交变电流的有效值和平均值辨析
交变电流的有效值和平均值辨析有关交变电流的有效值和平均值的问题，在高考试题中经常出现，而学生往往对有效值和平均值概念 模糊，甚至混为一谈。所以，对交变电流的有效值、平均值进行分析比较，弄清其深刻内涵，可以帮助中 学物理教师在教学中更好地指导学生理解有效值和平均值。大小和方向都随时间作周期性的变化的电流叫交变电流，简称交流。根据定义可知，交变电流的电流 或电压的大小和方向都随时间作周期性的变化，要描述它们，就需要引入比直流电更多的物理量。表征交 变电流的物理量一般有最大值、有效值、平均值、周期和频率等。在进行交变电流的教学中发现，很多学 生对交变电流中的有效值和平均值的理解和应用存在一定的困难，尤其是平均值的计算，出错率更高，对 学生来说是个难点。下面从概念、几种常见的交流电以及有效值和平均值的应用三方面进行分析比较。 1 概念不同交变电流的有效值是根据电流的热效应来规定的，让交流和直流通过相同阻值的电阻，如果它们在相 同时间内产生的热量相等，就把这一直流的数值叫做这一交流的有效值。例如某一交流通过一段电阻丝， 在一段时间内产生的热量为Q,如果改用直流通过这段电阻丝，在相同的时间内，产生的热量也为Q,那 么这一直流电的数值就是这一交变电流的有效值。对一个确定的交变电流来说，其有效值是恒定的。交变电流的平均值是由公式E = n沽（平均感应电动势）确定的，它表现为交流图象中波形对横轴（t 轴）所围“面积”对时间的比值，其值的大小与所取时间间隔有关。2 几种常见的交变电流的有效值和平均值的比较2.1 正弦（或余弦）交变电流：如图 1 所示，是大家非常熟悉的正弦交变电流，根据电流的热效应可求得电动势、电压、电流的有效值为：以上关系适用于整数倍周期和从t=0开始的1/4、1/2周期内以及远大于周期的任何时间内（比如四分 之一周期内的前一半时间和后一半时间发热量就不同，其有效值也不同）。根据交变电流平均值的定义（即波形所围“面积”对时间的比值），可求得一个周期内的平均值为零 （所围面积的代数和为零）。但是，半个周期或者四分之一周期内的平均值不为零，以半个周期为例，其 平均值具体计算如下：设线圈的面积为S,所在处的磁场的磁感应强度为B在t=0时刻，线圈处于中性面位置，此时磁通 人T 兀量0 =BS,经过半个周期，即At =，由于磁通量具有方向性，所以线圈经过半个周期反向回到中2 性面，此时0 =-BS，磁通量的改变量A0 = 2BS,由法拉第电磁感应定律求得感应电动势的平均值为:E = n A° = n BS = - nBS® = - EAt兀兀兀 m同理可求电压和电流的平均值分别为:以上半周期内平均值与最大值的关系也适用四分之一周期内的平均值。2.2 锯齿波交变电流:如图 2 所示的交流电，其电压和电流随时间线形变化，叫锯齿波交流电。根据平均值的计算方法，可 得出锯齿波交变电流的半个周期内的平均值等于最大值的一半。1 C/即 E = m ,I = m ,U = m。2 2 2那么，锯齿波的有效值与最大值又是什么关系呢？不少学生甚至教师都误认为有效值也是最大值的一半，认为锯齿波的平均值等于有效值，其实不然。t根据锯齿波交变电流是线性变化的特点，我们设 i=kt， 则其在电阻R上产生的热功率为P=i2R=k2Rt2,所以热功率跟时间的平方成正比，其半个周期内的p - t图 象如图3所示。图象与横轴围成的“面积”代表半个周期内产生的热量Q,我们采取“极限法”求此面积。把半个周期分成n等份，每一份代表时间t0,即nt=T/2，当n时，在每一个t0时间内，可以认为热功 率 P 不变。则有：Q = Pt + P t + + P t1 02 0n 0=k 2 Rt 21 + k 2 Rt 21 + + k 2 Rt 211 02 0n 0=k2 Rt3 （l2 + 22 + + n2）=0k2Rt3（knt ）2RntI2R TTT当 ng时，Q =亠n3 =o o = 。（其中 nt =， knt = k = I ）33320202 m设锯齿波的有效值为I,根据电流的有效值的定义有：Q = 12R £ = ¥ 2。解得锯齿波的电流有效值为： I二一3，同理可得锯齿波电压的有效值为：u二 飞。2.3 方波交变电流：如图 4 所示，方波交变电流的特点是：大小不变，方向作周期性 的变化。根据交变电流有效值和平均值的定义可得方波交变电流的有 效值和半个周期内的平均值相等，都等于最大值。即 E = E = E，I = I = I，U = U = U 。mmm3 计算有效值和平均值的典型题型分析比较例题如图5所示，为一交变电流的i -1图象，下列说法正确的是:A、交变电流的频率f=50Hz，最大值Im=15AB、交变电流的有效值I = 5迈AC、交变电流的平均值I = 10 AD、若此交变电流通过阻值为10。的电阻，则用电压表测得这个电阻两端的电压为502 V。分析(1) 从图象上可以看出，交变电流的正负半周均为正弦交流电的波形，其峰值最大可达到15A，其周期 为0.02s,所以，答案A正确。2）交变电流的有效值计算。因为在一个周期的前、后半个周期内均为正弦交流电，所以其有效值分别为一石I 15A。根据交变电流的热效应有：LR 2 + g = I2RT。代入1J 12可得有效值：1二2"10A，所以答案B错误。3）交变电流的平均值计算。因为前、后两个半周期均为正弦交流电波形，根据前面所述正弦交流电的平均值与最大值的关系可知前后两个半周期内的平均值分别为：-1兀 ml=-X 5 A = 10 AI = ZI = 1 x 15 A = 30 A2 兀 m 2 兀兀设一个周期内的交变电流的平均值为I也等于 n 个整数倍周期内的平均值），一个周期内流过某截面的总电量（It）等于两个半周期内分别流过该截面电量的代数和的绝对值，即I - +（厂 T）二 It1 22 2解得I = 10 A。兀所以答案C错误。其实选项C本身的问法就是含糊不清的，因为平均值跟所取时间有关，C项没有明 确指出哪段时间内的平均值，所以令学生费解。在教学中还发现，有些学生求一个周期内的平均值时，把上下两个半周期内的电量取绝对值相加，是 错误的，因为上下两个半周期内的电流的流向是相反的，电荷的定向运动方向也是相反的，因此在一个周 期内流过某截面的电量应是所有电量的“代数和”。（4）电压表读数的计算。电压表测量的是有效值，所以计算电阻两端的电压要用有效电流乘以电阻。此交变电流通过10O的电阻时，电阻两端的有效电压U二IR = 2.5 “10X10V二25.,：10v，故答案D正确。根据以上分析比较，我们不难看出：（1）因有效值是根据交流电的热效应求得的，所以与热效应有关的物理量，如电功、电功率、焦耳热以 及确定保险丝上的熔断电流等都要用有效值计算。（2）求一段时间内通过导体横截面的电量时要用平均值计算。即 q = It ，-E其中I = R'（3）对确定的交变电流来说，有效值是恒定的，与所取时间长短无关；而平均值跟时间有关，随着所取 的时间的不同而不同。
