专题11 最值问题 （2大易错点分析+26个易错点+易错题通关）-2024年中考

试卷第 1 页，共 17 页专题专题 11 最值问题最值问题直线轨迹专题直线轨迹专题#QQABK0iwgmCwkB7xiZg6EQWIiCiR8BTTbo5G1VYUaEeOPglAHAA=#试卷第 2 页，共 17 页易错点易错点 1：将军饮马：将军饮马例例：1如图，在平面直角坐标系中，A（1，1），B（3，3），点 P 为 x 轴上的动点，则 PA+PB的最小值为（）A25B23C5D15变式变式 1：2如图，CD是O的直径，8CD，20ACD，点B为弧AD的中点，点P是直径CD上的一个动点，则PAPB的最小值为 易错点易错点 2：三点共线：三点共线例例：3如图，在ABC中，13,10,ABBCD是BC中点，EF垂直平分AB，交AB边于点E，交AC边于点F，在EF上确定一点P，使PBPD最大，则这个最大值为（）#QQABK0iwgmCwkB7xiZg6EQWIiCiR8BTTbo5G1VYUaEeOPglAHAA=#试卷第 3 页，共 17 页A10B5C13D6.5变式变式 1：4如图，四边形ABCD中，ABCD，90ABC，5AB，3BC，3CD，点P 为直线BC左侧平面上一点，BCP的面积为32，则PAPC的最大值为 易错点易错点 3：两动一定：两动一定例：例：5如图，已知15AOB，点 M 在边OB上，且4OM，点 N 和点 P 分别是OM和OA上的一个动点，则PMPN的最小值为（）A1B2C3D4变式变式 1：6如图，在四边形ABCD中，ADBC，ABAC，6BC，DBC的面积为 24，AB的垂直平分线MN分别交AB，AC于点 M、N，若点 P 和点 Q 分别是线段MN和BC边上的动点，则PBPQ的最小值为#QQABK0iwgmCwkB7xiZg6EQWIiCiR8BTTbo5G1VYUaEeOPglAHAA=#试卷第 4 页，共 17 页易错点易错点 4：两动两定：两动两定例例：7如图，已知正比例函数 ykx（k0）的图象与 x 轴相交所成的锐角为 70，定点 A的坐标为（0，4），P 为 y 轴上的一个动点，M、N 为函数 ykx（k0）的图象上的两个动点，则 AM+MP+PN 的最小值为（）A2B4sin40C23D4sin20（1+cos20+sin20cos20）变式变式 1：8如图，已知正比例函数0ykx k的图象与x轴相交所成的锐角为70，定点A的坐标为0,4，P为y轴上的一个动点，M、N为函数0ykx k的图象上的两个动点，则AMMPPN的最小值为 易错点易错点 5：两动一定长：两动一定长例例：9如图，长方形ABCD中，4AB，2BC，G是AD的中点，线段EF在边AB上左右滑动，若1EF，则GECF的最小值为（）A2 3B2 2C3 2D3 3变式变式 1：#QQABK0iwgmCwkB7xiZg6EQWIiCiR8BTTbo5G1VYUaEeOPglAHAA=#试卷第 5 页，共 17 页10如图，ABC中，90,30,2ACBABC，若 D，E 是边AB上的两个动点，F 是边AC上的一个动点，2DE，则CDEF的最小值为 易错点易错点 6：三动点：三动点例例：11如图，在直角三角形ABC中，30ACB，8AB，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为（）A3B4 3C6D2 3变式变式 1：12如图，ABC 中，AC=BC=3，AB=2，将它沿 AB 翻折得到ABD，点 P、E、F 分别为线段 AB、AD、DB 上的动点，则 PE+PF 的最小值是 易错点易错点 7：周长最小：周长最小例例：13如图，30AOB，OC为AOB内部一条射线，点 P 为射线OC上一点，6OP，点 M、N 分别为OA、OB边上动点，则MNP周长的最小值为（）#QQABK0iwgmCwkB7xiZg6EQWIiCiR8BTTbo5G1VYUaEeOPglAHAA=#试卷第 6 页，共 17 页A6B8C12D18变式变式 1：14如图，在ABC中，点 D 为AB上一动点，连接CD，点 E 为线段CD上一点，点F，点 G 分别为边CA，边CB上的动点，若306ACBCE，则EFG的周长的最小值为 易错点易错点 8：中位线：中位线例：例：15如图，在平行四边形ABCD中，135C，2AB，3AD，点 H，G 分别是CDBC，上的动点，连接AHGH，E，F 分别为AHGH，的中点，则EF的最小值是（）A2B2C22D2 2变式变式 1：16 已知矩形ABCD中，24ABAD，点 E、F 分别是边AB、CD的中点，点 P 为AD边上动点，过点 P 作与AB平行的直线交AF于点 G，连接PE，点 M 是PE中点，连接MG，则MG的最小值 易错点易错点 9：斜中定值：斜中定值例例：17如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的两个顶点 A、B 是坐标轴上的动点，若正方形的边长为 4，则线段OC长的最大值是()#QQABK0iwgmCwkB7xiZg6EQWIiCiR8BTTbo5G1VYUaEeOPglAHAA=#试卷第 7 页，共 17 页 A22 3B22 5C4 2D8变式变式 1：18如图，长方形两边长21ABAD，两顶点 A、B 分别在 y 轴的正半轴和 x 轴的正半轴上运动，则顶点 D 到原点 O 的距离最大值是 易错点易错点 10：隐直线：隐直线例例：19如图，在长方形ABCD中，5AB，3AD，动点 P 满足13PABABCDSS长方形，则PAPB的最小值为（）A41B34C29D5 2变式变式 1：20如图，在矩形ABCD中，512ABAD，点 E 是矩形内一动点，连接BECE、，14BCEABCDSS矩形，F 为AD上一动点，连接EF，则BECEFE的最小值是#QQABK0iwgmCwkB7xiZg6EQWIiCiR8BTTbo5G1VYUaEeOPglAHAA=#试卷第 8 页，共 17 页易错点易错点 11：矩形对角线：矩形对角线例例：21如图，RtABC中，90ACB，3AC，4BC 点 D 是AB边上的动点，过点 D 作边AC、BC垂线，垂足分别为 E，F连接EF，则EF的最小值为（）A3B2.4C4D2.5变式变式 1：22如图，直线334yx与坐标轴分别交于点A，B，点P是线段AB上一动点，过点P作PMx轴于点M，作PNy轴于点N，连接MN，则线段MN的最小值为 易错点易错点 12：数形结合：数形结合例例：23函数2222613yxxxx 的最小值是（）A217B12 5C5D17变式变式 1：24数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”在复习二次根式时，老师提出了一个求代数式最小值的问题，如：“当012x时，求代数式224(12)9xx的最小值”，其中24x 可看作两直角边分别为x和 2 的Rt ACP的斜边长，2(12)9x可看作两直角边分别是12x和 3 的Rt BDP的斜边长于是构造出如图，将问题转化为求APBP的最小值运用此方法，请你解决问题：已知 a，b 均为正数，#QQABK0iwgmCwkB7xiZg6EQWIiCiR8BTTbo5G1VYUaEeOPglAHAA=#试卷第 9 页，共 17 页且10ab 则22925ab的最小值是 易错点易错点 13：蚂蚁爬行：蚂蚁爬行例：例：25如图，已知圆柱底面的周长为6m，圆柱高为3m，BC为底面圆的直径，一只蚂蚁在圆柱的表面上从点A爬到点C的最短距离为（）m A2 5B3 2C3 5D5 2变式变式 1：26如图，长方体的长为 15，宽为 10，高为 20，点 B 离点 C 的距离为 5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表而从点 A 爬到点 B，需要爬行的最短距离是 易错点易错点 14：切线与勾股定理：切线与勾股定理例例：27 如图，O的半径为 2，点 O 到直线 l 的距离为 3，点 P 是直线 l 上的一个动点，PQ切O于点 Q，则PQ的最小值为（）#QQABK0iwgmCwkB7xiZg6EQWIiCiR8BTTbo5G1VYUaEeOPglAHAA=#试卷第 10 页，共 17 页A13B5C3D2变式变式 1：28如图，在平面直角坐标系中，P是直线AB：132yx上的一个动点，O的半轻为 1，过点P作O的切线，切点为Q，则PQ长度的最小值为 易错点易错点 15：圆锥侧面展开图：圆锥侧面展开图例例：29如图，圆锥的底面半径是2，母线长是6如果点A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，则这根绳子的最短长度是（）A6 2B6 3C12D4变式变式 1：30如图，圆锥的母线长AB为 2，底面圆的直径为 2，若一只蚂蚁从圆锥的点 B 出发，沿表面爬到AC的中点 D 处，则其爬行的最短路线长为 易错点易错点 16：手拉手：手拉手例例：31如图，在ABC中，90ACB，2ACBC，点D是BC边的中点，点P是AC#QQABK0iwgmCwkB7xiZg6EQWIiCiR8BTTbo5G1VYUaEeOPglAHAA=#试卷第 11 页，共 17 页边上一个动点，连接PD，以PD为边在PD的下方作等边三角形PDQ，连接CQ，则CQ的最小值是（）A34B12C22D34变式变式 1：32如图，ABC 中，B30，ACB90，AB2，D 在 BC 上，将线段 AD 绕点 A逆时针旋转 60得 AP，则 CP 的最小值为 易错点易错点 17：费马点：费马点例例：33在 RtABC 中，ABC90，ACB30，BC6，P 为ABC 内一点，连接PA、PB、PC，则 PA+PB+PC 的最小值为（）A2 21B4 5C2 36D4 33变式变式 1：34如图，抛物线2yaxbxc经过点30A ,，顶点为1,Mm，且抛物线与y轴的交点 B 在02，和03，之间（不含端点），则下列结论：#QQABK0iwgmCwkB7xiZg6EQWIiCiR8BTTbo5G1VYUaEeOPglAHAA=#试卷第 12 页，共 17 页 当31x 时，0y；当ABM的面积为3 32时，32a；当ABM为直角三角形时，在AOB内存在唯一点 P，使得PAPOPB的值最小，最小值的平方为189 3其中正确的结论是 （填写所有正确结论的序号）易错点易错点 18：胡不归：胡不归例：例：35如图，矩形ABCD的对角线交于点O，2AB，2 3BC，点P是BC上的动点，则12OPBP的最小值是（）A3B3C2 3D6变式变式 1：36已知：在平面直角坐标系xOy中，点(0,3),(10,0)AB，在x轴上存在一点P，使55APBP的值最小，此时P的坐标为 ，55APBP的最小值为 圆轨迹专题圆轨迹专题易错点易错点 1：两动一定：两动一定例例：37如图，矩形ABCD中，2AB，3BC，以 A 为圆心，1 为半径画圆，E 是A上一动点，P 是BC上的一动点，则PEPD的最小值是（）#QQABK0iwgmCwkB7xiZg6EQWIiCiR8BTTbo5G1VYUaEeOPglAHAA=#试卷第 13 页，共 17 页 A2B3C4D 2 3变式变式 1：38 如图，正方形ABCD中，4AB，M 是CD边上一个动点，以CM为直径的圆与BM相交于点 Q，P 为CD上另一个动点，连接AP，PQ，则APPQ的最小值是 易错点易错点 2：点运动路径：点运动路径例例：39如图，ABC是等腰直角三角形，90ACB，4ACBC，点D是斜边AB上一点，且14BDAB，将ABC绕点D逆时针旋转90，得到A B C ，BC交AB于点E其中点C的运动路径为弧CC，则弧CC的长度为（）A102B104C52D54变式变式 1：40如图，在矩形ABCD中，2 3AB，4BC，某一时刻，动点 E 从点 A 出发，沿AD方向以每秒 1 个单位长度的速度向点 D 匀速运动；同时，动点 F 从点 B 出发，沿BC方向以每秒 2 个单位长度的速度向点 C 匀速运动，