2014年山西省高考理科数学卷

2014年普通高等学校招生全国统一考试理科数学第卷一选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。1.已知集合A=|，B=|22，则=.-2,-1 .-1,2） .-1,1 .1,2）2.=. . . .3.设函数，的定义域都为R，且时奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是.是偶函数 .|是奇函数.|是奇函数 .|是奇函数4.已知是双曲线：的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为. .3 . .5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率. . . .6.如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角的始边为射线，终边为射线，过点作直线的垂线，垂足为，将点到直线的距离表示为的函数，则=在0,上的图像大致为7.执行下图的程序框图，若输入的分别为1,2,3，则输出的= . . . .8.设，且，则. . . .9.不等式组的解集记为.有下面四个命题：，：,：，：.其中真命题是 .， .， .， .，10.已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个焦点，若，则=. . .3 .211.已知函数=，若存在唯一的零点，且0，则的取值范围为.（2，+） .（-，-2） .（1，+） .（-，-1）12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为. . .6 .4第卷本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。第（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答。二填空题：本大题共四小题，每小题5分。13.的展开式中的系数为 .(用数字填写答案)14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一个城市.由此可判断乙去过的城市为 .15.已知A，B，C是圆O上的三点，若，则与的夹角为 .16.已知分别为的三个内角的对边，=2，且，则面积的最大值为 .三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题满分12分)已知数列的前项和为，=1，其中为常数.()证明：；（）是否存在，使得为等差数列？并说明理由.18. (本小题满分12分)从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：()求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.(i)利用该正态分布，求；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记表示这100件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求.附：12.2.若，则=0.6826，=0.9544.19. (本小题满分12分)如图三棱锥中，侧面为菱形，.() 证明：；（）若，AB=Bc，求二面角的余弦值.20. (本小题满分12分) 已知点（0，-2），椭圆：的离心率为，是椭圆的焦点，直线的斜率为，为坐标原点.()求的方程；（）设过点的直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程.21. (本小题满分12分)设函数，曲线在点（1，处的切线为. ()求； （）证明：.请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。22.（本小题满分10分）选修41：几何证明选讲如图，四边形ABCD是O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE.()证明：D=E； （）设AD不是O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：ADE为等边三角形.23. （本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程已知曲线：，直线：（为参数）.()写出曲线的参数方程，直线的普通方程；（）过曲线上任一点作与夹角为的直线，交于点，求的最大值与最小值.24. （本小题满分10分）选修45：不等式选讲若，且.() 求的最小值；（）是否存在，使得？并说明理由.2014年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题答案（B卷）一选择题1. A 2.D 3.C 4.A 5.D 6.C7 .D 8. C 9. B 10.B 11.C 12.B二填空题13.-20 14.A 15.90度 16.三解答题17.解：（I）由题设，=bSn-1，=bSn-1两式相减的=b由于，所以（）由题设，由（I）知解得b=4故，由此可得是首项为1，公差为4的等差数列，是首项为3，公差为4的等差数列，=4n-1所以 因此存在b=4，使得数列为等差数列（18）解（I）收取产品的质量指标值的样本平均数a和样本方差b分别是 a=200 b=150（）由上诉可此，ZN(200，165),从而P（187.8<Z<212.2）=P(200-12.2<Z200+12.2)=0.6826一件产品的质量指标值位于区间（187.8,212.2）的概率为0.6826依题意可知XB(100,0.6826),所以EX=100（19）解：（I） 连结，交于点O，连结AO。因为侧面为菱形，所以，且O为及的中点。又，所以平面ABO，由于AO平面ABO，故又，故AC=， 6分（II）因为，且O为的中点，所以AO=CO。又因为AB=BC，所以。故，从而OA、OB、两两相互垂直。 以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间指教坐标系O-xyz. 因为，所以为等边三角角，又AB=BC，则A，B（1,0,0），,设式平面的法向量，则 即 所以，取n=（1，）设m是平面的法向量，则同理可取m=（1，-，）则cos=所以，所求角A-A2B2-C1的余弦值为(20)解：（1）设F(C,0)，由条件知，又故E的方程为故设l:y=kx-2,P(x1,x2)将y=kx-2代入+y2=1得 （1+4k2）x2-16kx+12=0当0，即时，=从而 |PQ|=|=又点O到直线PQ的距离d=。所以的面积 .9分设，则t0, 因为t+4.当且仅当t=2,即k=时等号成立，且满足0.所以，OPQ的面积最大时，l的方程为 .12分（21）解：（I）函数f（x）的定义域为，f（x）=，由题意可得f（1）=2 ，f（1）=e故a=1，b=25分（II）由（I）知，f（x）=，从而f（x）1等价于xlnx.设函数g（x）=xlnx，则g(x)=1+lnx所以当x(0, ) 时，g(x)0；当x（）时，g(x)0.故g（x）在（0，）单调递减，在（，+）单调递增，从而g（x）在的最小值为g（）=- 8分设函数h（x）= ，则h（x）= .所以当时，h（x）0；当时，h（x）0.故h（1）在（0,1）单调递增，在单调递减，从而h（x）在的最大值为h（1）= 综上，当x0时，g（x）h（x），即f（X）1.12分(22)解：（I）由题设知A,B,C,D四点共圆，所以D=CBE由已知得CBE=E,故D=E5分（II）设BC的中点为N,连结MN，则由MB=MC知MNBC，故O在直线MN上。又AD不是O的直径，M为AD的中点，故OMAD，即MNAD所以AD/BC,故A=CBE又CBE=E，故A=E。由（I）知，D=E，所以ADE为等边三角形。（23）解：（I）曲线C的参数方程为（为参数）直线l的普通方程为2x+y-6=0（II）曲线C上任意一点P（，）到l的距离为则，其中为锐角，且tan=当=-1时，取得最大值，最大值为当=1时，取得最小值，最小值为（24）解：（I）由，得ab2，且当a=b=时等号成立故所以的最小值为（II）由（I）知，2a+3b由于6，从而不存在a，b，使得2a+3b=6