工科高数1练习题参考解答
高数练习题参考解答第一章（共29小题）习题1.1， P22（共7小题）11.（1），（2），（4），（5），（6），（8）；13因为，应用夹逼准则。习题1.2 ，P49（共15小题）9.（1），（2），（3），（7），（8），（9）因为有界，所以，（10）因为有界，所以10.（1），（3）令，。，（5），（6），（7）；11.（1），所以极限不存在。；14.（1），（4）习题1.3 ，P62（共7小题）5.（1），间断点为，。所以，为无穷间断点，为可去间断点。（5），。所以，间断点为跳跃断点。（7）所以，间断点为可去间断点。7.（1），所以，函数连续。8.（1），（2）；9. 证明：设，则该函数在中连续。，所以由零点存在性定理，存在，使得。即在中至少有一个实根。第二章（共38小题）习题2.1 ，P88（共14小题）3；7为偶函数，存在，求证。证明：因为，所以。9，。切线方程法线方程；10，。切线方程；13.（2），（4），（6），（7），（10）；14.（2），（4）；15.（1），（3）；17（1）习题2.2 ，P96（共7小题，填空题记为1题）2略；3.（1），（2）；5.（1）；6. （1）令，（2）令，；7解：球的体积为，当半径的改变量很小的时候，体积的改变量的近似值为，所以镀铜的体积近似为，所需铜的质量为。习题2.3 ，P105（共2小题）2解：；6.（1）习题2.4 ，P118（共6小题）3解：因为；所以由罗尔定理，=0有且仅有3个根（因为它是三次方程），分别位于区间中。13.（1）令，在（或者）上用拉格朗日定理，得到，介于与之间。（2）令，当时，有单调递增。17.（1），（2），（6）习题2.6 ，P142（共9小题）2.（3）令，当时，函数单调下降。所以，当时，有。；4.（3），当时，函数单减，当时，函数单增，所以，为极小值点，为极小值。6.（2），导数不存在。，。最小值为，最大值为。；8设剪去的小正方形边长为，则纸盒的容积为，令，得，最大容积为。16.（1），。当时，函数凸，时，函数凹，时，函数凸。（3），。当时，函数凸，时，函数凹。；17确定，使有一拐点，且在处有极大值。解：有一拐点；在处有极大值1；18.（1），无水平渐近线，垂直渐近线为，倾斜渐近线为（2），水平渐近线为，垂直渐近线为，无倾斜渐近线。第三章（共51小题）习题3.1 ，P172（共26小题，填空题记为1题）2（略）；3.（1） (5) (10) (13) (16) (18) 7（略）；10. (1) (4) (6) (9) (12) (14) (19) (23) (29) 12.（1）令(8) 令13. (2) (7) (11) (15) 15.（1），（6） 16.（2）习题3.2 ，P181（共3小题）3. （1），；解：因为当时，所以由定积分的单调性，得：；（2），；解：因为当时，所以由定积分的单调性，得：5. 利用积分中值定理证明.证明：因为在上连续，所以由积分中值定理，至少存在一点，使得，又当时，所以=0习题3.3 ，P192（共11小题）1.（2）解： 2.(1):该极限为，由洛必达法则，有：原式=3. 设 （1）问当取何值时，在点连续?（2）求.解：（1）因为（洛必达法则）要使f(x)在x=0点连续，必须，所以a=2.(2)由导数的定义，得： = =(洛必达法则)5.（1）=，（5）=arcsin=（9）+（）|=1（11）+=+=+=6.(3)设t=,则u=t,du=2tdt,当u=0时，t=0,当u=4时，t=2， =2=2(t-ln(1+t)|=4-2ln3(9)设x=sect,则,=tant,x=1时，t=0,x=2时,t=,=(10)设x=sint,则dx=costdt,当x=-时，t=-，x=时，t=，=0 解法二：因为被积函数x为奇函数，所以=07.（7）；解： 习题3.4 ，P205（共6小题）1. 求下列各曲线所围成的平面图形的面积：（1）与直线；解：如图，所围图形的面积为=（）|=。（2），轴与直线，这里；解：如图，选为自变量，则曲线即所求面积为：（4）与；解：如图，先求两曲线的交点： ，解得所求面积为3. 求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积：（1）及；解：如图，两曲线交点为：所求公共部分图形面积为：由于被积函数为偶函数，得：4. 计算下列曲线的弧长：（1）计算曲线上相应于的一段弧的长度；解：如图，由得代入弧长公式，得弧长为6. 求下列已知曲线所围成的图形，按指定的旋转轴所产生的旋转体的体积。（1），绕轴；解：如图，所求旋转体为上半椭圆绕轴旋转所得立体减去下半椭圆绕轴旋转所得立体.故所求旋转体体积为：与上题类似，为半圆面积.所以7. 求下列曲线绕指定轴旋转所成旋转体的侧面积：（1），绕轴解：如图，由对称性，只要求出第一象限部分即可，此时由侧面积公式，所求侧面积为:习题3.5 ，P213（共4小题）1.（1）；解：=。（3）；解：=，所以广义积分发散。（9）；解：=。（10）；解：因为点是奇点，所以=，而积分=+，所以原广义积分发散。复习题三，P214（共1小题，填空题记为1个小题）1. （2）；（3）；（4）；（5）；（6）设是的一个原函数，常数，则有；（11）；（12）；（13）1；（14）设为连续函数，且，则。13
