自学者参考相对论习题

1 自学者参考相对论习题 8-1 一艘空间飞船以0.99c的速率飞经地球上空1000 m高度， 向地上的观察者发出持续2×10-6 s 的激光脉冲. 当飞船正好在观察者头顶上垂直于视线飞行时，观察者测得脉冲讯号的持 续时间为多少？ 在每一脉冲期间相对于地球飞了多远？ 8-1 6 221014/1×=cvts , 4200=tvlm. 8-2 1952 年杜宾等人报导，把 + 介子加速到相对于实验室的速度为(1- 5)×10-5 c 时，它在自 身静止的参考系内的平均寿命为 2.5×10-8 s ，它在实验室参考系内的平均寿命为多少？ 通过的平均距离为多少？ 8-2 5105 . 2×=ts , l = 7.5×103 m. 8-3 在惯性系 K 中观测到两事件发生在同一地点，时间先后相差 2 s在另一相对于 K 运动的 惯性系 K中观测到两事件之间的时间间隔为 3 s求 K系相对于 K 系的速度和在其中 测得两事件之间的空间距离. 8-3 cctv=35)(12, ctvl5=. 8-4 在惯性系 K 中观测到两事件同时发生，空间距离相隔 1 m惯性系 K沿两事件联线的方 向相对于 K 运动，在 K系中观测到两事件之间的距离为 3 m求 K系相对于 K 系的 速度和在其中测得两事件之间的时间间隔。 8-4 ccxxv=38)'(12, 81094. 0'×=ts. 8-5 一质点在惯性系 K 中作匀速圆周运动， 轨迹方程为 x2 + y2 = a2, z = 0, 在以速度 V 相对于 K 系沿 x 方向运动的惯性系 K中观测，该质点的轨迹若何？ 8-5 质点的轨迹为一椭圆：1' )/1 ('222222 =+ay acvx. 8-6 斜放的直尺以速度 V 相对于惯性系 K 沿 x 方向运动，它的固有长度为 l0， 在与之共动的 惯性系 K中它与 x轴的夹角为.试证明：对于 K 系的观察者来说，其长度 l 和与 x 轴的夹角分别为 222222 0/1'tantan,sin) 'cos/1( cVcVll =+=. 8-6 )/1'tanarctan(22cv=. 8-7 惯性系 K相对于惯性系 K 以速度 V 沿 x 方向运动，在 K系观测， 一质点的速度矢量2 v在 xy面内与 x轴成角. 试证明：对于 K 系，质点速度与 x 轴的夹角为 'cos''sin/1'tan22vVcVv += 8-7 2/ 'cos'1 'cos' cVvVvvx +=, 222/ 'cos'1 /1'sin' cVvcVvvy =; 'cos'/1'sin'arctan22vVcVv +=. 8-8 一原子核以 0.5c 的速率离开某观察者运动。原子核在它的运动方向上向后发射一光子， 向前发射一电子， 电子相对于核的速度为 0.8c. 对于静止的观察者,电子和光子各具有多大 的速度？ 8-8 cvcve924. 0,=. 8-9 两宇宙飞船相对于某遥远的恒星以 0.8c 的速率朝相反的方向离开。试求两飞船的相对速 度。 8-9 ccvVVvv976. 0/1/)('2=. 8-10 在惯性系 K 中观测两个宇宙飞船，它们正沿直线朝相反的方向运动，轨道平行相距为 d， 如本题图所示。每个飞船的速率皆为 c/2. (1) 当两飞船处于最接近位置(见图中虚线)的时刻，飞船 a 以速率 3c/4 (也是从 K 系测量 的)发射一个小包。问从飞船 a 上的观察者看来，为了让飞船 b 接到这个小包，应以什 么样的角度瞄准？ (2) 在飞船 a 上的观察者观测到小包的速率是多少？ (3) 在飞船 b 上的观察者观测到小包速度沿什么方向？ 速率多少？ 8-10 (1) 对 K 系，小包的速度为 4/5,2/22cvvvcvxyx=; 对 a 船，小包的速度为 5/4)/1/()('2ccVvVvvxxx=, 10/15)1/(/1'22cVvcVvvxyy=, 故 a 船的瞄准角为 °=2 .154'/ 'arctan'yxvv. (2) ccvvvyx888. 0)10/15()5/4('''2222=+=+=. (3) 6/15)/1/(/1“,0)/1/()(“2222ccVvcVvvcVvVvvxyyxxx=+=+=; 即 cvvy)6/15(“,0“=. 8-11 将一个电子从静止加速到 0.1c 的速度需要作多少功？ 从 0.8c 加速到 0.9c 需要作多少 功？ 已知电子的静止质量为 9.11×10-31 kg 8-11 152 02 01 . 011014. 0005. 0)(×=cmcmmAcJ, 3 152 02 8 . 09 . 021097. 6085. 0)(×=cmcmmAccJ = 17A1. 8-12 一粒子的动量是按非相对论计算结果(即 m0v)的二倍，该粒子的速率是多少？ 8-12 由vmcvvmmv022 02/1/=，解得 cv23=. 8-13 火箭静止质量 100 吨，速度为第二宇宙速度，即 11 km/s. 试计算火箭因运动而增加的质 量。此质量占原有质量多大的比例？ 8-13 5 01022 02107 . 6107 . 6/21/×=×=mcvmcEmkg. 8-14 试计算一瓶开水(约 2.5 kg)从 100°C 冷却至 20°C 时它所减少的质量。此质量占原有质 量多大的比例？ 8-14 2000=TmCEkC = 8.4 J , 3 . 9/2=cEmkg. 8-15 一个电子和一个正电子相碰，转化为电磁辐射(这样的过程叫做正负电子湮没)。正、负电 子的质量皆为 9.11×10-31 kg，设恰在湮没前两电子是静止的，求电磁辐射的总能量。 8-15 132 01064. 12×=cmEJ. 8-16 一核弹含 20 kg 的钚，爆炸后生成物的静质量比原来小 104分之一。 (1) 爆炸中释放了多少能量？ (2) 如果爆炸持续了 1s，平均功率多少？ 8-16 (1) 142108 . 1×=mcEJ ; (2) 20108 . 1/×=tEPJ/s . 8-17 在聚变过程中四个氢核转变成一个氦核，同时以各种辐射形式放出能量。氢核质量为 1.0081 原子质量单位，氦核质量为 4.0039 原子质量单位，试计算四氢核融合为一氦核时 所释放的能量.(1 原子质量单位=1.66×10-27 kg) 8-17 1221026. 4)4(×=cmmE eHHJ . 8-18 在实验室系中光子以能量 E 射向静止的靶质子，求此系统质心系的速度。 8-18 2 02cmEcEEpcvc+=8-19 + 介子衰变为+子和中微子：+ 求质心系中+ 子和中微子的能量，已知三粒子的静质量分别为 m 、 m 和 0. 8-19 mcmmE2)(222+= , mcmmE2)(222=. 4 8-20 一质量为 42 原子质量单位的静止粒子衰变为两个碎片， 其一静质量为 20 原子质量单位， 速率为 c/4， 求另一的动量、 能量和静质量. 8-20 1822 111021013. 1 /1×= = cvvmpN.s , 92 12 02 221076. 1×=cmcmcmEJ , 2442 222 2201095. 1/ )(×=cpcEmkg = 11.7 原子单位. 8-21 静止的正负电子对湮没时产生两个光子，若其中一个光子再与一个静止电子相碰，求它 能给予这电子的最大速度. 8-21 v = (3)c / 2 . 8-22 光生 K+ 介子的反应为 + p K+ +0， (1) 求上述反应得以发生时在实验室系(质子静止系)中光子的最小能量; (2) 在飞行中0 衰变为一个质子和一个- 介子. 如果0具有速率 0.8c，则- 介子在 实验室系中可具有的动量最大值为多少？ 垂直于0方向的实验室动量分量的最大 值为多少？ 已知 mK+ = 494 MeV/c2, m0 = 1116 MeV/c2, m- = 140 MeV/c2. 8-22 (1)9172)(22min=+=cmmmmEppK Mev . (2) 8-23 氢原子光谱中的 H谱线波长为 656.1×10-9 m，这是最显著的一条亮红线.在地球上测量 来自太阳盘面赤道两端发射的 H谱线波长相差 9×10-12 m假定此效应是由太阳自转引 起的，求太阳的自转周期 T. 已知太阳的直径是 1.4×109 m . 8-23 610526. 12×= cDTs = 17.66 天 . 8-24 利用多普勒效应可以精确地测量物体的速度，例如，远在 105 km 外人造卫星的速度和位 置变化， 误差不大于 10-1 cm. 如本题图所示， 在地面站和卫星上各装一台固有频率为的 振荡器。试证明： 在卫星速度 v << c 的情况下，地面站将收到的卫星频率和本机频率形成的差拍为 cv/cos'=拍,式中 v cos为卫星的径向速度(见图). 8-24 )/cos1/()cos1/(1'2cv+=Q, )/cos('cv=拍. 8-25 发现某星的光谱线波长为 6.00×103 ， 它比实验室中测得同一光谱线波长增大了 0.10Å 假 定这是由于多普勒效应引起的，此星远离我们而去的退行速度有多大？ 8-25 38 3100 . 5100 . 31000. 610. 0×=×××=cvkm/s .