算法设计与分析考试题及答案

一、填空题（20分）1.一种算法就是一种有穷规则的集合，其中之规则规定理解决某一特殊类型问题的一系列运算，此外，算法还应具有如下五个重要特性:拟定性 有穷性 可行性 0个或多种输入 一种或多种输出2.算法的复杂性有时间复杂性 空间复杂性之分，衡量一种算法好坏的原则是 时间复杂度高下 3.某一问题可用动态规划算法求解的明显特性是 该问题具有最优子构造性质 4.若序列X=B,C,A,D,B,C,D，Y=A,C,B,A,B,D,C,D，请给出序列X和Y的一种最长公共子序列BABCD或CABCD或CADCD 5.用回溯法解问题时，应明拟定义问题的解空间，问题的解空间至少应涉及一种（最优）解 6.动态规划算法的基本思想是将待求解问题分解成若干_子问题 ，先求解_子问题 ，然后从这些子问题 的解得到原问题的解。7.以深度优先方式系统搜索问题解的算法称为回溯法 8.0-1背包问题的回溯算法所需的计算时间为o(n*2n) ,用动态规划算法所需的计算时间为o(minnc,2n)9.动态规划算法的两个基本要素是最优子构造 _和重叠子问题10.二分搜索算法是运用动态规划法实现的算法。二、综合题（50分）1.写出设计动态规划算法的重要环节。问题具有最优子构造性质；构造最优值的递归关系体现式； 最优值的算法描述；构造最优解；2. 流水作业调度问题的johnson算法的思想。 令N1=i|ai<bi，N2=i|ai>=bi；将N1中作业按ai的非减序排序得到N1，将N2中作业按bi的非增序排序得到N2；N1中作业接N2中作业就构成了满足Johnson法则的最优调度。3. 若n=4，在机器M1和M2上加工作业i所需的时间分别为ai和bi，且(a1,a2,a3,a4)=(4,5,12,10)，(b1,b2,b3,b4)=(8,2,15,9)求4个作业的最优调度方案，并计算最优值。环节为：N1=1，3，N2=2，4；N1=1，3， N2=4，2；最优值为：384. 使用回溯法解0/1背包问题：n=3，C=9，V=6,10,3，W=3,4,4,其解空间有长度为3的0-1向量构成，规定用一棵完全二叉树表达其解空间（从根出发，左1右0），并画出其解空间树，计算其最优值及最优解。解空间为(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,0,0),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)。解空间树为：该问题的最优值为：16 最优解为：（1，1，0）5. 设S=X1，X2，···，Xn是严格递增的有序集，运用二叉树的结点来存储S中的元素，在表达S的二叉搜索树中搜索一种元素X，返回的成果有两种情形，（1）在二叉搜索树的内结点中找到X=Xi，其概率为bi。（2）在二叉搜索树的叶结点中拟定X（Xi，Xi+1），其概率为ai。在表达S的二叉搜索树T中，设存储元素Xi的结点深度为Ci；叶结点（Xi，Xi+1）的结点深度为di，则二叉搜索树T的平均路长p为多少？假设二叉搜索树Tij=Xi，Xi+1，···，Xj最优值为mij，Wij= ai-1+bi+···+bj+aj，则mij(1<=i<=j<=n)递归关系体现式为什么？.二叉树T的平均路长P=+ mij=Wij+minmik+mk+1j (1<=i<=j<=n,mii-1=0)mij=0 (i>j)6. 描述0-1背包问题。已知一种背包的容量为C，有n件物品，物品i的重量为Wi，价值为Vi，求应如何选择装入背包中的物品，使得装入背包中物品的总价值最大。三、简答题（30分）1.流水作业调度中，已知有n个作业，机器M1和M2上加工作业i所需的时间分别为ai和bi，请写出流水作业调度问题的johnson法则中对ai和bi的排序算法。（函数名可写为sort(s,n)）void sort(flowjope s,int n) int i,k,j,l; for(i=1;i<=n-1;i+)/-选择排序 k=i; while(k<=n&&sk.tag!=0) k+; if(k>n) break;/-没有ai，跳出 else for(j=k+1;j<=n;j+) if(sj.tag=0) if(sk.a>sj.a) k=j; swap(si.index,sk.index); swap(si.tag,sk.tag); l=i;/-记下目前第一种bi的下标 for(i=l;i<=n-1;i+) k=i; for(j=k+1;j<=n;j+) if(sk.b<sj.b) k=j; swap(si.index,sk.index); /-只移动index和tag swap(si.tag,sk.tag); 2.最优二叉搜索树问题的动态规划算法（设函数名binarysearchtree)）void binarysearchtree(int a,int b,int n,int *m,int *s,int *w) int i,j,k,t,l; for(i=1;i<=n+1;i+) wii-1=ai-1; mii-1=0; for(l=0;l<=n-1;l+)/-l是下标j-i的差for(i=1;i<=n-l;i+) j=i+l;wij=wij-1+aj+bj;mij=mii-1+mi+1j+wij;sij=i;for(k=i+1;k<=j;k+) t=mik-1+mk+1j+wij;if(t<mij) mij=t;sij=k;一、 填空题（本题15分，每题1分）1、 算法就是一组有穷的规则 ，它们规定理解决某一特定类型问题的 一系列运算。2、在进行问题的计算复杂性分析之前，一方面必须建立求解问题所用的计算模型。3个基本计算模型是随机存取机RAM；随机存取存储程序机RASP；图灵机(Turing Machine)3、算法的复杂性是算法效率的度量，是评价算法优劣的重要根据。4、计算机的资源最重要的是时间和空间资源。因而算法的复杂性有时间复杂度和空间复杂度之分。5、f(n)= 6×2n+n2，f(n)的渐进性态f(n)= O(2n )6、贪心算法总是做出在目前看来最佳 的选择。也就是说贪心算法并不从整体最优考虑，它所做出的选择只是在某种意义上的局部最优选择7、许多可以用贪心算法求解的问题一般具有2个重要的性质： 贪心选择 性质和 最优子构造性质。二、简答题（本题25分，每题5分）1、 简朴描述分治法的基本思想。分治法的基本思想是将一种规模为n的问题分解为k个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题相似；对这k个子问题分别求解。如果子问题的规模仍然不够小，则再划分为k个子问题，如此递归的进行下去，直到问题规模足够小，很容易求出其解为止；将求出的小规模的问题的解合并为一种更大规模的问题的解，自底向上逐渐求出本来问题的解。2、 简述动态规划措施所运用的最优化原理。“最优化原理”用数学化的语言来描述：假设为理解决某一优化问题，需要依次作出n个决策D1，D2，Dn，如若这个决策序列是最优的，对于任何一种整数k，1 < k < n，不管前面k个决策是如何的，后来的最优决策只取决于由前面决策所拟定的目前状态，即后来的决策Dk+1，Dk+2，Dn也是最优的。3、 何谓最优子构造性质？某个问题的最优解涉及着其子问题的最优解。这种性质称为最优子构造性质。4、 简朴描述回溯法基本思想。回溯法的基本思想是在一棵具有问题所有也许解的状态空间树上进行深度优先搜索，解为叶子结点。搜索过程中，每达到一种结点时，则判断该结点为根的子树与否具有问题的解，如果可以拟定该子树中不具有问题的解，则放弃对该子树的搜索，退回到上层父结点，继续下一步深度优先搜索过程。在回溯法中，并不是先构造出整棵状态空间树，再进行搜索，而是在搜索过程，逐渐构造出状态空间树，即边搜索，边构造。5、 何谓P、NP、NPC问题P(Polynomial问题)：也即是多项式复杂限度的问题。NP就是Non-deterministic Polynomial的问题，也即是多项式复杂限度的非拟定性问题。NPC(NP Complete)问题，这种问题只有把解域里面的所有也许都穷举了之后才干得出答案，这样的问题是NP里面最难的问题，这种问题就是NPC问题。三、算法填空（本题20分，每题5分）1、n后问题回溯算法(1)用二维数组ANN存储皇后位置,若第i行第j列放有皇后,则Aij为非0值,否则值为0。(2)分别用一维数组MN、L2*N-1、R2*N-1表达竖列、左斜线、右斜线与否放有棋子，有则值为1,否则值为0。for(j=0;j<N;j+) if( 1 ) /*安全检查*/ Aij=i+1; /*放皇后*/ 2 ； if(i=N-1) 输出成果； else 3 ；; /*试探下一行*/ 4 ； /*去皇后*/ 5 ；; (1) !Mj&&!Li+j&&!Ri-j+N(2) Mj=Li+j=Ri-j+N=1;(3) try(i+1,M,L,R,A) (4) Aij=0 (5) Mj=Li+j=Ri-j+N=02、数塔问题。有形如下图所示的数塔，从顶部出发，在每一结点可以选择向左走或是向右走，一起走究竟层，规定找出一条途径，使途径上的值最大。for(r=n-2;r>=0;r-) /自底向上递归计算for(c=0; 1 ;c+) if( tr+1c>tr+1c+1) 2 ；else 3 ；（1）c<=r(2)trc+=tr+1c（3）trc+=tr+1c+13、Hanoi算法Hanoi(n,a,b,c)if （n=1） 1 ；else 2 ； 3 ；Hanoi(n-1,b, a, c);（1）move(a,c)（2）Hanoi(n-1, a, c , b)（3）Move(a,c)4、Dijkstra算法求单源最短途径du:s到u的距离 pu:记录前一节点信息Init-single-source(G,s)for each vertex vVG do dv=