数值分析小论文 土木工程学院
题目：常微分方程数值解法在钢筋混凝土梁变形分析的应用算法：常微分方程数值解法组号：第 9 组 组员：马宁涛 邵鹏飞 王丽君 申陆林 郭娜 王倩 聂广虎常微分方程数值解法在钢筋混凝土梁变形分析的应用邵鹏飞，马宁涛，申陆林，聂广虎（河南理工大学 土木工程学院 河南 焦作 454003）摘要：为了获得钢筋混凝土梁变形的规律，运用常微分方程数值解法，使用Matlab数值分析 软件，根据实验数据对均布荷载集度在简支梁上不同位置所产生的弯矩值和挠度值的关系进 行了函数分析，得出在保证梁的强度及其安全变形条件下，找到梁上最危险点，并提出了相 关的措施建议。结果表明：简支梁的位置中点处即为梁上最薄弱、危险位置。这个规律可以 有针对性的对钢筋混凝土梁进行加固处理提供理论依据，使梁具有更强的耐久性、抗拉及抗 压性。关键词：Matlab ;材料力学；结构力学；数值分析；裂缝Using the Numerical Method for Ordinary Differential Equations to Distortthe Analysis Application In the Simple Reinforced Concrete BeamShao Pengfei，Ma Ningtao，Shen Lulin，Nie Guanghu（School of Civil Engineering, Henan Polytechinc University, Jiaozuo, Henan, China, 45400Abstract： In order to obtain the rule which the simple reinforced concrete beam distorts, using the numerical method for ordinary differential equations,and the Matlab numerical analysis software,having carried on the functional analysis to the relationship of bending moment value and amount of deflection value which is produced by equispaced load collection in the simple beam different position according to the experimental data,obtaining to find the most hazard point of the simple beam in guaranteeing the simple beam's intensity and the safe distortion condition,and statementing the related measure suggestions.The results indicate that the simple beam's center point position is the simple beam's weakest and most dangerous position. This rule can provide the theory basis to carry on reinforcement processing of the simple reinforced concrete beam that is target-oriented,causing the simple beam to have the stronger durability, tensile strength and compressive strength.Key words： Matlab； Materials mechanics ； Structure mechanics ； Numerical analysis ； Crack0 问题背景在土木工程学科结构工程研究设计领域的钢筋混凝土梁变形分析中，绘制内力图寻找 到危险点的位置是完成梁的截面设计或强度校核的关键环节，并对此危险点提出措施进行加 固，防止梁发生破坏。但在有些复杂荷载共同作用下的梁其计算内力图的过程比较复杂， 费时耗力，在计算机高速发展的今天我们可以运用计算机软件技术辅助完成粱的内力计算 和内力图的绘制，可以应用数值分析软件Matlab和Ansys, Matlab （MATrix LABoratory即矩阵 实验室）是当今国际科学界最具影响力和活力的科学计算软件，具有功能强大、语言简单、扩 充能力和可开发性强、编程易且效率高等特点，使科技人员从繁琐的编程过程中解脱出来， 从而节省大量时间以主攻理论研究。我们可以利用Matlab软件对简支梁进行建模分析，利用 其高效省时的编程代码对简支梁进行编程，快速计算出简支梁的各部位的弯矩和挠度，以及 绘制其弯矩图和挠度图，找出危险点位置，即为弯矩和挠度值最大处，并对此处危险点位置 进行加固处理，防止梁发生进一步的破坏，从而提高建（构）筑物的可靠性和稳定性。作者简介：专业学位-硕士研究生，主要从事土木工程方向研究。 电子邮箱： 514956687qq.com1问题分析及建立模型根据材料力学（文献1）和结构力学（文献2）知识可知，基本荷载有集中荷载 均布荷载，集中力偶，在小变形条件下，可以将梁所受的荷载分解为若干简单的基本荷载。 即上述三基本荷载，根据力的独立作用原理，先分别计算出各简单的基本荷载作用下梁的内 力，然后应用叠加法得到任意荷载下梁的内力，为了简单化，设梁上荷载只有均布荷载，如 下图1所示。图1 其中，集中荷载也可以转换成均布荷载，以图2所示中的集中荷载转换成均布荷载为例 当 a < b 时，F = 2 q a ;1当 a = b 时，F = 2q a = 2q b ;22当a > b时，F = 2 qb，其中q , q , q互不相等。3 1 2 3图2由以上问题分析可以求得梁的弯矩图和挠度图的流程为：开始n数据准备（确定直角坐标 系，各数据正负值）n输人数据（输入梁的长度，已有和转化后均布荷载集度大小、位置）n 根据所得弯矩方程和挠度方程利用Matlab进行编写代码n得出梁的弯矩图和挠度图n结束。根据（文献4）,所建立的数学模型，利用Matlab编写的代码如下示：根据图1所示可得x处弯矩的方程为：M （x） = 1 qlx -丄qx 2，根据弯矩方程可编写代码为:22X=0:0.1:4;M =0.5 * q * l * x-0.5 * q * x,人 2;Plot （ x , M ）即可得到弯矩图。根据图1所示可得x处的挠度方程为：y =丄（丄qx 4 -丄qlx 3 +丄ql 3x），根据（文献4），EI 241224Z代入编程代码中，具体Matlab程序如下所示:y = dsolve (E * I * D 2 y = 0.5 * q * 1 * x + 0.5 * q * x 人 2 ',' y (0) = 0, y (1) = 0 ',' x ')。即可得到挠度图。2. 常微分方程数值解法的数学原理根据（文献3）,由于Matlab在数值分析的常微分方程数值解法中是基于Euler、Runge -Kutta、Adams、Taylor方法和边值问题等算法，对于工程技术人员来说，用这种方法分析钢 筋混凝土梁问题是非常适用的计算方法。其数学原理为：包含自变量、未知函数及未知函数的导数或微分的方程称为微分方程。 在微分方程中, 自变量的个数只有一个, 称为常微分方程。自变量的个数为两个或两个以上的 微分方程叫偏微分方程。微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数称为微分方程的阶数。y (n )dvc vmdt = g d ud ud2 u+ u =vd td xd x2d2©d2©+ = 0 d x2d y常微分方程（ODEs未知函数是一元函数）偏微分方程（PDEs未知函数是多元函数）如果未知函数y及其各阶导数都是一次的，则称它是线性的,否则称为非线性的。 y', y'',-在高等数学中，对于常微分方程的求解，给出了一些典型方程求解析解的基本方法，如 可分离变量法、常系数齐次线性方程的解法、常系数非齐次线性方程的解法等,但能求解的 常微分方程仍然是有限的,大多数的常微分方程是不可能给出解析解。一阶方程的初值问题为：于=f（x,y）,x G a,b，要求函数f（x, y）适当光滑，实际问题、y（x0） = y0中归结出来的微分方程主要靠数值解法求解。数值解法就是寻求解y （x）在一系列离散节点，x < x << x < x <上的近似值12nn+1y < y < < y < y < 。相邻两个节点的间距h = x - x称为步长，总是假定h为定数，12nn + 1n + 1n这时节点为x = x + nh , n = 0,1, 2,，都采取“步进式”，即求解过程顺着节点排列的次序一步 n0一步地向前推进，用已知的-1, J计算S1的递推公式即可，这种计算公式称为差分 格式。3.算法的MATLAB实现3.1 实验数据弯矩值的计算，根据材料力学 （文献1）和结构力学 （文献2），设上述图1矩形 截面钢筋混凝土简支梁上的均布荷载集度q =2KN/m，l =4m，截面宽度和高度分别为140mm和210mm，弹性模量e =2x 10-5MPa，弯曲时梁的许用应力为c =10MPa, f =丄，将q值 l 400（其中q值为负）和L值代入编程代码中，根据方程：M （x） = 1 qlx - 1 qx 2 ,具体程序如下所示。22 挠度值的计算，根据材料力学（文献1）和结构力学（文献2），梁的强度校核和刚度校核是利用公式a = J，M = 1 ql 2，W = %h 2，将上述各数据代入后得：Wm ax 8z 6zM =2 x 42 KN Dm， W =0.14 m x 0.21 2 m2 = 0.00103 m3， 将所求得值待入梁正应力公式m ax8Z 61x 2 x 42 KN Dma =后得到：a =3.88 MPa < a = 10 MPa， 根据所求的结果可看出梁的W0.00103 m3z强度要求得以保证，利用公式EIzy '' = -M （x）和边界条件x = 0时y = 0，x = 1时y = 0，可求AB的x处的挠度方程为：y =丄（丄qx 4 -丄qlx 3 +丄ql 3 x ），从而代入编程代码中。EI 241224Z3.2 Matlab 程序代码（1）利用Matlab软件，根据上述所求弯矩的常微分方程求解，并将各相关数据代入编程代 码中，根据（文献），编写的Matlab具体程序代码如下所示：/ q是施加在简支梁上的均布荷载，1是简支梁的长度。0 1/ x是距离简支梁左端的距离，M是弯矩大小。0q = - 2000 ；l=4；x = 0 : 0.1 : 4 ；M = 0.5 * q * l * x 一 0.5 * q * x.人 2 ；plot （x,M ,'r '）；xlabel （简支梁上的位置坐标'）；ylab
