上海市曹杨第二中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题Word版含解析

上海市曹杨第二中学2021-2022年高一下期中考试数学试卷一、填空题（本大题满分36分，本大题共有12题）1. 函数的最小正周期为_【答案】【解析】【分析】直接利用三角函数的周期公式，即可求解.【详解】解：由正弦函数的周期公式得，所以函数的最小正周期为，故答案为：2. 复数（其中为虚数单位）的虚部为_【答案】【解析】【分析】由复数的概念可直接得到虚部.【详解】由复数的概念可知复数的虚部为.故答案为: .3. 函数的定义域为_【答案】.【解析】【分析】由正切函数的定义域得出，解出不等式可得出所求函数的定义域【详解】由于正切函数为，解不等式，得，因此，函数的定义域为，故答案为【点睛】本题考查正切型函数定义域的求解，解题时需结合正切函数的定义域列不等式进行计算，考查计算能力，属于中等题4. 已知，则_【答案】#0.4【解析】【分析】先通过诱导公式化简，然后弦化切即可得到答案.【详解】原式故答案为：.5. 若为锐角，且，则_【答案】【解析】【分析】通过平方关系求出和值，再根据两角和的余弦公式即可得解.【详解】因为为锐角，且，所以，所以故答案为：.6. 方程在上的解集为_【答案】【解析】【分析】首先利用辅助角公式化简，然后利用特殊角的三角函数值确定解集，最后根据题干中给定角的取值范围即可确定满足条件的角的集合.【详解】因为，所以，所以或，所以或，因为，所以或，故答案为：7. 已知向量在向量方向上的投影向量为，且，则_(结果用数值表示)【答案】【解析】【分析】首先根据投影公式求得，再代入数量积公式，即可求解.【详解】因为向量在向量方向上的投影向量为，且，所以，所以，则故答案为：8. 函数的单调递减区间为_【答案】【解析】【分析】先将函数解析式化简，再利用整体代入法即可求得函数单调递减区间【详解】，由，得又，则则函数，单调递减区间为故答案为：9. 在中，角，所对的边分别为，表示的面积，若，则_【答案】【解析】【详解】试题分析：，考点：解三角形.【思路点睛】先利用余弦定理和三角形的面积公式可得，可得，再用正弦定理把中的边换成角的正弦，利用两角和公式化简整理可求得，最后根据三角形内角和，进而求得10. 已知函数，若在区间上具有单调性，且，则_【答案】【解析】【分析】根据条件，运用三角函数的性质逐步推理，求出 和 .【详解】由于，存在两种情况：（1）周期为 ，则有， 又，所以 ， ， ，即 ，又 =T，则在区间上不具有单调性，不符合题意；（2）为函数的对称轴，则 ，因为，所以 ，-得 ，所以 ，因在区间上具有单调性，所以 ，即 ，所以 ，或6，若 ，则 ，由得 ，因为，所以， ，代入也成立，符合题意；若 ，由得 ，不可能满足 ；所以；故答案为：.11. 已知函数，若在区间内没有零点，则的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】由三角恒等变换得，进而根据题意得，再分别解不等式即可得答案.【详解】解：函数在区间内没有零点，即或，解得，即，由于，故，即解得，即，由于，故，即，综上可得的取值范围是故答案为：12. 如图，圆是半径为1的圆，设，为圆上的任意2个点，则的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】连接，设是线段的中点，连接，则有.设为和的夹角.求出 ,利用二次函数即得解.【详解】解：连接，设是线段的中点，连接，则有.设为和的夹角.则，（当即时取等）因为，所以当时，有最小值.，（当即时取等）当时，有最大值为3，即有最大值3，所以的取值范围是.故答案为：【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用向量的运算建立函数模型，再利用二次函数的图象和性质求解.二、选择题（本大题满分12分，本大题共有4题）13. 已知非零向量，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】B【解析】【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.【详解】如图所示，,当时，与垂直，所以成立，此时，不是的充分条件，当时，,成立，是的必要条件，综上，“”是“”的必要不充分条件故选：B.14. 设函数，其中，若对任意的恒成立，则下列结论正确的是（ ）A. B. 的图像关于直线对称C. 在上单调递增D. 过点的直线与函数的图像必有公共点【答案】D【解析】【分析】利用辅助角公式将函数化简，进而根据函数在处取得最大值求出参数，然后结合三角函数的图象和性质判断答案.【详解】由题意，而函数在处取得最大值，所以，所以，则.对A，因为，即，A错误；对B，因为，所以B错误；对C，因为，所以函数在上单调递减，所以C错误；对D，因为的最大值为，而，所以过点的直线与函数的图象必有公共点，D正确.故选：D.15. 函数的图像向左平移个单位长度后与函数的图像重合，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用三角函数图像平移规则和三角函数诱导公式即可取得的最小值【详解】函数的图像向左平移个单位长度后为又因为，则的最小值为，故选：16. 如果对一切正实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】将不等式cos2xasinx恒成立转化为asinx+1sin2x恒成立，构造函数f（y），利用基本不等式可求得f（y）min3，于是问题转化为asinxsin2x2恒成立通过对sinx0、sinx0、sinx0三类讨论，可求得对应情况下的实数a的取值范围，最后取其交集即可得到答案【详解】解：实数x、y，不等式cos2xasinx恒成立asinx+1sin2x恒成立，令f（y），则asinx+1sin2xf（y）min，y0，f（y）23（当且仅当y6时取“”），f（y）min3；所以，asinx+1sin2x3，即asinxsin2x2恒成立若sinx0，asinx恒成立，令sinxt，则0t1，再令g（t）t（0t1），则ag（t）min由于g（t）10，所以，g（t）t在区间（0，1上单调递减，因此，g（t）ming（1）3，所以a3；若sinx0，则asinx恒成立，同理可得a3；若sinx0，02恒成立，故aR；综合，3a3故选：D【点睛】本题考查恒成立问题，将不等式cos2xasinx恒成立转化为asinx+1sin2x恒成立是基础，令f（y），求得f（y）min3是关键，也是难点，考查等价转化思想、分类讨论思想的综合运用，属于难题三、解答题（本大题满分52分，本大题共有4题）17. 已知，（1）求；（2）求的值【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）用平面向量的模长及数量积运算即可求解.（2）用公式，展开即可求解.【小问1详解】因为，所以，即，即，又，所以【小问2详解】18. 已知的角、所对的边分别为、，且（1）求角的大小；（2）若，求的值【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理和三角函数的诱导公式、两角和的正弦公式、同角的商数关系，可得所求值；（2）由向量的数量积的定义和余弦定理，结合配方法，可得所求值【详解】解：（1）由正弦定理可得，所以，因为，所以，又，所以；（2）因为，所以，所以，则，所以19. 如图所示，我国黄海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛与小岛、小岛相距都为5公里，与小岛相距为公里已知角为钝角，且（1）求小岛与小岛之间的距离；（2）记为，为，求的值【答案】（1）2 （2）【解析】【分析】(1) 在中，利用余弦定理即可求解；(2) 在中，先利用正弦定理求出，然后利用两角和正弦公式即可求解.小问1详解】由题意可知：，因为角为钝角，所以，在中，由余弦定理得，所以，解得或（舍），所以小岛与小岛之间的距离为2【小问2详解】在中，由正弦定理，因为，所以，则，因为，所以为锐角，所以，因为，所以20. 借助三角比及向量知识，可以方便地讨论平面上点及图像的旋转问题.试解答下列问题.（1）在直角坐标系中，将点绕坐标原点逆时针旋转到点，求点的坐标；（2）如图，设向量，把向量按逆时针方向旋转角得到向量，求向量的坐标；（3）设为不重合的两定点，将点绕点按逆时针方向旋转角得点，判断是否能够落在直线上，若能，试用表示相应的值，若不能，说明理由.【答案】（1） （2） （3）能，答案见解析【解析】【分析】（1）设，以为终边的角为，则利用两角和的正弦和余弦公式求得和，进而求得点坐标；（2）先把平移到起点在原点得到，与（1）同理求得即得；（3）与（1）同理求得点，把点坐标代入直线，分情况讨论求解即可【小问1详解】设，则，所以；【小问2详解】把向量的起点平移到原点O，如图，设以为终边的角为，则以为终边的角为，记，则，所以；【小问3详解】欲求点坐标，只需要求向量坐标.显然因为向量，由（2）得 即C点坐标为，“点落在直线上”“”“”当时，点重合，不合题意；当时，点能落在直线上，此时需；当时，点能落在直线上，此时需；当时，点能落在直线上，由，此时需.注：情形可以并入情形综上所述：当时，；当时，