分类加法计数原理与分布乘法计数原理
十二 考点1 分类加法计数原理与分布乘法计数原理1.有5名海外游客来上海参观2010年世博会，在可供选择的3家旅馆投宿，问有多少种不同的投宿方法？【解】完成这件事，可分成5个步骤：第1步安排游客A，有3种投宿方法；同理，第2步，安排游客B，第3步，第4步，第5步都各有3种方法.根据乘法原理，5名游客在3家旅馆投宿的方法有N=3×3×3×3×3=243（种）.2. (1)用0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，这10个数字可以组成多少个四位数？ (2)用0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，这10个数字可以组成多少个没有重复数字的四位数？【解】（1）根据题意，0不能放在千位，那么完成这件事可分成4个步骤：第1步为千位上的数字，有9种方法，第2步为百位上的数字，有10种方法；第3步为十位上的数字，有10种方法；第4步为个位上的数字，有10种方法.根据乘法原理，可组成N=9×10×10×10=9000个四位数.（2）根据题意，0不能放在千位，四位数是不能重复的，那么完成这件事可分成4个步骤：第1步为千位上的数字，有9种方法，第2步为百位上的数字，有9种方法；第3步为十位上的数字，有8种方法；第4步为个位上的数字，有7种方法. 根据乘法原理，共可组成N=9×9×8×7=4536个四位数.3.540的不同正约数有多少个？正约数中是偶数的有多少个？【解】将540进行因式分解，得540=，于是，可知540的任一正约数的形式为，其中求540的不同正约数可分成3个步骤来完成：第1步确定约数a的值，即a=0,1,2，有3种方法；第2步确定约数b的值，即b=0,1,2，3，有4种方法；第3步确定约数c的值，即c=0,1，有2种方法, 根据乘法原理，可得540的不同正约数的个数为N=3×4×2=24（个）.若正约数是偶数，则即确定约数时，2必须出现，所以偶约数共有N=2×4×2=16（个）. 4.如图所示，用5种不同的颜色为广告牌着色，每个矩形只能涂1种颜色，并且相邻的矩形不能涂同一颜色，则不同的涂法有多少种？ABCD【解】分4个步骤来完成涂色这件事，涂A有5种着色方法，涂B有4种着色方法，涂C有3种着色方法，涂D有4种着色方法，（还可以使用A,B的颜色），根据乘法原理，共有N=5×4×3×4=240种涂色方法.5.从中，任取3个不同的数作为抛物线方程的系数，使抛物线过原点，且顶点在第一象限，这样的抛物线有多少条？【解】由抛物线过原点，得c=0，顶点在第一象限，得a<0,b>0,分3步，a=-3，-2，-1; b=1,2,3;c=0，所以N=3×3×1=9(条).6.设复数，若，则可组成_个不同的虚数z.【答案】90【分析】先确定虚数z的虚部，在1,2，9中任选一个数字，有9种选法，再确定虚数z的实部，在0,1,2，9中任选一个数字，有10种选法，根据乘法原理，可以组成9×10个不同的虚数z.7.用0,1,2,3,4这5个数字可以组成_个没有重复数字的三位偶数.【答案】30【分析】要得到一个三位偶数，末位必须是0, 2, 4,中的任一个数字.分类讨论：(1)如果末位是0，则前两位可以是从1,2,3,4这4个数字中任取2个数字的排列，共有=12个，(2)如果末位是2或4，那么首位是从除了0以及2或4剩下的3个数字中任选一个，共有3种取法，中间位置是从0,1,2,3,4这5个数字在去掉已选的首、末位后的数字中任取一个，共有3种选法，所以共有2×3×3=18个，综上，满足条件的三位偶数共有12+18=30个.8.2010年上海世博会园区的交通非常发达，园区有13个出入口，浦东5个，浦西3个，黄浦江沿岸水上入口4个，还有1个轨道交通出入口，小海从一个门进去，一个门出来，共有（ ）个不同的进出方法. A. 169种 B. 156种 C. 78种 D. 13种【答案】A【分析】一共有13个门，从一个门进去，一个门出来，可以是同一个门，也可以是不同的门，所以共有13×13=169种进出方法，所以选A.9.用0,1,2,3,4中不同的数，作为方程Ax+By=0的系数A,B，则可得（ ）条不同的直线. A. 20 B. 9 C. 12 D. 18【答案】C【分析】(1)设方程Ax+By=0的系数中没有零，则完成这件事，分两个步骤，第一步安排x的系数，有4种方法，第二步安排y的系数，有3种方法；所以共有4×3=12种方法.其中必须去掉相同的直线，如x+2y=0和2x+4y=0；2x+y=0和4x+2y=0；（2）设方程Ax+By=0的系数中有零，则共有两种情况：A=0， B=0.综上，共有12-2+2=12条.10.将4个不同的小球放入3个不同的盒子，其中每个盒子都不空的放法共有（ ）. A.种 B.种 C. 18种 D. 36种 【答案】 D【分析】4个球放入三个盒子，且每个盒子不空，则必须有一个盒子放2个球，另两个盒子各放1个球，所以共有=36种放法，选D.11.5位同学参加数学、物理、化学3项竞赛，争夺各项第一，如果没有并列第一名，则可能有多少种不同的结果？【解】设可能有N种结果，数学第一名可以是5个同学中的任意一名，共有5种选法，同理，物理、化学、也是5个同学中的任意一名，都分别有5种选法，根据乘法原理，得：N=5×5×5=125种.12.如图所示，用5种不同的颜色给图中的A,B,C,D四个矩形区域涂色，如果每个矩形区域只能涂1种颜色，相邻区域涂不同的颜色，共有多少种不同的涂色方法？ABCD【解】完成涂色这件事，分4个步骤：第一步，涂A有5种着色方法，第二步，涂B有4种着色方法，第三步，涂C有3种着色方法，第四步，涂D有3种着色方法，（还可以使用A的颜色），根据乘法原理，共有N=5×4×3×3=180种涂色方法.13.用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（ ）. A. 324 B. 328 C. 360 D. 648【答案】B【分析】首先考虑“0”是特殊元素，当0排在末位时，有个，当0不排在末位时，有个，于是，由加法原理得符合题意的偶数共有72+256=328个，故选B.14.把一个正方体的表面用黑白两色来涂，每面有且只有一种颜色，共有多少种不同的涂法？【解】考虑涂上黑色面数的情况：无黑色表面只有1种，只有1面黑色有1种，有2面黑色有2种，有3面黑色有2种（3黑面共点或3黑面有两个面相对），有4面黑色有2种（相当于2面白色），有5面黑色有1种（相当于1面白色），6面都是黑色有1种，因此，共有1+1+2+2+2+1+1=10(种)不同涂色方法.15.由数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的数：(1)能组成多少个三位数？(2)能组成多少个正整数?(3)能组成多少个四位奇数？【解】(1)因为百位数字不能是0，所以百位数字的选法有种，十位和个位上的数字的选法有种，所以共可组成个三位数.(2)组成的正整数可以是一位、二位、三位、四位、五位、六位、七位数，所以共可组成个正整数；(3)因为个位数字只能是1,3,5，千位数字不能是0，所以先考虑个位数字，有种不同的选法，再考虑千位数字有种不同的选法，其余两个位置有种不同的选法，所以能组成个四位奇数.16.如图所示，从一个3×4的方格中的一个顶点A走到顶点B的最短路线有几条？ B A【解】要确定第1,2,7步中哪几步是横向的，哪几步是纵向的，实际上只要确定哪几步是横向走即可，由于每一条从A到B的最短路线对应着从第1,2,7步中取出4步（横走向）的一个组合，或等价从第1,2,7步中取出3步，（纵走向）的一个组合，因此，从A到B的最短路线共有（条）.17.从8名男生和4名女生中挑选4人为2010上海世博志愿者. (1)至少有2名女生的选法有多少种？ (2)既有男生又有女生的选法有多少种？【解】(1)由题意，有以下3种情况：两男两女共有种方法；三女一男，共有种方法；四女，共有种方法.根据加法原理，共有种；(2)用排除法，从12人中任选取4人，有种方法，没有男生，共有种方法，没有女生，共有种方法，所以共有-=424种.18. 从甲、乙等五人中任选三人排成一排，则甲不在排头、乙不在排尾的概率为_.【考点】计数原理的应用. 【答案】【分析】从甲、乙等五人中任选三人排成一排，故有=60种，甲不在排头、乙不在排尾，可以分4类，有甲有乙时，若甲在排尾，则有=6种，若甲在中间，则有=3种，故有6+3=9种，有甲无乙时，有=12种,无甲有乙时，有=12种,无甲无乙时，有=6种，根据分类计数原理共有9+12+12+6=39种,甲不在排头、乙不在排尾的概率为P=.
