解直角三角形(同步复习)应用篇练习1

解直角三角形 考点一、直角三角形的性质考点一、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余 可表示如下：C=90°A+B=90° 2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 A=30° 可表示如下： C=90° BC=21AB 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ACB=90° 可表示如下： D 为 AB 的中点 CD=21AB=BD=AD 4、勾股定理 直角三角形两直角边 a，b 的平方和等于斜边 c 的平方，即222cba 5、摄影定理 在直角三角形中， 斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比 例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项 ACB=90° BDADCD2 ABADAC2CDAB ABBDBC26、常用关系式 由三角形面积公式可得： ABCD=ACBC 考点二、直角三角形的判定考点二、直角三角形的判定 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。 2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 a，b，c 有关系222cba，那么这个三角形是直角三角形。 考点三、锐角三角函数的概念考点三、锐角三角函数的概念 1、如图，在ABC 中，C=90° 锐角 A 的对边与斜边的比叫做A 的正弦，记为 sinA，即 casin斜边的对边AA锐角 A 的邻边与斜边的比叫做A 的余弦，记为 cosA，即 cbcos斜边的邻边AA锐角 A 的对边与邻边的比叫做A 的正切，记为 tanA，即 batan的邻边的对边 AAA2、锐角三角函数的概念 锐角 A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做A 的锐角三角函数 3、一些特殊角的三角函数值 三角函数 0° 30° 45° 60° 90° sin 0 2122231 cos 1 2322210 tan 0 331 3 不存在 cot 不存在 3 1 330 4、各锐角三角函数之间的关系 （1）互余关系 sinA=cos(90° A)，cosA=sin(90° A) tanA=cot(90° A)，cotA=tan(90° A) （2）平方关系 1cossin22AA （3）倒数关系 tanAtan(90° A)=1 （4）弦切关系 tanA=AA cossin5、锐角三角函数的增减性 当角度在 0° 90° 之间变化时， （1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） （2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） （3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） （4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） 考点四、解直角三角形考点四、解直角三角形 1、解直角三角形的概念 在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形 中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。 2、解直角三角形的理论依据 在 RtABC 中，C=90°，A，B，C 所对的边分别为 a，b，c （1）三边之间的关系：222cba（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A+B=90° （3）边角之间的关系： abBcaBcbBbaAcbAcaAtan,cos,sin;tan,cos,sin例 1 建设中的昆石高速公路，在某施工段上沿 AC 方向开山修路，为加快施工速度，要在 山坡的另一边同时施工，如图所示，从 AC 上的一点 B 取ABD=150°，BD=380 米，D=60°，那么开挖点离 D 多远，正好使 A、C、E 成一直线 练习 1 如图，天空中有一个静止的广告气球 C，从地面 A 点测得 C点的仰角为 45°，从地 面 B 测得仰角为 60°，已知 AB=20 米，点 C 和直线 AB 在同一铅垂平面上，求气球离地 面的高度 练习 2 如图， 甲、 乙两栋高楼的水平距离BD为 90 米， 从甲楼顶部C点测得乙楼顶部A点的仰角为30°，测得乙楼底部B点的俯角为60°，求甲、乙两栋高楼各有多高？（计算过程和结果都不取近似值） N P A Q M 例 2 某海岛四周 18 海里内有暗礁， 一货轮由西向东航行， 见此岛在北偏东 60°， 行 海里后，见此岛在北偏东 30°，货轮沿原方向继续航行，有无触礁危险？ 练习 1 公路 MN 和公路 PQ 在点 P 处交汇， 且QPN30， 点 A 处有一所中学， AP=160m，一辆拖拉机以 3.6km/h 的速度在公路 MN 上沿 PN 方向行驶，假设拖拉机行驶时，周围 100m 以内会受噪声影响，那么，学校是否会受到噪声影响？如果不受影响，请说明理由；如果受 影响，会受影响几分钟？ 练习 2 如图， A 城气象台测得台风中心在 A 城的正西方 300 千米处， 以每小时 107千米的速度向北偏东 60º的 BF 方向移动，距台风中心 200 千米的范围内是受这次台风影响的区域。 （1） 问 A 城是否会受到这次台风的影响？为什么？ （2） 若 A 城受到这次台风的影响，那么 A 城遭受这次台风影响的时间有多长？ 403360º FBA例 3 人民海关缉私巡逻艇在东海海域执行巡逻任务时， 发现在其所处位置 O 点的正北方向10 海里处的 A 点有一涉嫌走私船只正以 24 海里/小时的速度向正东方向航行。为迅速实验检查，巡逻艇调整好航向，以 26 海里/小时的速度追赶，在涉嫌船只不改变航向和航速的前 提下，问（1）需要几小时才能追上？（点 B 为追上时的位置） （2）确定巡逻艇的追赶方向（精确到01 . ） （如图 4） 参考数据： 3322. 06 .70cos9432. 06 .70sin3681. 04 .68cos9298. 04 .68sin3846. 04 .67cos9231. 04 .67sin3939. 08 .66cos9191. 08 .66sin，练习 如图，甲、乙两只捕捞船同时从 A 港出海捕鱼，甲船以每小时 15千米的速度沿西偏北 30°方向前进，乙船以每小时 15 千米的速度沿东北方向前进，甲船航行 2 小时 到达 C 处，此时甲船发现渔具丢在乙船上，于是甲船快速（匀速）沿北偏东 75°的方向 追赶，结果两船在 B 处相遇 （1）甲船从 C 处追赶上乙船用了多少时间？（2）甲船追赶乙船的速度是多少？ 例 4. 某一时刻，一架飞机在海面上空 C 点处观测到一人在海岸 A 点处钓鱼。从 C 点处测得 A 的俯角为 45o；同一时刻，从 A 点处测得飞机在水中影子的俯角为 60o。已知海岸的高度为4 米，求此时钓鱼的人和飞机之间的距离（结果保留整数） 。 2河水 B A C D 练习 1、计算： （1）30cos45sin60tan30sin222 (2)000045tan30tan145tan30tan 2、如图所示，旗杆AB在C处测得旗杆顶的仰角为30，向旗杆前进12m到达D，在D处测得A仰角为45，则旗杆的高AB等于（ ）m 12 14 16 18 3、如图所示，铁路的路基横断面是等腰梯形，斜坡 AB的 坡度为1:3，坡面AB的水平宽度为 3 3m，基面AD宽为2m，则AE m， ，BC m 4、为了测量汉江某段河面的宽度，秋实同学设计了如下图所示的测量方案：先在河的北岸选一定点 A，再在河的南岸选定相距 a 米的两点 B、C（如图） ，分别测得ABC ，ACB ，请你根据秋实同学测得的数据，计算出河宽 AD.（结果用含 a 和含 、 的三角函数 表示） 5、 如图所示， 一艘轮船以 20 海里/ h的速度由西向东航行 途中接到台风警报， 台风中心B正以40海里/ h的速度由南向北移动，距台风中心20 10海里的圆形区域（包括边界）都属于台风区， 当轮船到A处时， 测得台风中心移到位于A正南方的B处， 且100AB 海里 （1）若这艘轮船自A处按原速度继续航行，在途中会不会遇到台风？若会，试求船最初 遇到台风的时间；若不会，请说明理由 （2）现轮船从A处立即提高船速，向位于东偏北30，相距60海里的D港驶去，为在台风前到达D港，问船速至少应提高多少？（提高的船速取整数，732. 13 ） 北 东