浅谈数学思维能力的培养
浅谈数学思维能力的培养长阳县磨市镇中心学校 李具伯不论是数学课题实验，还是近年来开展的高效课堂研究，我认为真正的核心是培养学生的思维能力，从而提高学生运用数学知识分析和解决问题的能力，我认为数学教学中思维能力的培养应注重以下三个方面.一、亲历知识的形成过程，培养学生的思维能力.布鲁纳的发现学习论认为:“认知是一个过程，而不是一种产品.”学习不仅是让学生掌握知识，更重要的是要让学生去体验知识的形成过程。因此，课堂教学应该将主要时间和精力放在关注知识的形成过程上，即数学教学在教给学生知识的同时，还要揭示获取知识的思维过程.在等腰梯形的性质教学中，学生通过观察、折叠、测量，很快能感知等腰梯形同一底上两角相等这一性质，但证明还是有一定难度.我就以问题为抓手，一步步引导学生亲历知识的形成过程.EDCBAO图5图4BFEDCA图3DCBA图2EDCBA图1FEDCBAE问题1：我们通常用哪些方法可以证明两角相等？在学生明确常用的方法有“全等”、“平行”和“等边对等角”以后，进一步提出下面问题启发思维.问题2：如何将图形转化成可以利用全等、平行、等腰三角形的图形而证明两底角相等呢？在学生通过独立思考和合作探索，很快找到图1、图2两种证明方法，在此基础上进一步提出下面连续性的问题，以激发学生的思维高潮，促进深层次思考，探寻更多证明方法.问题3:你能说说每种辅助线作法的目的是什么吗？还有哪些不同的证明方法？通过经历这三个问题的探索，学生体会到不仅可以通过作高和腰的平行线将梯形转化成平行四边形和三角形后，利用全等和边角关系的知识来证明，还可以利用如图3的相似证明AE=DE,BE=CE,从而得B=C.在上述探索活动中，学生体验到了探索的乐趣和成功的喜悦，掌握了一定的数学研究方法，正处于愤悱状态，因此，我趁热打铁，让学生继续下面的研究.问题4：如何利用已有知识经验证明等腰梯形的两对角线相等？由于有了前面的研究方法作基础，学生不仅在图8中用全等和作高线证明了对角线相等，还寻找到了图9所示的作对角线的平行线构造平行四边形的证明方法.由于花费了大量时间让学生经历动手操作、探索思维、归纳总结的求知过程，学生不仅对等腰梯形性质有了深刻的认识，更重要的是能将自己总结出的研究方法自觉地应用到后面的数学问题的解决之中.亲历知识的形成过程，不仅让学生对所学内容知其然，而且知其所以然；在知识的主动探索中，不仅深化了理解，而且有力促进了数学思维能力的发展.二、一题多解，提升学生的思维能力.数学学习中存在的一个普遍现象是思维不够灵活思维单一，教师要加强引导学生运用不同的知识积累和思想方法，从不同角度来思考、解决问题，促使学生从单一的思维模式中解放出来，以创新思维、求异思维的方式来解答问题.在学习了等腰梯形的性质后，我出示了如下一道试题来训练学生的思维能力.如图6，已知等腰梯形ABCD中，ADBC，AB=CD,对角线ACBD于O，AD=3，BC=7，求梯形ABCD的面积S.这是一道有较大难度的试题，有部分同学寻找到一两种方法就不错了，但结果出乎我的意料.生1：如图7，已知两底，关键是求高.作AEBC于E,DFBC于F，得BE=CF=2，由ABCDCB得1=2=45°，所以DF=BF=5，S=（3+7）×5=25.生2：如图8，由于梯形对角线的条件最突出，根据对角线积的一半这一面积公式，作对角线AC的平行线DE交BC的延长线于点E，得BD=ED, BDE=90°，BE=10，所以BD=ED=AC=，S=AC×BD=25.图9FEDBAOF图7EDCBA12O面对两位学生的不同解题思路，我进一步启发学生：他们分别从梯形的常规面积公式和对角线入手求出了面积，在此基础上你还能想出其他解决办法吗？OEDCBA图8O21DCBA图6生3：如图8，在生2中，SABD=SACD=SDCE,所以S=SBDE=BD×DE=25.生4：如图9，在图8上作DFBC于F，则DF=BE=5，所以S=（3+7）×5=25.生5：如图6，由1=2=45°，求得OB=OC=,OA=OD=,所以AC=BD= ，S=AC×BD=25.生6：如图6，在生5的基础上，S=SABC+SADC=AC×OB+AC×OD=25.C生7：如图6，由OA=OD=先求出SAOD=OA×OD=后，根据AOD与COB相似、AOD与AOB、DOC等高不等底的面积关系求出另三个三角形的面积，从而求出S=25.面对同学们的“意外杰作”，我感叹学生并不缺少灵气，缺少的是教师的科学引导和充分展示自我的空间.一题多解，能较好地培养学生思维的开阔性、发散性和思维的严密性、灵活性.三、强化数学思想方法的渗透，拓展学生的思维能力.重视数学思想方法的教学与应用，是使学生将知识转化为数学能力的重要纽带.由于数学思想方法隐含于基础知识之中，以知识的发生、发展和问题的解决为形成、展示的载体，往往不能像具体的数学知识那样易于掌握，教学中应把握教材中重要的数学思想和方法，给学生适时渗透.等腰梯形的性质探索和应用中，就隐含着化归转化、分解组合、类比等数学思想以及观察法、类比法、归纳法等数学方法.如等腰梯形性质探索中，通过老师点拨，学生由开始的无意识作辅助线到逐步理解将梯形转化为三角形和平行四边形是一种常见的思想方法，并能自觉地应用于后面的面积问题的解决之中.再如，研究了菱形“对角线积的一半”这一面积公式后，利用类比方法进一步拓展思维：菱形的这一面积公式的本质是是什么？具有什么特点的四边形都可用此方法计算面积？学生通过分析发现，菱形的面积公式的本质是利用对角线互相垂直这一特点，将面积转化为两个三角形面积之和，从而推导出只要是对角线互相垂直的四边形都可用对角线之积的一半来求面积，这也正是许多同学在解决梯形面积问题时求对角线AC、BD长度的原因.教学中应重视对学生进行数学思想方法的培养，为学生持续学习和发展奠基.教材中处处隐含着分类讨论、数形结合、化归转化、函数方程、类比递推等数学思想和实验法、归纳法、类比法、综合法、反证法等数学方法，教学中应将其充分挖掘出来，准确把握好尺度，适时渗透和点拨，帮助学生理解和运用，从而拓展学生的思维能力.“思维”是数学的核心，思维能力的培养是一个长期的过程，但只要坚持还课堂于学生，注重知识的生成和思想方法的渗透，注重训练的针对性和实效性，我们的教学一定会体验到有心栽花花满园，无心插柳柳成荫的喜悦.
