5.2 三角函数的概念（单元教学设计）高一数学（人教A版必修第一册）

5.2三角函数的概念（单元教学设计）一、【单元目标】【知识与能力目标】（1）借助单位圆理解三角函数（正弦、余弦、正切）的定义（2）理解同角三角函数的基本关系式：【过程与方法目标】（1）学生知道与幂函数、指数函数、对数函数等一样，三角函数也是刻画一类现实世界中“周而复始”变化规律的数学模型能分析单位圆上点的旋转中涉及的量及其相互关系，获得对应关系，并用函数的定义分析对应关系，抽象出三角函数概念；能根据定义求给定角的三角函数值（2）能利用定义以及单位圆上点的横、纵坐标之间的关系，发现并提出“同角三角函数的基本关系”，并能用于三角恒等变换【情感态度价值观目标】使学生感受学习三角函数概念的必要性和重要性，增加学生对数学学习的兴趣二、【单元知识结构框架】三、【学情分析】三角函数是描述周期运动现象的重要的数学模型，有非常广泛的应用。三角函数的概念是在初中对锐角三角函数的定义以及刚学过的“角的概念的推广”的基础上讨论和研究的。三角函数的定义是本章最基本的概念，对三角内容的整体学习至关重要，是其他所有知识的出发点。紧紧扣住三角函数定义这个宝贵的源泉，可以自然地导出本章的具体内容：三角函数线、定义域、符号判断、值域、同角三角函数关系、多组诱导公式、多组变换公式、图象和性质。 三角函数的定义在教材中起着承前启后的作用，一方面，通过这部分内容的学习，可以帮助学生更加深入理解函数这一基本概念，另一方面它又为平面向量、解析几何等内容的学习作必要的准备。三角函数知识还是物理学、高等数学、测量学、天文学的重要基础。 四、【教学设计思路/过程】课时安排：约2课时教学重点：正弦函数、余弦函数、正切函数的定义，诱导公式一，同角三角函数的基本关系教学难点：三角函数的对应关系，三角函数符号的含义，三角函数的内在联系性教学方法/过程：五、【教学问题诊断分析】环节一、情景引入，温故知新问题1：请同学们先阅读教科书第页，再回答如下问题：（1）正弦函数、余弦函数和正切函数的对应关系各是什么?（2）符号和分别表示什么?在你以往的学习中有类似的引人特定符号表示一种量的经历吗?（3）为什么说当时，的值是唯一确定的?（4）为什么说正弦函数、余弦函数的定义域是?而正切函数的定义域是【破解方法】学生独立阅读课文，再举手回答上述问题，可得：（1）正弦函数的对应关系是：实数（弧度）对应于点的纵坐标；余弦函数的对应关系是：实数（弧度）对应于点的横坐标；正切函数的对应关系是：实数（弧度）对应于（2）符号和分别表示终边与单位圆交点的纵坐标、横坐标以及纵坐标与横坐标的比值（3）因为当时，终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标都是唯一确定的，所以，它们的比值也是唯一确定的，即的值是唯一确定的（4）由正弦函数、余弦函数、正切函数的定义可知环节二、抽象概念，内涵辨析问题2：在初中我们学习了锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数设，把按锐角三角函数定义求得的锐角的正弦记为，并把按本节三角函数定义求得的的正弦记为与相等吗?对于余弦、正切也有相同的结论吗?【破解方法】教师引导学生作出Rt，其中，再将它放人直角坐标系中，使点与原点重合，在轴的正半轴上，得出的结论【归纳新知】三角函数定义设是一个任意角，它的终边与半径是的圆交于点，则，那么：（1）做的正弦，记做，即；（2） 叫做的余弦，记做，即；（3）叫做的正切，记做，即知识点诠释：（1）三角函数的值与点在终边上的位置无关，仅与角的大小有关我们只需计算点到原点的距离，那么，（2）三角函数符号是一个整体，离开的、等是没有意义的，它们表示的是一个比值，而不是、与的积问题3：由三角函数的定义以及任意角的终边与单位圆交点所在的象限，你能发现正弦函数、余弦函数和正切函数的值的符号有什么规律吗?【破解方法】在直角坐标系中标出三角函数值的符号规律不难，可由学生独立完成【归纳新知】三角函数在各象限的符号：在记忆上述三角函数值在各象限的符号时，有以下口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦知识点诠释：口诀的含义是在第一象限各三角函数值为正；在第二象限正弦值为正，在第三象限正切值为正，在第四象限余弦值为正问题4：三角函数是由角的终边与单位圆交点的坐标定义的我们知道角的终边周而复始地旋转，得到了终边相同的角的关系，那么它们的三角函数值之间有什么关系呢?请你用符号表示【破解方法】学生在问题引导下自主探究，联系三角函数的定义，首先直观地确定，终边相同的角的三角函数值相同【归纳新知】诱导公式一由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到诱导公式一：，其中注意：利用诱导公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求（或）范围内角的三角函数值问题5：公式一表明，终边相同的角的同一三角函数的值相等因为三个三角函数的值都是由角的终边与单位圆的交点坐标所唯一确定的，所以它们之间一定有内在联系那么，终边相同的角的三个三角函数之间有什么关系呢?如何利用公式一简化这个问题的研究?【破解方法】学生根据公式一的作用，知道可以把“终边相同的角的三个三角函数之间的关系”的问题转化为“同一个角”，而且还可以转化为内的角进行研究【归纳新知】同角三角函数的基本关系式（1）平方关系：（2）商数关系：知识点诠释：（1）这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角（使得函数有意义的前提下）关系式都成立；（2）是的简写；（3）在应用平方关系时，常用到平方根，算术平方根和绝对值的概念，应注意“”的选取环节三：例题练习，巩固理解题型一：三角函数的定义【例1】已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的正半轴，若角终边有一点，且，则（    ）A1BCD2【答案】B【解析】由题意得，解得，故选：B.【对点训练1】已知角以坐标系中为始边，终边与单位圆交于点，则下列各式正确的有（    ）ABCD【答案】C【解析】因为角以坐标系中为始边，终边与单位圆交于点，所以，所以，故A错误；，故B错误；，故C正确；，故D错误.故选：C.题型二：判断三角函数值的符号【例2】“且”是“为第三象限角”的（    ）A充要条件B必要不充分条件C充分不必要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】充分性：由可知，由可知或，综上，即为第三象限角.必要性：若为第三象限角，则且.所以“且”是“为第三象限角”的充要条件.故选：A【对点训练2】当x为第二象限角时， （    ）A1B0C2D2【答案】C【解析】因为是第二象限角，所以，故选：C题型三：确定角所在象限【例3】若，则是（    ）A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角【答案】A【解析】由，得，所以是第一象限角.故选：A.【对点训练3】已知点是第三象限的点，则的终边位于（    ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】C【解析】点是第三象限的点，由可得，的终边位于第二象限或第三象限或x轴的非正半轴；由可得，的终边位于第一象限或第三象限，综上所述，的终边位于第三象限故选:C题型四：诱导公式（一）的应用【例4】的值为 【答案】【解析】.故答案为：.【对点训练4】计算： .【答案】【解析】.故答案为：.题型五：已知某个三角函数值求其余的三角函数值【例5】已知，为第三象限角，则的值为 .【答案】【解析】由题意可得，即，且为第三象限角，则，所以.故答案为：.【对点训练5】设为第二象限角，若，则 .【答案】/【解析】为第二象限角，则，若，则有，解得，所以.故答案为：.题型六：已知的值，求关于、的齐次式的值问题【例6】（多选题）已知，则下列结果正确的是（    ）ABCD【答案】ABC【解析】，故A正确；，故B正确；，故C正确；，故D错误.故选：ABC.【对点训练6】（多选题）已知，下列选项正确的有 （    ）ABC=D=【答案】ACD【解析】由，得，所以，故A正确；B错误；因为，所以.故C正确；因为，所以，故D正确.故选：ACD.题型七：与关系的应用【例7】（多选题）已知，且，则（    ）ABCD【答案】ABD【解析】AB选项，两边平方得，即，所以，B正确，因为，所以，故，所以，A正确；CD选项，因为，所以，故，C错误，D正确.故选：ABD【对点训练7】（多选题）已知，则下列结论正确的是（    ）ABCD【答案】ABD【解析】对A，则，A对；对BCD，联立可解得，BD对，C错.故选：ABD.环节四：小结提升，形成结构问题6：请你带着下列问题回顾本节课学习的内容：（1）你能说出构建三角函数定义的过程吗?（2）叙述任意角三角函数的定义过程，说明任意角三角函数与锐角三角函数的区别与联系（3）我们是如何发现公式一和同角三角函数的基本关系的?在发现这些性质的过程中，有哪些值得总结的思想方法或有益经验?【破解方法】先让学生思考，之后小组讨论，再全班交流，教师帮助完善六、【教学成果自我检测】环节五：目标检测，检验效果1已知，则（    ）A0BC-1D【答案】C【解析】由题知，则.故选：C.2已知，则（    ）ABCD【答案】A【解析】因为，可得，可得，所以.故选：A.3已知，且则的值为（    ）ABCD【答案】C【解析】由，两边平方得，因为，所以，又，又因为，所以，得，联立与，求得，故故选：C4若角的终边经过点，则（    ）ABCD【答案】D【解析】设，则点到原点的距离为，则.故选：D.5已知，且，则的值为（    ）ABCD或【答案】C【解析】将两边同时平方可得，可得；又，所以；易知，可得；又,所以.故选：C6点是角终边上一点，则 【答案】【解析】根据任意角的三角函数定义，得故答案为：.7已知，则 .【答案】【解析】因为，则.故答案为：.8已知角的终边上一点的坐标为，则角的最小正值为 【答案】【解析】因为，所以角的终边在第四象限，根据三角函数的定义，知，故角的最小正值为故答案为：【设计意图】落实与理解教材要求的基本教学内容环节六：布置作业，应用迁移作业：教科书第185186页习题52第2、3、13、15题【设计意图】通过训练，可以加深学生对三角函数概念及基本性质的理解，提高学生分析问题、解决问题的能力，发展其数学运算、逻辑推理等素养七、【教学反思】