衍生品定价的girsanov变换及鞅方法原理

衍生品定价的girsanov变换及鞅方法原理下面是从一个论坛上转帖的，希望能对正在学习风险中性变换中Girsanov变换的同学有些帮助（其实我自己都云里雾里的）你不要把girsanov变换看得那么神秘。我估计不少人现在对这个变换也是仅得其形未得其实：让他们做题死套都能得高分，但没有几个明白其中原理。所以我一再强调，即使对于数学，也要理解其物理含义。没有弄明白物理含义的数学，就等价于没有学懂。girsanov变换，本质上就是：前提：给定一个随机变量，其对应一个分布函数A。变换：现在让此随机变量增加一个漂移（注意，增加漂移后的随机变量不再是原来那个随机变量，这应很好理解）。计算：计算出新随机变量的分布函数B。从分布函数A计算出分布函数B的过程，就是girsanov变换因为girsanov给出了以漂移量为参数，直接从分布函数A计算出分布函数B的通式。就这么简单。大家学过起码的概率论的同学，应该还记得怎么把任何一个正态分布转化为标准正态分布，然后查标准正态表，计算出原正态分布下的各种数值的做法吧？那就是girsanov变换，减掉一般正态分布的漂移量，使其期望值为零呵呵弄个骇人的名字，就是鞅。然后对方差处理为1。简单说，就是把复杂难以计算的分布，转化为标准分布，根据标准分布计算出的数据，返回去再计算原分布下的数据。这么一个东西，显然是没有任何神奇在里面的。准确地说，girsanov变换，应叫做：“随机运动平移的概率分布计算通式”。呵呵这个名字一起，同学们的神秘感就会消失了吧？所以很多学问，与其说太深奥，不如说其名字起得太悬乎，大家花在名字理解上的时间，比去推导还要多。那么，期权定价的girsanov变换，导致的风险中性概率又是如何来的呢？凭借我上面的解释，girsanov不能有那么神奇的力量，居然能脱离科学关系分析，纯粹通过数学变换，计算出科学关系来这简直就是神。其实，期权定价的此变换之前，首先就确定一个科学内容的前提：均衡价格下，任何资产任何时候，以无风险利率贴现到当前的值之期望值相等。呵呵以学术性的术语说，就是：任何资产任何时候，以无风险利率贴现到当前的值是鞅。只不过大家对前一种表述都能明白；后一种表述，就都不明白罢了。按道理说，资产价格的实际漂移率显然不是无风险利率，而是此资产的风险收益率。那么通过girsanov变换，是可以消掉此资产的风险收益率漂移项，把资产价格的随机运动转化为标准维纳运动，根据标准维纳运动计算出的数据，返回去计算平移前风险分布下的数据。这个办法理论上可以，但问题是算了半天，证券风险还是原来的风险，那对算期权半点用处没有。所以这个办法搞不定。但诸位可以对girsanov变换的作用有进一步认识了。所以，期权定价就要动用均衡价格下的风险收益率等效用原理了。即，均衡价格下，任何资产任何时候，以无风险收益率贴现的现值之期望相等当然，此时无风险收益率对应的风险为何，期权定价理论是没有说的了。但期权理论隐含承认：只要可以无风险收益率贴现，则风险偏好因素再不需要考虑这个结论也是预先假定的科学结论，而不是通过什么测度变换来证明的。事实上，我以为，这个科学关系的认定，是首先根据公式，发现有这么一个无风险利率代换及概率模样东西，然后霸王硬上弓对照提出科学关系即西方经济学常干的，先稀里糊涂计算出结论，然后把结论认作前提，返过去计算出种种关系。这样，第二步：将资产未来价格的无风险贴现，通过微分展开，获得一个含漂移的随机运动。（这个大家很好理解吧？明明资产的风险收益率高于无风险收益率，你却偏偏用无风险收益率贴现，则随着时间变化，当前的贴现值当然要增长）。第三步：可是科学关系要求：无风险折现的现值没有漂移。好了，girsanov用上了。即用girsanov，把漂移值去掉（即为鞅），获得的新概率分布，不就可以保证科学关系成立了么？这个获得的新概率分布，就是所谓的风险中性概率。特别地，大家看到，这里girsanov测度变换，不是对资产自身随机运动的变换。考虑无风险贴现之科学关系时，把无风险收益率和资产自身随机运动通过贴现组合在一起，形成的新随机运动，新随机运动中，必定出现风险收益率与无风险利率之差距而导致的漂移。girsanov变换，则是消掉新随机运动中的漂移。同样，这个概率模样的东西，也不是真正的概率。它只是科学关系的均衡价格之效用等价限制下，计算出来的概率模样的东西。虽然它不是概率，但其数学形式与概率完全一样，所以概率变换的内容仍然适用。再次要说的是，它也根本不是资产价格随机运动的平移，即不是资产价格实际分布函数通过girsanov变换来的。以学术语言说：新概率，不是资产价格实际概率测度的girsanov变换。它是资产价格随机运动，减去同样贴现值的无风险资产价格运动之差（其差为带漂移的随机运动），通过girsanov变换而得到。这种变换，已经不再是通过变换后的函数，计算变换前的函数值，而是，直接把变换后的函数，作为满足科学关系的函数。其变换后的函数，能够不通过变换前函数，就用于计算的条件，就是科学前提之许可：它可以这么做。换言之，如果没有科学理论的支持，则，任何计算，其girsanov变换，只是使得计算更简单，但必须最后要回到变换前的函数，根据变换前后的变量关系，计算出原函数的各种数据。因此，从期权定价的girsanov变换过程及其物理意义，我们可以看到，科学上的均衡价格和均衡价格下收益风险等效用原理，才是其前提。它是在这个前提下进行变换，而不是说通过纯粹数学的变换居然能证明出前提。也可以看出，风险中性概率，就是一个确定比例，根本不是真正意义上不确定的概率。最简单的例子，如果没有科学上要求贴现值期望不随时间变化（资产价格为非均衡时，此条件是不能满足的，必定有漂移值），则后面一系列推导都无法进行。必须去掉非均衡价格中的套利部分，才能进行其后的计算。你说“我不得不怀疑，你的对衍生产品定价理论的认识还停留在70年代。”对此我的回答是：我的书中，反复强调大家要弄明白最基础的理论。不要因为一个理论的古老，就不去理解它最前沿的理论，都是建立在这些基础理论之上。你没有理解基础理论，就不可能真正明白前沿理论。最后再送一句话：数学永远只是语言，是符号系统。科学是现实物质关系。数学只能描述科学，但不能创造科学。如果一个科学结论缺乏相应的科学前提，则无论多么高明的数学变换，也不能使这个科学结论成立。记住这个结论，能省你很多力气。