上海市宝山区2024届高三下学期二模试题 数学 Word版含答案

2023学年第二学期期中高三年级数学学科教学质量监测试卷考生注意：1本试卷共21题，满分150分，考试时间120分钟；2本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面；3在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题；4可使用符合规定的计算器答题一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题5分），要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分1. 抛物线的焦点坐标为_. 2. 已知，则_. 3. 将化为有理数指数幂的形式为_.4. 已知向量，若，则实数 .5. 设实数满足，则 .6. 有一组数从小到大排列为：，. 若其极差与平均数相等，则这组数据的中位数为_. 7. 已知集合，且，则实数的值为 . 8. 在数列中，则_. 9. 某公司为了了解某商品的月销售量（单位：万件）与月销售单价（单位：元/件）之间的关系，随机统计了个月的销售量与销售单价，并制作了如下对照表：月销售单价（元/件）1015202530月销售量（万件）1110865由表中数据可得回归方程中，试预测当月销售单价为元/件时，月销售量为 万件. 10. 已知双曲线，以双曲线的右顶点为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率为_.11. 某区域的地形大致如下左图，某部门负责该区域的安全警戒，在哨位的正上方安装探照灯对警戒区域进行探查扫描.假设1：警戒区域为空旷的扇环形平地；假设2：视探照灯为点，且距离地面米；假设3：探照灯照射在地面上的光斑是椭圆.当探照灯以某一俯角从侧扫描到侧时，记为一次扫描，此过程中照射在地面上的光斑形成一个扇环. 由此，通过调整的俯角，逐次扫描形成扇环、.第一次扫描时，光斑的长轴为，米，此时在探照灯处测得点的俯角为（如下右图）.记，经测量知米，且是公差约为米的等差数列，则至少需要经过 次扫描，才能将整个警戒区域扫描完毕. 12. 空间直角坐标系中，从原点出发的两个向量、满足：，且存在实数，使得成立，则由构成的空间几何体的体积是 .二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第1314题每题4分，第1516题每题5分），每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得相应满分，否则一律得零分.13. 已知，则 （ ）. A B C D14. 已知随机变量服从正态分布. 若，则（ ）. A B C D15. 已知直线与平面，则下列命题中正确的是 （ ）.A若，则 B若，则C若，则 D若，则16. 数列中，是其前项的和，若对任意正整数，总存在正整数，使得，则称数列为“某数列”. 现有如下两个命题：等比数列为“某数列”；对任意的等差数列，总存在两个“某数列”和，使得.则下列选项中正确的是 （ ）.A为真命题，为真命题B为真命题，为假命题C为假命题，为真命题D为假命题，为假命题三、解答题（本大题共有5题，满分78分），解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤17（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在中，角的对边分别为，已知.（1）求角的大小；（2）若的面积为，求的最小值，并判断此时的形状.18（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，已知点在圆柱的底面圆的圆周上，为圆的直径.（1）求证：；（2）若圆柱的体积为，求异面直线与所成角的大小. 19（本题满分16分，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分）在课外活动中，甲、乙两名同学进行投篮比赛，每人投次，每投进一次得2分，否则得分. 已知甲每次投进的概率为，且每次投篮相互独立；乙第一次投篮，投进的概率为，从第二次投篮开始，若前一次投进，则该次投进的概率为，若前一次没投进，则该次投进的概率为.(1) 求甲投篮次得分的概率；(2) 若乙投篮次得分为,求的分布和期望；(3) 比较甲、乙的比赛结果.20（本题满分16分，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分）已知双曲线的左、右顶点分别为，设点在第一象限且在双曲线上，为坐标原点.（1）求双曲线的两条渐近线夹角的余弦值；（2）若求的取值范围；（3）椭圆的长轴长为，且短轴的端点恰好是两点，直线与椭圆的另一个交点为记、的面积分别为、. 求的最小值，并写出取最小值时点的坐标.21（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）函数的表达式为.（1）若，直线与曲线相切于点，求直线的方程；（2）函数的最小正周期是，令，将函数的零点由小到大依次记为，证明：数列是严格减数列；（3）已知定义在上的奇函数满足，对任意，当时，都有且.记，.当时，是否存在，使得成立？若存在，求出符合题意的；若不存在，请说明理由.参考答案1. 2. 3. 4. 5. 6.7. 8. 9. 10. 11. 12.12.解：由已知得，所以所以存在实数，使得不等式有解，则，解得又因为且，所以在方向上的数量投影是2，所以，围成的空间几何体是以原点为顶点，高为2，母线长为的圆锥（如图）故由构成的空间几何体的体积13. 14. 15. 16.17.解：（1）由正弦定理得.2分又由余弦定理得.4分因为是三角形内角，所以.6分（2） 由三角形面积公式.8分得.10分因为，当且仅当时取等号，.12分所以的最小值为，此时为等边三角形.14分18.解：（1）证明：圆柱中，易知，从而是在圆上的投影.2分又为圆的直径，可得.4分由三垂线定理，就得.6分（2）延长交圆于点，连接、，易知，（或其补角）即为所求的角.8分由题知解得.10分中，由余弦定理得.13分从而所以异面直线与所成角的大小为.14分 19. 解：（1）甲投篮次得分，即只投中次，概率. .3分（2）由题意知的所有可能取值为则.4分.5分.6分.7分随机变量的分布为.8分期望.9分（3）设甲三次投篮的得分，则=可求得随机变量的分布为所以.11分.12分又可算得.13分因为， 所以甲最终的得分均值等于乙最终的得分均值，但乙赢得的分值不如甲稳定.16分另解：设甲三次投篮的次数为，则设甲的投篮得分为，则，从而20.解：（1）两条渐近线方程为.1分 设两条直线夹角为，则.2分所以双曲线的两条渐近线夹角的余弦值为.3分（2）设，由已知得.4分 ，则 得 .6分又点在双曲线上，有即从而 得.又点是双曲线在第一象限的点，所以.所以.9分（3） 椭圆中，焦点在轴上，标准方程为.10分设，直线的斜率为则直线的方程为联立方程组得该方程的两根分别为和 同理可得 所以.12分记 .13分则当且仅当即时取等号，.15分所以的最小值为，此时点的坐标为.16分另解:因为，所以即又，代入上式化简得，整理得21.解（1）时，则.1分从而.3分所以直线的方程是.4分（2）由，可知，则（），.5分当时.6分 当时，此时函数没有零点；.7分 当时，因为，可知在上严格增，在严格减又在上严格增，在严格减，所以时，在时有最小值，在时有最大值因为所以在上没有交点，即在上没有零点.9分所以函数的零点满足，.因为在严格减，所以.又因为，所以数列是严格减数列.10分（3）因为，所以是以为周期的周期函数.11分因为任意，当时，都有且，所以当时，在上有唯一的最大值1.12分由得，.13分假设存在，使得成立，即成立故，当时，取得最大值1；当时，取得最大值1由，可知时，.15分又因为是奇函数，所以当时，在上有唯一的最小值故，当时，取得最小值；当时，取得最小值由，可知时.17分若成立，则由得，即因为，此时等式左边为奇数，