二次函数中的分类讨论思想

学习好资料欢迎下载二次函数中的分类讨论思想一、例题分析归类：(一)、正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：(1)轴定，区间定；(2)轴定，区间变；(3)轴变，区间定；(4)轴变，区间变。1. 轴定区间定例1.( 2008年陕西卷)22.本小题满分14分)设函数 f (x) = x3 - ax2 -a2x 1,g(x) = ax2 - 2x T,其中实数 a 0 .(i)若a 0，求函数f(x)的单调区间；(n)当函数y = f(x)与y=g(x)的图象只有一个公共点且 g(x)存在最小值时，记 g(x)的最小值为h(a)，求h(a)的值域；(川)若f (x)与g(x)在区间(a,a 2)内均为增函数，求 a的取值范围.2. 轴定区间动例2.(全国卷)设a为实数，函数f (x) =x2 |x - a| V,a R,求f(x)的最小值。3. 轴动区间定2f (x)在m,n评注：已知f(x)二ax bx弋心=0)，按对称轴与定义域区间的位置关系，由数形结合可得 上的最大值或最小值。例3.求函数y = _x(x -a)在x -1 , 1上的最大值。4. 轴变区间变2 2 2例 4.已知 y =4a(x -a)(a 0),，求 u =(x -3) y 的最小值。(二)、逆向型是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中的参数值。例5.已知函数f (x) =ax2 - 2ax 1在区间-3,2上的最大值为4，求实数a的值。2x例6.已知函数f(x)x在区间m, n上的值域是3m,3n，求m，n的值。练习:1、( 2008 江西卷 21).14132 24已知函数 f(x) x ax -ax a (a 0)43(1)求函数y = f (x)的单调区间;(2)若函数y二f (x)的图像与直线y =1恰有两个交点，求 a的取值范围.32、已知二次函数 f(x) =ax2 (2a -1)x 1在区间-,2上的最大值为3，求实数a的值。23、( 2008山东卷21.)(本小题满分 12分)设函数f (x) = x2exJ - ax3 bx2，已知x - -2和x =1为f (x)的极值点.(I)求a和b的值；(n)讨论f (x)的单调性；232(眄设g(x3x -x，试比较f(x)与g(x)的大小.二次函数中的分类讨论思想例1解：(I) f (x) =3x2 2ax - a2 =3(x -3)(x a)，又 a 0 ,3例题答案:aa当 x ： a或x时，f (x) 0 ；当-a : x 时，(x) ： 0 ,33a af (x)在(-：,-a)和(_, ：)内是增函数，在(-a,)内是减函数.333 2 2 2(n)由题意知x ax-a x T = ax -2x，1 ,即 xx2 (a2 -2) = 0 恰有一根(含重根).a2 -2 w 0，即逸 w a w 、2 ,又 a = 0,.a _.2,0)U(0,当a 0时,g (x)才存在最小值，.a (0,、. 2 . Y g(x)二 a(x -1)2 a -,aah(a) =a丄a (0,. h(a)的值域为(-：,1 -aa (出)当a 0时，f(x)在(®-a)和(_,：)内是增函数, 3g(x)在(丄：)内是增函数. a由题意得a，解得a > 1 ；3_!a当a ：0时, af (x)在(一畔)和(-a, :)内是增函数，g(x)在(-1)内是增函数.a由题意得a 2岂a，解得a w -3;3a 2 _丄L a综上可知，实数 a的取值范围为(：，-3U1, =) 1 3例 2. (1)当 x _ a 时，f (x) = (x )2 a2 41 13 若 a，则 f(x)min = f( )a；2 241 2 若 a，贝u f (x)min =f(a) =a 11 23(2)当 x a 时，f (x) = (x )a41 2 若 a，则 f (x)min 二 f (a)二a 1 ；2113 若 a，则 f (x)min = f ( ) a413111综上所述，当a 时，f(x)mina ;当a 时，f (x)mia2 1 ；当a 时，4f(X)mina。42oooooo例3.解析：函数y二_(x)2图象的对称轴方程为 x ,应分-11 , 1 , - 14即- 2乞a乞2 , a ： -2和a2这三种情形讨论，下列三图分别为(1) a ：-2 ;由图可知 f(x)max = f (-1)(2)(3)a_2岂a岂2；由图可知f(X)max = f (二)2o2f(1),a ： 2-(a+1) ,a V-2 a2,一2乞a乞24a -1, a 2ap f (), - 2 a 2 ;即 y最大二2 f(1),a22例4.解析：将y =4a(x -a)代入u中，得w = (x- +4afx-a) = x- (3- 2ca()3 + 12a- 8a2, x at +oa) 3- 2盘工& 即1 时 y (兀)逐=T(3- 2d) = 12m 2a ，即打八时，1 - :-y最大所以/Wmin12a-("卯(0 < a 1)(«>D例 5.解析：f(x)二a(x 1)2 1 -a,x -3,2(1) 若 a =0, f (x) =1,，不合题意。(2) 若 a 0,则 f (x)max 二 f(2) =8a 1,+3由 8a 1 = 4，得 a =8(3)若 a ：0 时，则 f (X)max = f(1) ja 由 1 a = 4，得 a - -33 综上知a 或a = -38例6.解析1 ：讨论对称轴-中1与m,m n , n的位置关系。2若则! f(x)max = f(n)=3n'If (x)min =f(m)=3m解得若若m乞1 ：，则2 5 5 则 |f (x)max '、lf(X)min综上，m = -4, n = 0丄122 :由 f(x) (x -1)2f(x)max = f (n) =3nf(x)min 二 f (m) =3mm - -4, n =0若解析所以f(x)max =f=3n，无解f &九二 f (m) =3mfE =f=3n，无解f (x)min = f(n) =3mf(m) =3 n f(n)=3m，无解1，知 3n <-,n J,则m, n - (-：,1, f(x)在m, n上递增。2 2 6解得评注：解法2利用闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值，缩小了 类讨论，解题过程简洁、明了。m , n的取值范围，避开了繁难的分0练习答案：1、解：(1)因为 f (x) = x3 ax2 _2a2x = x(x 2a)(x -a)令 f (x) =0 得为=-2a, x2 = 0, x3 二 a由a0时，f(x)在f(x)=0根的左右的符号如下表所示x(T -2a)-2a(-2a,0)0(0,a)a(a,址)f (x)0+00+f(x)匚极小值口极大值极小值所以f(x)的递增区间为(-2a,0)与(a,：) f(x)的递减区间为(-:：，-2a)与(0，a)57(2)由()得到 f (x)极小值=f (_2a)a , f (x)极小值=f (a) a312f (x)极大值=f (°) = a57要使f (x)的图像与直线y =1恰有两个交点，只要_5a4 : 1 ： a4或a4 : 1 ,312即a > J或0兰a v 1.2、分析：这是一个逆向最值问题，若从求最值入手，需分a 0与a：0两大类五种情形讨论，过程繁琐不堪。若注意到f(x)的最值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到，因此先计算这些点的函数值，再检验 其真假，过程简明。2a 11解：(1 )令 f ()=3，得 a-2a231此时抛物线开口向下，对称轴为- ：，且-2 ,2 故a不合题意；1 1(2) 令f (2) =3，得a，此时抛物线开口向上，闭区间的右端点距离对称轴远些，故a符合题意;2 222(3) 若f ( ) =3，得a，经检验，符合题意。3 312综上，a 或a = -23评注：本题利用特殊值检验法，先计算特殊点(闭区间的端点、抛物线的顶点)的函数值，再 检验其真假，思路明了、过程简洁，是解决逆向型闭区间二次函数最值问题的一种有效方法。3、21 .解：(1)因为f (x)二ex°(2x x2) 3ax2 2bx =xex(x 2) x(3ax 2b)，又x = 2和x=1为f (x)的极值点，所以f"(2) =(1) = 0，I6a 2b = 0,1因此解方程组得a = -1，b = -1.l3+3a+2b=0,31.x _1(n)因为 a ，b=1，所以 f (xx(x 2)(e-1)，3令 f (x) =0，解得捲=-2， x2 = 0，x3 =1 .因为当 x (一二，一2)(0,1)时，f (x) ：0 ;当 x (2,0)U(1,，时，f (x)0 .所以f (x)在(-2,0)和(1, ：)上是单调递增的；在(-：，- 2)和(0，)上是单调递减的.(川)由(I)可知 f (x) = x2ex° -1 x3 -x2,3故 f (x) _g(x) =x2ex4 -x3 = x2(exJ -x)，令 h(x) =exJl - x，贝H h (x) = ex4 -1 .令 h (x) = 0,得 x=1，因为T 1时,h (x) < 0 ,所以h(x)在x1上单调递减故 x',