关注函数的定义域

关注函数的定义域函数是中学数学最基本的内容,函数的数学思想贯穿整个高中数学学习的始终.定义域是函数“三要素” (定义域、值域、对应法则)之一,是函数最本质的特征.在解决问题的过程中,如果忽视函数的定义域,常常会事倍功半,甚至误入歧途.在求函数解析式时,务必考虑函数的定义域,否则所求函数关系式是不完整的.BCDAOP例1（08江苏）如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A，B及CD的中点P处AB20km，BC10km为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界）且与A，B等距的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO，BO，PO记铺设管道的总长度为ykm按下列要求建立函数关系式：（i）设（rad），将表示成的函数；（ii）设（km），将表示成的函数； 解 （i）由条件知PQ 垂直平分AB，若BAO=(rad) ，则, 故，又OP，所以， 所求函数关系式为（ii）若OP=(km) ，则OQ10，所以OA =OB=所求函数关系式为例2已知为锐角,则y与x的函数关系式为。解：为锐角,如果解题到此为止，则本题的函数关系式还不完整，应考虑自变量的范围。由题意知解得故函数解析式为函数的单调性是指函数在定义域的某一区间上，函数值随自变量的变化而增减的情况。单调性是一个局部概念，单调区间必须是定义域的子集。例3（08湖南）已知函数f(x)（1）若a1,则f(x)的定义域是;(2)若f(x)在区间上是减函数，则实数a的取值范围是.解：（1），解略；故实数a的取值范围是.例4(07辽宁) 函数的单调增区间为（ ）ABCD解：函数定义域为，问题可转化为在定义域内求的减区间，故选项为A.如不关注定义域，易错选C.函数具备奇偶性的一个必要条件是定义域关于坐标原点对称,如果定义域关于原点不对称,则函数无奇偶性可言.但已知一个函数具备奇偶性，并不意味着函数在x=0处有定义.例5已知函数,试求的值。析：在无法确定定义域的情况下，不可由为奇函数就直接运用，这样有可能导致错解或产生矛盾.而应由奇函数的定义式恒成立结合其它条件求解.参考答案：在求函数值域或确定取值范围时，必须 “定义域优先”。如果不关注函数的定义域，往往会使范围发生变化或求不出来。例6（07全国卷一）设锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为()求B的大小;()求的取值范围.解：（） （解略）（）由为锐角三角形知，所以由此有，所以，的取值范围为综上，在求解函数的解析式，确定取值范围，函数的单调性、奇偶性等有关问题中，要密切关注函数的定义域，看定义域的改变对解题结果有无影响，牢固树立“定义域优先”意识。