2024年辽宁省～高三数学上学期期中考试试题

辽宁省20232024高三上学期期中阶段测试数学试卷考试时间120分钟 试题满分150分第卷（选择题）一、单选题本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【分析】先求，再求交集即可.【详解】由题意可知：，故选：D.【点睛】本题考查集合的补运算、交运算，属基础题.2. 若，则p是q的 A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【分析】先根据不等式成立的条件求出x的取值范围，然后根据充分必要条件的判断原则即可选出答案.【详解】解：由题意得：由，所以的定义域为，显然是的真子集，所以p是q的必要而不充分条件.故选：B3. 幂函数f（x）的图象过点，则f（x）的一个单调递减区间是（ ）A. （0，+）B. 0，+）C. （，0D. （，0）【答案】A【分析】设,根据,解出,根据幂函数的单调性可得答案.【详解】设,则,即,所以,所以,所以的递减区间为,故选:A【点睛】本题考查了求幂函数的解析式,考查了幂函数的单调性,属于基础题.4. 欧拉公式（其中为虚数单位，），是由瑞士著名数学家欧拉创立的，公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数的数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，的共轭复数为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【分析】直接计算得到，再计算共轭复数得到答案.【详解】，故.故选：A.5. 已知角终边与单位圆的交点为，则的值为（ ）A. 1B. C. D. 【答案】C【分析】先根据终边上的点求正弦值和余弦值，再根据二倍角正弦和余弦公式计算即可.【详解】角终边与单位圆的交点为,.故选:C.6. 在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，若，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【分析】设向量，根据题意得到和，结合，列出方程组，即可求解.【详解】如图所示，设向量，则，且，所以 由为的中点，可得，又由，可得，因为，可得，解得.故选：D.7. 已知函数，若对任意的正数、，满足，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【分析】分析函数的单调性和奇偶性，可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.【详解】对任意的，所以，函数的定义域为，因为，即函数为奇函数，又因为，且函数在上为增函数，所以，函数在上为增函数，对任意的正数、，满足，则，所以，即，所以，当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为.故选：B.8. 在锐角三角形中，、的对边分别为、，且满足，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【分析】利用余弦定理、正弦定理以及三角恒等变换化简得出，利用为锐角三角形求出角的取值范围，由正弦定理结合三角恒等变换可得出，利用二次函数的基本性质可求得的取值范围.【详解】由余弦定理可得，整理可得，由正弦定理可得，因为、，则，因为正弦函数在上单调递增，所以，所以，则，因为为锐角三角形，则，解得，则，所以，令，则函数在上为增函数，故，故选：D.二、多选题本大题共4小题，每小题5分，甚20分，在每小题的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分9. 、是两条不同的直线，、是两个不重合的平面，下列说法正确的是（ ）A. 、是异面直线，若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】AD【分析】利用线面平行的性质、面面平行的性质可判断A选项；利用线面、面面的位置关系可直接判断BC选项；利用线面平行的性质、面面垂直的判定定理可判断D选项.【详解】对于A选项，在直线上取一点，过点作直线，使得，过直线作平面，使得，如下图所示：因为，则，又因为，则，因为，则，设直线、确定平面，因为，、，所以，同理可证，故，A对；对于B选项，若，则或，B错；对于C选项，若，则、相交（不一定垂直）或平行，C错；对于D选项，因为，则，过直线作平面，使得，如下图所示：因为，则，因为，则，又因为，所以，D对.故选：AD.10. 关于函数，下列说法正确的是（ ）A. 由，可得必是的整数倍B. C. 图像可由向右平移个单位得到D. 在上为增函数【答案】BD【分析】根据题意，结合正弦型函数的图象与性质，结合三角函数的诱导公式和图象变换，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，由，即，解得，则，所以，所以A不正确；对于B中，由函数，所以B正确；对于C中，将函数的图象向右平移个单位，得到，所以C不正确；对于D中，由，可得，所以，根据正弦函数的性质，可得函数在为单调递增函数，所以D正确.故选：BD.11. 九章算术是我国古代数学中的经典，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑在阳马中，侧棱底面，且，点是的中点，连接，以下结论正确的有（ ）A. 平面B. 四面体是鳖臑C. 若阳马的体积为，四面体的体积为，则D. 若四面体的外接球的体积为，则【答案】BC【分析】根据线面平行的判定定理，可判断A选项；由线面垂直的判定定理得平面，平面，可判断B选项；根据锥体体积公式可判断C选项；由题可知四面体外接球的半径为，再由球体的体积公式即可判断.【详解】如图，取中点，连接，因为是的中点，所以，因为底面为长方形，所以，所以，所以四边形为梯形，所以直线与相交，因为平面，所以直线与平面相交，所以A错误；因为底面，所以，因为为长方形，所以，因为,且，所以平面，因为平面，所以，因为，所以，又平面，平面，且，所以平面，所以四面体四个面都是直角三角形，所以四面体是鳖臑，所以B正确；由题意可知是阳马的高，所以，因为是的中点，所以，所以C正确；连接，则与相交与点，连接，则为四面体外接球的球心，所以半径为，若，则，所以，所以四面体的体积，所以D错误. 故选：BC12. 定义在上的函数满足：为奇函数，且，则（ ）A. 的图象关于对称B. 4是的一个周期C. D. 【答案】AD【分析】根据奇函数得到，A正确，计算，B错误，构造，确定函数周期为，且，计算，得到答案.【详解】对选项A：为奇函数，函数图象关于对称，正确；对选项B：， ，即，错误；对选项C：，则，设，故， ，则，故，则，为周期为的周期函数，则，故，错误；对选项D：，正确；故选：AD【点睛】关键点睛：本题考查了函数的性质，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中构造新函数，确定新函数的周期再计算函数值是解题的关系，此技巧需要熟练掌握.第卷（非选择题）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填写在答题纸相应位置上13. 函数的导函数_【答案】【分析】直接求导得到答案.【详解】，.故答案为：14. 已知动点在正方体的对角线（不含端点）上设，若为钝角，则实数的值为_【答案】【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，点，根据，得到，结合，即可求解.【详解】以为坐标原点，以所在的直线分别为和轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设正方体的棱长为1，点，则，所以，因为，可得，可得，所以，即，因为点与点不重合，所以，所以为钝角，等价于，所以，解得，即实数的取值范围为.故答案为：.15. 如图是两个直角三角形板拼成的平面图形，其中，则_【答案】【分析】先根据四点共圆得出同弧对的圆周角相等，再根据正弦定理得出边长，最后应用数量积公式及运算律计算即可.【详解】A,B,C,D四点共圆得出同弧对的圆周角相等,故答案为: .16. 在正三棱锥中，、分别是、的中点，若，则三棱锥的外接球的表面积为_【答案】【分析】取的中点，连接、，推导出、两两垂直，以点为坐标点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，三棱锥的球心为，利用空间中两点间的距离公式可得出关于、的方程组，解出这三个未知数的值，可得出球心的坐标，可求出三棱锥的外接球的半径，再结合球体表面积公式可求得结果.【详解】取的中点，连接、，如下图所示：因三棱锥为正三棱锥，则，为等边三角形，又因为为的中点，所以，因，、平面，所以，平面，因为平面，所以，因为、分别是、的中点，则，因为，即，所以，因为，、平面，所以，平面，因为、平面，所以，因为三棱锥为正三棱锥，则，即、两两垂直，以点为坐标点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、，设球心为，则，可得，解得，所以，三棱锥的外接球半径为，因此，三棱锥的外接球的表面积为.故答案为：.四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17. 已知数列的前项的和为，且，.（1）证明数列是等比数列，并求的通项公式；（2）求数列前项的和.【答案】（1）证明见解析， （2）【分析】（1）利用等比数列的定义可证得结论成立，确定等比数列的首项和公比，可求得数列的通项公式；（2）利用错位相减法可求得.【小问1详解】解：因为数列满足，则，且，所以，数列是首项和公比均为的等比数列，则，故.【小问2详解】解：，则，得，所以，.18. 在中，角、的对边分别为、，且，（1）求角的大小；（2）若，求的值.【答案】（1） （2）【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值；（2）利用余弦定理求出的值，再利用正弦定理可求得的值.【小问1详解】解：因为，由正弦定理可得，所以，因为、，所以，则，故.【小问2详解】解：因为，由余弦定理可得，则，由正弦定理可得，所以，.19. 某职称考试有A，B两门课程，每年每门课程均分别有一次考试机会，若某门课程上一年通过，则下一年不再参加该科考试，只要在连续两年内两门课程均通过就能获得该职称.某考生准备今年两门课程全部参加考试，预测每门课程今年通过的概率均为；若两门均没有通过，则明年每门课程通过的概率均为；若只有一门没过，则明年这门课程通过的概率为（1）求该考生两年内可获得该职称的概率；（2）设该考生两年内参加考试的次数为随机变量X，求X的分布列与数学期望.【答案】（1） （2）答案见解析【分析】（1）设该考生两年内可获得该职称的事件为，计算概率得到答案.（2）的可能取值为，计算概率得到分布列，再计算数学期望即可.【小问1详解】设该考生两年内可获得该职称的事件为，；【小问2详解】的可能取值为，.