2012年高考真题理科数学解析分类汇编11计数原理与二项式

2012年高考真题理科数学解析分类汇编11 计数原理与二项式1.【2012高考重庆理4】的展开式中常数项为A. B. C. D.105【答案】B【解析】二项展开式的通项为，令，解得，所以，选B2.【2012高考浙江理6】若从1,2,3，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有A.60种 B.63种 C.65种 D.66种【答案】D【解析】从1,2,3，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数的取法分为三类；第一类是取四个偶数，即种方法；第一类是取两个奇数，两个偶数，即种方法；第三类是取四个奇数，即故有5+60+1=66种方法。故选D。3.【2012高考新课标理2】将名教师，名学生分成个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由名教师和名学生组成，不同的安排方案共有（ ）种 种 种 种【答案】A【解析】先安排老师有种方法，在安排学生有，所以共有12种安排方案，选A.4.【2012高考四川理1】的展开式中的系数是（ ）A、 B、 C、 D、 【答案】D解析二项式展开式的通项公式为=，令k=2，则点评：高考二项展开式问题题型难度不大，要得到这部分分值，首先需要熟练掌握二项展开式的通项公式，其次需要强化考生的计算能力.5.【2012高考四川理11】方程中的，且互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ）A、60条 B、62条 C、71条 D、80条 【答案】B【解析】法1: 方程变形得，若表示抛物线，则所以，分b=-3,-2,1,2,3五种情况：（1）若b=-3， ; （2）若b=3, 以上两种情况下有9条重复，故共有16+7=23条；同理当b=-2,或2时，共有23条； 当b=1时，共有16条.综上，共有23+23+16=62种法2:本题可用排除法，6选3全排列为120，这些方程所表示的曲线要是抛物线，则且,，要减去，又和时，方程出现重复，用分步计数原理可计算重复次数为，所以不同的抛物线共有120-40-18=62条.故选B.点评此题难度很大，若采用排列组合公式计算，很容易忽视重复的18条抛物线. 列举法是解决排列、组合、概率等非常有效的办法.要能熟练运用.6.【2012高考陕西理8】两人进行乒乓球比赛，先赢三局着获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（ ）A. 10种 B.15种 C. 20种 D. 30种【答案】C.【解析】首先分类计算假如甲赢，比分3：0是1种情况；比分3：1共有3种情况，分别是前3局中（因为第四局肯定要赢），第一或第二或第三局输，其余局数获胜；比分是3：2共有6种情况，就是说前4局2：2，最后一局获胜，前4局中，用排列方法，从4局中选2局获胜，有6种情况.甲一共就1+3+6=10种情况获胜.所以加上乙获胜情况，共有10+10=20种情况.故选C.7.【2012高考山东理11】现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张.不同取法的种数为（A）232 (B)252 (C)472 (D)484【答案】C【解析】法1:若没有红色卡，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张，若都不同色则有种，若2色相同，则有；若红色卡片有1张，则剩余2张若不同色，有种，如同色则有，所以共有，故选C。法2: ,答案应选C。法3: .8.【2012高考辽宁理5】一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为(A)3×3！ (B) 3×(3！)3 (C)(3！)4 (D) 9！【答案】C【命题意图】本题主要考查相邻的排列问题，是简单题.【解析】此排列可分两步进行，先把三个家庭分别排列，每个家庭有种排法，三个家庭共有种排法；再把三个家庭进行全排列有种排法。因此不同的坐法种数为，答案为C 【点评】本题主要考查分步计数原理，以及分析问题、解决问题的能力，属于中档题。9.【2012高考湖北理5】设，且，若能被13整除，则A0 B1 C11 D12【答案】D考点分析：本题考察二项展开式的系数.【解析】由于51=52-1，,又由于13|52,所以只需13|1+a，0a<13,所以a=12选D.10.【2012高考北京理6】从0，2中选一个数字.从1.3.5中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为( )A. 24 B. 18 C. 12 D. 6【答案】B【解析】由于题目要求的是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇；偶奇奇。如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析(3种选择)，之后十位(2种选择)，最后百位(2种选择)，共12种；如果是第二种情况偶奇奇，分析同理：个位(3种情况)，十位(2种情况)，百位(不能是0，一种情况)，共6种，因此总共12+6=18种情况。11.【2012高考安徽理7】的展开式的常数项是（ ） 【答案】D【命题立意】本题考查二项式定理的内容。【解析】第一个因式取，第二个因式取 得：，第一个因式取，第二个因式取得： 展开式的常数项是12.【2012高考安徽理10】6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品，已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到份纪念品的同学人数为（ ） 或 或 或 或【答案】D【命题立意】本题考查等排列组合的运算问题。【解析】设仅有甲与乙，丙没交换纪念品，则收到份纪念品的同学人数为人，设仅有甲与乙，丙与丁没交换纪念品，则收到份纪念品的同学人数为人循环不满足条件输出，选C.13.【2012高考天津理5】在的二项展开式中，的系数为（A）10 （B）-10 （C）40 （D）-40【答案】D【命题意图】本试题主要考查了二项式定理中的通项公式的运用，并借助于通项公式分析项的系数.【解析】二项展开式的通项为，令，解得，所以，所以的系数为，选D.14.【2012高考全国卷理11】将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（A）12种（B）18种（C）24种（D）36种【答案】A【命题意图】本试题考查了排列组合的应用。【解析】第一步先排第一列有，在排第二列，当第一列确定时，第二列有两种方法，如图，所以共有种，选A.15【2012高考重庆理15】某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为 （用数字作答）. 【答案】【解析】6节课共有种排法.语文、数学、外语三门文化课中间隔1节艺术课有种排法，三门文化课中、都相邻有种排法，三门文化课中有两门相邻有，故所有的排法有，所以相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为16.【2012高考浙江理14】若将函数表示为， 其中，为实数，则_ 【答案】10【解析】法一：由等式两边对应项系数相等即：法二：对等式：两边连续对x求导三次得：，再运用赋值法，令得：，即17.【2012高考陕西理12】展开式中的系数为10， 则实数的值为 .【答案】1【解析】根据公式得，含有的项为，所以.18.【2012高考上海理5】在的二项展开式中，常数项等于 。【答案】【解析】二项展开式的通项为，令，得，所以常数项为。19.【2012高考广东理10】的展开式中x³的系数为_（用数字作答） 【答案】20 【解析】，令得，所以20.【2012高考湖南理13】( -)6的二项展开式中的常数项为 .（用数字作答）【答案】-160【解析】( -)6的展开式项公式是.由题意知，所以二项展开式中的常数项为.【点评】本题主要考察二项式定理，写出二项展开式的通项公式是解决这类问题的常规办法.21.【2012高考福建理11】（a+x）4的展开式中x3的系数等于8，则实数a=_.【答案】2 【解析】根据公式得，含有的项为，所以.22.【2012高考全国卷理15】若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为 。【答案】【命题意图】本试题主要考查了二项式定理中通项公式的运用。利用二项式系数相等，确定了的值，然后进一步借助于通项公式，分析项的系数。【解析】因为展开式中的第3项和第7项的二项式系数相同，即，所以，所以展开式的通项为，令，解得，所以，所以的系数为.