高考数学（理）一轮规范练【13】函数模型及其应用（含答案）
课时规范练13函数模型及其应用课时规范练第25页 一、选择题1.某家具的标价为132元,若降价以九折出售(即优惠10%),仍可获利10%(相对进货价),则该家具的进货价是() A.118元B.105元C.106元D.108元答案:D解析:设进货价为a元,由题意知132×(1-10%)-a=10%·a,解得a=108.故选D.2.对于任意实数x,符号x表示x的整数部分,即x是不超过x的最大整数,例如2=2;2.1=2;-2.2=-3,这个函数x叫做“取整函数”,它在数学本身和生产实践中有广泛的应用,那么log31+log32+log33+log3243的值为()A.847B.850C.852D.857答案:D解析:根据取整函数的定义,结合对数运算可得:log31log32均为0;log33log38均为1;log39log326均为2;log327log380均为3;log381log3242均为4;log3243=5.所以原式=(2-0)×0+(8-2)×1+(26-8)×2+(80-26)×3+(242-80)×4+5=857.3.某研究小组在一项实验中获得一组关于y,t之间的数据,将其整理后得到如下的散点图,下列函数中,最能近似刻画y与t之间的关系的是()A.y=2tB.y=2t2C.y=t3D.y=log2t答案:D解析:此曲线符合对数函数的变化趋势.4.某地区的一种特色水果上市时间仅能持续几个月,预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨的态势,而中期又将出现供大于求使价格连续下跌,为准确研究其价格走势,下面给出的四个价格模拟函数中合适的是(其中p,q为常数,且q>1,x0,5,x=0表示4月1日,x=1表示5月1日,以此类推)()A.f(x)=p·qxB.f(x)=px2+qx+1C.f(x)=x(x-q)2+pD.f(x)=pln x+qx2答案:C解析:由题意,排除A,B,对于选项C,f'(x)=3x2-4qx+q2,令f'(x)=0,x=q或,且q和都大于零,x<或x>q时f(x)单调递增,<x<q时f(x)单调递减,满足题意,对于D,f'(x)=+2qx,令f'(x)=0,此方程无实根或有两异号根,不合题意.5.图形M(如图所示)是由底为1,高为1的等腰三角形及高为2和3的两个矩形所构成的,函数S=S(a)(a0)是图形M介于平行线y=0及y=a之间的那一部分面积,则函数S(a)的图象大致是()答案:C解析:依题意,当a1时,S(a)=+2a=-a2+3a;当1<a2时,S(a)=+2a;当2<a3时,S(a)=+2+a=a+;当a>3时,S(a)=+2+3=,于是S(a)=由解析式可知选C.6.定义域为D的函数f(x)同时满足条件:常数a,b满足a<b,区间a,bD,使f(x)在a,b上的值域为ka,kb(kN*),那么我们把f(x)叫做a,b上的“k级矩形”函数.函数f(x)=x3是a,b上的“1级矩形”函数,则满足条件的常数对(a,b)共有()A.1对B.2对C.3对D.4对答案:C解析:因为f(x)=x3在a,b上单调递增,所以f(x)的值域为a3,b3.又函数f(x)=x3是a,b上的“1级矩形”函数,则有解得因此,满足条件的常数对(a,b)共有3对.二、填空题7.我国为了加强对烟酒生产的宏观管理,除了应征税收外,还征收附加税,已知某种酒每瓶售价为70元,不收附加税时,每年大约销售100万瓶;若每销售100元国家要征附加税x元(叫做税率x%),则每年销售量将减少10x万瓶,如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元,则x的最小值为. 答案:2解析:由(100-10x)·70·112,解得2x8.所以x的最小值为2.8.某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元,预测六月份销售额为500万元,七月份销售额比六月份递增x%,八月份销售额比七月份递增x%,九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等,若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元,则x的最小值是. 答案:20解析:由题意得3 860+500+500(1+x%)+500(1+x%)2×27 000,化简得(x%)2+3·x%-0.640,解得x%0.2,或x%-3.2(舍去).x20,即x的最小值为20.9.某汽车运输公司,购买了一批豪华大客车投入营运,据市场分析每辆客车营运的总利润y(单位:十万元)与营运年数x(xN*)为二次函数关系,如图所示,则每辆客车营运年,其营运的年平均利润最大. 答案:5解析:由题图可知y=a(x-6)2+11,而(4,7)是其图象上一点,7=4a+11,a=-1,即y=-(x-6)2+11.其营运的年平均利润为=12-=2-,当=0,即x=5时,取得最大值,为2万元.三、解答题10.某服装商贩同时卖出两套服装,卖出价为168元/套,以成本计算一套盈利20%,而另一套亏损20%,问此商贩赚了还是赔了?解:设盈利的那套服装成本价为x,则x+20%x=168,x=140,设亏损的那套服装成本价为y,则y-20%y=168,y=210,所以商贩赔(210-168)-(168-140)=14(元).11.某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品,其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y=-48x+8 000,已知此生产线年产量最大为210吨.(1)求年产量为多少吨时,生产每吨产品的平均成本最低,并求最低成本;(2)若每吨产品平均出厂价为40万元,那么当年产量为多少吨时,可以获得最大利润?最大利润是多少?解:(1)每吨平均成本为万元,则-482-48=32.当且仅当,即x=200时等号成立,故年产量为200吨时,每吨平均成本最低为32万元.(2)设年获得总利润为R(x)万元,则R(x)=40x-y=40x-+48x-8 400=-(x-220)2+1 680(0x210),R(x)在0,210上是增函数,当x=210时,R(x)max=1660.年产量为210吨可获得最大利润为1 660万元.12.某商场对A品牌的商品进行了市场调查,预计2014年从1月起前x个月顾客对A品牌的商品的需求总量P(x)件与月份x的近似关系是:P(x)=x(x+1)(41-2x)(x12且xN*).(1)写出第x月的需求量f(x)的表达式;(2)若第x月的销售量g(x)=(单位:件),每件利润q(x)元与月份x的近似关系为:q(x)=,问:该商场销售A品牌商品,预计第几月的月利润达到最大值?月利润最大值是多少?(e6403)解:(1)当x=1时,f(1)=P(1)=39.当x2时,f(x)=P(x)-P(x-1)=x(x+1)(41-2x)-(x-1)x(43-2x)=3x(14-x),当x=1时,也满足此式.f(x)=-3x2+42x(x12,xN*).(2)设月利润为h(x),h(x)=q(x)·g(x)=h'(x)=当1x6时,h'(x)0,当6<x<7时,h'(x)<0,当1x<7且xN*时,h(x)max=h(6)=30e612 090.当7x8时,h'(x)0,当8x12时,h'(x)0,当7x12且xN*时,h(x)max=h(8)2987.综上,预计该商场第6个月的月利润达到最大,最大月利润为12 090元.
