第二章群练习附答案

第二章群（练习附答案）1.设R是实数集，则对任意的a,b e R ,代数运算a b = a + b2 ( C )(A) 适合结合律但不适合交换律(C)不适合结合律和交换律(B) 适合交换律但不适合结合律(D)适合结合律和交换律(B ) a b = (B)a9.设M是实数集，oD )b = ab(C) a b = a + b 一 2代数运算是普通加法，下列映射是oO10.x T x2(B)x T sin x(C) x T |x|(D)在偶数阶群G中阶等于2的元数为(A奇数(B)偶数(C) 1(D) a b = ab 一 2M的自同构的是O(D)不可确定2.在群G中，a e G, a的阶为12,则a8的阶为( B ) 12(B) 3(C) 4(D) 63在7次对称群S中兀=(25)(437)和九=(13)(546),则曲 等于( A )7(A) (1376524)(B) (137)(6524)(C) (65)(24137)(D) (1746253)7.在群G中，a, b e G,则方程ax = b和ya = b分别有唯一解为(B ) ba -1, a-ib (B) a-1b , ba -1(C) b-1 a , a-1b(D) a-1b ,ab-18.设M是正整数集,则对任意的a, b e R ,下面“o”是代数运算的是11.12.(14)(25)(B) (124)(C) (152)(D)(142)若群G的阶为48, G的真子群H的阶不可能为12(B) 16(C) 18(D)24在5次对称群S中元兀=(15)(24)和兀=(154)的乘积兀兀是(D )512一13群G中元a的阶为24中，那么G的循环子群(a9)的阶为( C )(A)3(B) 4(C) 8(D) 921. A = 所有整数冷：a T即当a是偶数；a T导当a是奇数则T为22(C)24.G与模n的剩余类加群同构(B) G的阶可能无限元 a -2, a-i, a 0, a 1,an-2中没有相同元(D) G与整数加群同构设Q是有理数集,则对任意的a,b e Q,下列“o”是代数运算的是(a b = b：a + 2b2(C) a b = a 2 一 ab + b 2(D)a b = i0a+bo25.在群G中,o(A) abca-ib-iOoa, b, c e G,则方程 xaxba =xbc 的唯一解为( bca-ia-ib-i(C) a-ib-ia-ibc(D)a-ibca-ib-126.在6次对称群S中兀=6'i23456、,3265i4 丿的阶是(A(B) 24(C) 12(D) 6(A)单射变换(B)满射变换(C) 一一变换(D)不是变换 若G = (a),且a的阶为有限整数n,则下列说法正确的是(A31.(C)适合结合律但不适合交换律不适合结合律和交换律(B)适合交换律但不适合结合律(D)适合结合律和交换律32.设Q是有理数集，则对任意的a,b e Q，下列“o”是代数运算的是(A )a b = a + b2(B) a b = (C) a b = b Ja(D)aa b = 10 a33.在群G中，a, b e G ,则方程xaxb = xb的唯一解为o0o aba-i(B) a-ib-i(C)ba-ib-i(D) a-i(A)在5次对称群S中兀=5'i2345、,3254i 丿的阶是(B(B) 3(C) 4(D) 5设R是实数集，则对任意的a,b e R ,代数运算a37.(A) 6(B) 3(C) 4(D) 8在16阶循环群G = (a)中,循环子群(a6)的阶为40若群G的阶为48, G的子群H的阶为16,则H在G中的指数为(C(A) 1 (B) 2(C) 3(D) 4c 1ac2b 32若 G 为群，a, b, c g G,则(b3c-2a-ic)t =3循环群(a)的阶是50,则它的子群(a15)的阶是10n5. n次对称群S的阶为n6. 假定 A u B，那么 A A B =A , A U B =B_.11一个有限非可换群至少含有_6个元素14.5次对称群S的阶为120519设G是17阶群，则G的生成元有个.28若群的元a的阶是15, b的阶是&且ab = ba ,则a8和ab的阶分别是5和 12030.若群G的阶为60, G的子群H的阶为15,则H在G中的指数为435.若G是由集合A的全体一一变换所作成，则G是一个变换群.1设A = 1,2, 3, 4，则能找到Ax A到A的映射. (X )7有限群中存在某个元的阶无限.(X )1.用循环置换的方法写出三次对称群S的全体元说明集合N = (1), (23)是3S的子群，并且写出N的所有左陪集.3解：S = (1), (12), (13), (23), (123), (132) , (2 分)因为 N 是有限集合，由3=(1)，(1)(23) = (23), (23)(1) = (23) , (23)(23) = (1)知 N 是封闭的，所以 N 是 S3 的子群.(4分)N 的全体左陪集为(6分)：(1)N =(23)N = (1), (23)(12)N = (132)N = (12), (132)(13)N 二(123)N 二(13), (123)4. 求出阶是32的循环群(a)的所有子群这些子群是否都是不变子群.解：因为(a)为循环群，所以(a)为交换群,又因为32的所有正整数因子为：1, 2, 4, 8,16,36.所以循环群(a)的所有子群为循环子群:(a)，(a2), (a4)，(a8)， (a16) (a36)二(a0)二e.并且这些子群都是不变子群.7找出对称群S的所有子群.3解咽为S 二(1),( 12),(13),(23),(123),(132),它的子群的阶只可能为：1, 2, 3,3所以它的所有子群为:1阶子群H二(1)；12 阶子群化二(1),(12),化二(1),(13), H 23 二(1)'(23)；3 阶子群H 二(1),(123),(132)；36 阶子群S 二(1),( 12),(13),(23),(123),(132)。'123456、J43265丿'123456、J43265丿3'12 3 456、'123456、和兀=5 43 216 丿2、623415 丿，计算冗 兀，兀-1兀.1 2 1 29.取对称群S的元“6 1解：兀二(15)(24),兀二(165),兀兀二(24)(56),(或兀兀1 2 1 2 1 2兀-1 兀二(15)(24)(165)= (24)(56),(或兀-i兀1 2 1 212求剩余类加群Z的所有生成元和所有子群.18解：因为剩余类加群Z是循环加群,18所以它的所有生成元为： 1,5,7,11,13,17；所有子群为： (1),(2),(3),(6),(9),(0) .16用循环置换的方法写出5次对称群S的元兀二51'12345、'12345'和兀=54321 2(32541丿并计算兀兀,兀-1兀2 ,1 2 1 2解:兀二(15)(24),1兀二(135)兀兀二(53)(24),(或兀兀1 2 1 2'12345'J4523丿2'12345'、3 41 25丿'12345'5 43 21 丿兀-仇 2 二(35)(24)(135)二(13)(24),(或兀 -1兀 2 二1 2 1 2兀兀-1兀二(135)(35)(24)二(15)(24)(或兀兀 -1兀2 1 2 2 1 217求出模48的剩余类加群Z的所有子群这些子群是否是不变子群?48解：因为Z为循环群，所以Z为交换群，4848又因为48的所有正整数因子为：1, 2, 3, 4, 6, 8，12，16,24, 48.所以模48的剩余类加群Z的所有子群为循环子群：48(1), (2),(3),(4), (6), (8), (12), (16), (24), (0) 并且这些子群都是不变子群.1.设群G中元a的阶为n，试证：am二e当且仅当n I m.证明：必要性:设m = nq + r,其中q, r为整数，0 < r < n,那么有am =anq+r = (an )q Qr = Qr = e ,由a的阶为n知r = 0,即n I m.充分性:由n I m可设m = nq,其中q为整数,那么有am 二 anq 二(an )q 二 eq 二 e,8若群G的每一个元都适合方程x2 = e，那么G是交换群.证明：任取 a,b g G,可知 a2 = e , b2 = e , (ab)2 = e,所以 a = a-1, b = b-1,ab = (ab)-1 = b-1a-1 = ba所以G是交换群.9证明：一个循环群必是一个交换群.证明：设循环群G = (a)，任取ak, ai g G，则有akai = ak+1 = aiak所以循环群G是交换群.12.证明：有限群中元的阶都有限.证明：设G是一个有限群，对任意的a g G,则元,a -4, a -3, a -2, a-1, a 0 = e, ai, a 2, a 3, a 4,都是G中元，且其中一定有相同元.不妨设 aj = ai, j < i， 则有 aja-厂=aia-，艮卩 aj-i = e 由j - i > 0且为有限正整数得a的阶为有限.13证明：阶为素数的群一定是循环群，且群中任意元都可作为群的生成元. 证明：设G是一个阶为素数p的有限群，则对任意的a g G,G的循环子群(a) = e,a1,a2,a3,ap有p个不同的元，所以G = (a)为循环群，且群中任意元都可作为群的生成元. 1、设 a, b 是群 G 中的元素，且 I a 1= 2 , I b 1= 5，则 I ab 1= 10。(V )2、法则a。b = a + b - ab不是自然数集N上的一个代数运算。(V)3、设集合M = 1,2,n，则M上所有对换作成的集合是n次对称群S的一个n生成系。(V)4、设M是实数集，规定： ab o ab > 0 , 则讯是M上的一个等价关系。(X )5、交换群中任意两个子群的乘积仍是子群。(V) 7、设a是循环群中一个元素，则< as >=< at >当且仅当s =