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鹏博教育高一数学必修一知识点整理总结鹏博教育数学必修1常用公式及结论 一、集合 1、含义与表示:(1)集合中元素的特征:确定性，互异性，无序性 (2)集合的分类;有限集，无限集 (3)集合的表示法:列举法，描述法，图示法 2、集合间的关系: AB, 子集:对任意，都有 ，则称A是B的子集。记作 xA,xB,真子集:若A是B的子集，且在B中至少存在一个元素不属于A，则A是B的真子集，记作AB, ,ABBA,且 集合相等:若:,则AB, 3、元素与集合的关系:属于 ;不属于: ;空集: ,4、集合的运算: AB交集:定义:由集合A和集合B中的公共元素组成的集合叫交集，记为 性质:，AAAAABBAABAABBABABA,AB并集:定义:由属于集合A或属于集合B的元素组成的集合叫并集，记为 性质:，AAAAAABBAABAABBABABB, CardABCardACardBCardAB()()()-(),，, 补集:定义:在全集U中，由所有不属于集合A的元素组成的集合叫补集，记为CAU 性质:，()()()()()()CAACAAUCCAACABCACB,UUUUUUU CABCACB()()(),UUUnnn2225(集合的子集个数共有 个;真子集有1个;非空子集有 1个; ,aaa12n*6.常用数集:自然数集:N 正整数集: 整数集:Z 有理数集:Q 实数集:R N二、函数 1、映射定义:设，是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系，使对于集合中的任意一个元素，在ABAx集合中都有唯一确定的元素与之对应，那么就称对应:为从集合到集合的一个映射。ByfABAB, ,传统定义:如果在某变化中有两个变量并且对于在某个范围内的每一个确定的值，xyx,定义 按照某个对应关系都有唯一确定的值和它对应。那么就是的函数。记作fyyxyfx,().,近代定义:函数是从一个数集到另一个数集的映射。,函数及其表示、2素:定义域;值域;对应法则要三的数函,数的表示方法:解析法;列表法;图象法函, 3、函数的单调性 定义:对于定义域为D的函数f ( x )，若任意的x, x?D，且x< x 121 2? f ( x) < f ( x ) <=> f ( x) f ( x) < 0 <=> f ( x )在D上是增函数，D是f ( x )的递增区间; 1 2 1 2 ? f ( x) > f ( x ) <=> f ( x) f ( x) > 0 <=> f ( x )在D上是减函数，D是f ( x )的递减区间。 1 2 1 2 复合函数的单调性:同增异减 结论:?若均为某区间上的增(减)函数，则在这个区间上也为增(减)函数 fxgx(),()fxgx()()，?若为增(减)函数，则为减(增)函数 fx(),fx(),奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反。 4、函数的最值 最大值:设函数的定义域为，如果存在实数满足:yfxIM,()()1();2()()对于任意的xIfxMxIfxMMyfx,都有()存在,使得.则称是函数的最大值00 最小值:设函数的定义域为，如果存在实数满足:yfxIN,()()1,()2()()对于任意的都有xIfxNxIfxNNyfx,;()存在,使得.则称是函数的最小值00 5、函数的奇偶性 定义: 奇函数 <=> f ( x ) = f ( x ) ，偶函数 <=> f (x ) = f ( x )(注意:定义域关于原点对称) 性质:(1)奇函数的图象关于原点成中心对称图形; (2)偶函数的图象关于y轴成轴对称图形; (3)如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数; (4)如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数( 结论:若函数是偶函数，则; y,f(x)f(x，a),f(,x,a)若函数是偶函数，则，即函数的对称轴是; y,f(x，a)y,f(x)f(x，a),f(,x，a)xa,a，b 推广:对于函数(),恒成立,则函数的对称轴是; f(x)y,f(x)x,Rf(x，a),f(b,x)x,2a，b 两个函数与 的图象关于直线对称. y,f(x，a)y,f(b,x)x,2fxafxa，,， 若函数是奇函数，则; y,f(x)fxafxa，,，yfx,a,0 若函数是奇函数，则,即函数对称中心是; y,f(x，a)，ab，,0fxafbx，, 推广:对于函数(),恒成立,则函数的对称中心是。 y,f(x)f(x)x,R，,2,6、周期性:在函数的定义域上恒有的常数则叫做周期函数，为周期;fxfxTfxTfxT()()()(0)()，,Tfx的最小正值叫做的最小正周期，简称周期。() 1若即或的周期fxafxfxafxfxafxfxTa，,，,，,00,2，fx， 7、函数图像的画法 (1) 列表、描点、连线; (2) 变换法 平移变换:若将函数的图象向右平移、向上平移个单位,得到函数的图象; y,f(x)y,f(x,a)，bab即:左加右减，上加下减。 横坐标变换:把各点的横坐标缩短x(当时,101)或伸长(当时)伸缩变换: 到原来的倍(纵坐标不变)，即得1/(),yfx, 纵坐标变换:把各点的纵坐标伸长y(AAA,1)01)或缩短(到原来的倍 , (横坐标不变),即得yAfx,() 对称变换:函数yfx,()与函数的图象关于直线(即轴)对称; yfx,()yx,0函数yfx,()与函数yfx,()的图象关于直线y,0(即轴)对称; xyfx,00， 函数yfx,()与函数的图象关于原点对称. ，ab， 函数与函数的图象关于直线对称; yfxa,()yfbx,()x,2,1 函数和的图象关于直线对称; y,f(x)y,f(x)yx,yfxyfx,与 绝对值变换有两种: ，yfxyfx,， 由步骤:? 留住x轴上方的图象;? 将x轴下方的图象沿x轴对称上去 ?去掉x轴下方的图象 yfxyfx,， 由 步骤:? 留住y轴右侧的图象;? 去掉y轴左侧的图象; ? 将y轴右侧的图象沿y轴对称到y轴左侧。 2a,0三、二次函数y = ax +bx + c()的性质 22,4acbb,bacb4,x,1、顶点坐标公式:，对称轴:，最大(小)值: ,4a2a24aa,2、二次函数的解析式的三种形式 2 (1)一般式; fxaxbxca()(0),，,2 (2)顶点式; fxaxhka()()(0),，,(3)两根式. fxaxxxxa()()()(0),12四、指数与指数函数 1、幂的运算法则: mnm,nm nm + nm n m n nnna,a,a (1)a a = a ， (2)， (3)( a ) = a (4)( ab ) = a b nnnn,aa11,nmn0,mm (5) = 1 ( a?0) (7) (8) ,(6)a (9)a,a,aa, nnmnbba,a 2、根式的性质 nn (1). ()aa,aa,0,nnnn (2)当为奇数时，; 当为偶数时，. aa,nnaa,|,aa,0,x3、 指数函数定义:一般地把函数且叫做指数函数。yaaa,(01)x4、指数函数y = a (a > 0且a?1)的性质:(见表1) b5.指数式与对数式的互化: (0,1,0)aaN,. logNbaN,a五、对数与对数函数 1、对数的运算法则: b(1)a = N <=> b = log N (2)log 1 = 0 (3)log a = 1 aaalogNb a (4)log a = b (5)a = N (6)log (MN) = log M + log N aaaalogNMbb(7)log () = log M -log N (8)log N = b log N (9)换底公式:log N = aaaaaalogaNbnn(10)推论 (,且,且,). loglogmn,0,bb,a,0a,1m,1n,1 N,0maam1(11)log N = (12)常用对数:lg N = log N (13)自然对数:ln A = log A (其中 e = 2.71828) a10elogaN2、对数函数y = log x (a > 0且a?1)的性质:(见表一) a 六、幂函数 ,定义:一般地，函数叫做幂函数，是自变量，是常数。yxx, 性质:(见表二) x表1 yxaa,log0,1yaaa,0,1， 对数数函数指数函数 a定义x,，,0, xR, ，域 yR,y,，,0, 值域 ，图象 过定点 过定点 (0,1) (1,0)性质 减函数 增函数 减函数 增函数 xy,，,(,0)(1,)时，xy,，,(0,1)(0,)时，xy,(0,1)(,0)时，xy,(,0)(0,1)时， xy,，,，,(0,)(1,)时，xy,，,，,(1,)(0,)时，xy,，,(0,)(0,1)时，xy,，,(1,)(,0)时，ab, ab,ab,ab,表2 幂函数 yxR,(),p , ,001,1,1qp为奇数 奇函数 q为奇数p为奇数 q为偶数p为偶数 偶函数 q为奇数第一象限11，过定点 减函数 增函数 ，性质 八. 平均增长率的问题 x如果原来产值的基础数为N，平均增长率为，则对于时间的总产值，有. pyyNp,，(1)x156.46.10总复习4 P84-90九. 函数的零点: yfx,()fx()0,yfx,()yfx,()1.定义:对于，把使的X叫的零点。即的图象与X轴相交时交点的横坐标。 一年级有学生 人，通过师生一学期的共同努力，绝大部分部分上课能够专心听讲，积极思考并回答老师提出的问题，下课能够按要求完成作业，具有一定基础的学习习惯，但是也有一部分学生的学习习惯较差，学生上课纪律松懈，精力不集中，思想经常开小差，喜欢随意讲话，作业不能及时完成，经常拖拉作业，以致学习成绩较差，还需要在新学期里多和家长取得联系，共同做好这部分学生行为习惯的培养工作。yfx,()ab,2.函数零点存在性定理:如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并有,（3）圆内接四边形：若四边形的四个顶点都在同一个圆上,这个四边形叫做圆内接四边形.fafb()()0,yfx,()ab,cab,fc()0,，那么在区间内有零点，即存在，使得，这个C就是零点。 ，4.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。3.二分法求函数零点的步骤:(给定精确度) ,d>r <=> 直线L和O相离.ab,fafb()()0, (1) 确定区间，验证; ,ab，ab,x, (2) 求的中点 ，12六、教学措施：xax, (3) 计算，则就是零点;?若，则零点 ?若fx()fx()0,xfafx()()0,，011111 一、指导思想：xxb, ?若，则零点;