹表示什么曲线.第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系设圆C：(xa)2(yb)2r2，直线l：AxByC0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d，由消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为.方法位置关系几何法代数法相交d<r>0相切dr0相离d>r<02.圆与圆的位置关系设两个圆的半径分别为R，r，Rr，圆心距为d，那么两圆的位置关系可表示：位置关系相离外切相交切含几何特征dRrdRrRrdRrdRrdRr代数特征无实数解一组实数解两组实数解一组实数解无实数解公切线条43210规律方法(1)弦长的两种求法代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程.在判别式0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长.几何方法：假设弦心距为d，圆的半径长为r，那么弦长l2.(2)圆的切线方程的两种求法代数法：设切线方程为yy0k(xx0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式0进而求得k.几何法：设切线方程为yy0k(xx0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令dr，进而求出k.1.解决有关弦长问题的两种方法：(1)几何法，直线被圆截得的半弦长，弦心距d和半径r构成直角三角形， r2d2；(2)代数法，联立直线方程和圆的方程，消元转化为关于x的一元二次方程，由根与系数的关系即可求得弦长|AB|x1x2| 2.求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点是否在圆上，然后设出切线方程.注意：斜率不存在的情形.第5讲椭圆1.椭圆的定义在平面与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a0，c0，且a，c为常数：(1)假设ac，那么集合P为椭圆；(2)假设ac，那么集合P为线段；(3)假设ac，无图形2.椭圆的标准方程和几何性质标准方程1(a>b>0)1(a>b>0)图形性质围axabybbxbaya对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(a，0)，A2(a，0)，B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)，B1(b，0)，B2(b，0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|2c离心率e(0，1)a，b，c的关系c2a2b2规律方法求椭圆方程的根本方法是待定系数法，先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后根据条件建立关于a，b的方程组，如果焦点位置不确定，可设椭圆方程为mx2ny21(m0，n0，mn)，求出m，n的值即可.2、求椭圆离心率的方法：直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解.列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2a2c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解.3、解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题.涉及弦中点的问题常常用“点差法解决设而不求。4、利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进展的，不要忽略判别式.5、在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e(0，1)进展根的取舍，否那么将产生增根.第6讲双曲线1.双曲线的定义：平面与两个定点F1，F2(|F1F2|2c0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)，那么点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c， (1)假设a<c时，那么集合P为双曲线；(2)假设ac时，那么集合P为两条射线；2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程1(a>0，b>0)1(a>0，b>0)图形性质围xa或xa，yRxR，ya或ya对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(a，0)，A2(a，0)A1(0，a)，A2(0，a)渐近线y±xy±x离心率e，e(1，)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|2b； a，b，c的关系c2a2b21、“焦点三角形中常结合|PF1|PF2|2a，用平方的方法，建立与|PF1|PF2|的联系.2、利用双曲线的定义解决问题，要注意三点(1)距离之差的绝对值.(2)2a|F1F2|.(3)焦点所在坐标轴的位置.3、双曲线方程中c2a2b2，说明双曲线方程中c最大，解决双曲线问题时不要无视了这个结论，不要与椭圆中的知识相混淆.4、求双曲线离心率及其围时，不要忽略双曲线离心率的取值围是(1，)这个前提条件，否那么很容易产生增解或扩大所求离心率的取值围致错.