直接开平方法解一元二次方程教学设计1

直接开平方法解一元二次方程教学设计秦皇岛市第九中学张月萍一、教学目标理解一元二次方程“降次”转化的数学思想，并能应用它解决一些具 体问题。提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0,根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解 a （ex+f） 2+c=0型的一元二次方程。二教材分析本节是九年级上册内容，一元二次方程的求解是初中代数学习中非常重要的 一部分，而直接开平方法则是解一元二次方程的基础方法，它看似简单，却不容忽视。首先“直接开平方法解一元二次方程”是配方法解一元二次方程的基础； 其次，在一元二次不等式的求解及求二次函数与 x轴交点等问题中都必须应用一 元二次方程的解法；同时这一节的教材编写中还突出体现了“换元、转化、类比等重要的数学思想方法。因此这一节不仅是为后续学习打下坚实基础的一节课， 更是让学生体验并逐步掌握相关数学思想方法的一节课。三、教学方法采用创设学生熟悉的问题情境，综合运用探究式、启发式、活动式等几种方 法进行教学。遵循因材施教，循序渐进原则，采用活动式教学模式及分层尝试教 学模式组织教学。直观地展示教学内容，有效地突出重点，突破难点，使学生多 种感官共同参与到整个学习过程中，激发学生的学习兴趣，提供课堂效率。四、教学过程（一）、复习引入学生活动：请同学们完成下列各题问题1 填空2(1) x -8x+= (x-2(2) 9x+12x+= (3x+(3) x2+px+= (x+) 2.问题1:根据完全平方公式可得：（1） 16 4 ; （2） 4 2 ;问题2: 目前我们都学过哪些方程？二元怎样转化成一元？ 一元二次方程于一元 一次方程有什么不同？二次如何转化成一次？怎样降次？以前学过哪些降次的 方法？（二）、探索新知上面我们已经讲了 x2=9,根据平方根的意义，直接开平方得 x=±3,如果x 换元为2t+1，即（2t+1 ） 2=9，能否也用直接开平方的方法求解呢？（学生分组讨论）老师点评：回答是肯定的，把2t+1变为上面的x，那么2t+1= ± 3即 2t+1=3 , 2t+1=-3方程的两根为 ti=1, 12=-2例 1:解方程：(1)(2x-1)2=5(2)x2+6x+9=2(3)x 2-2x+4=-1分析：很清楚，x2+4x+4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为(x+2) 2=1.解：(2)由已知，得：(x+3) 2=2直接开平方，得：x+3=± 2即 x+3. 2， x+3=- 一 2所以，方程的两根Xi=-3+-、2， X2=-3- 2例2.市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10吊提高到14.4m,求每年 人均住房面积增长率.分析：设每年人均住房面积增长率为 x . ?一年后人均住房面积就应该是 10+?10x=10( 1+x);二年后人均住房面积就应该是10 (1+x) +10 (1+x) x=10(1+x) 2解：设每年人均住房面积增长率为 x，则:10 (1+x) 2=14.4(1+x) 2=1.44直接开平方，得1+x=± 1.2即 1+x=1.2，1+x=-1.2所以，方程的两根是X1=0.2=20%, X2=-2.2因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，X2=-2.2应舍去.所以，每年人均住房面积增长率应为 20%(学生小结)老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么？ 共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程.？我们 把这种思想称为“降次转化思想”.(三) 、巩固练习1. 教材P36练习.2. 补充题：如图，在 ABC中，/ B=90o，点P从点B开始，沿AB边向点B 以1cm/s?的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动， 如果AB=6cmBC=12cm?P、Q都从B点同时出发，几秒后 PBQ的面积等于8cmi?www.czsx.com.c n老师点评:设x秒后 PBC的面积等于8cm2则 PB=x BQ=2x1依题意，得：一 x 2x=82x2=8根据平方根的意义，得x=± 2 2即 Xi=2、2 , X2=-2 21可以验证，2 2和-2 .2都是方程x 2x=8的两根，但是移动时间不能是负2值.所以2 2秒后 PBQ勺面积等于8cm1.(四) 、应用拓展例3.某公司一月份营业额为1万元，第一季度总营业额为3.31万元，求 该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？分析：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x,那么二月份的营业额就应该是(1+x),三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的，应是(1+x) 2.解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x.那么 1+ (1+x) + (1+x) =3.31把(1+x)当成一个数，配方得：(1+X+1) 2=2.56，即(x+3 ) 2=2. 562 2333x+ =± 1.6，即 x+ =1.6，x+ =-1.6222方程的根为X1=10% X2=-3.1因为增长率为正数，所以该公司二、三月份营业额平均增长率为10%(五) 、归纳小结本节课应掌握：由应用直接开平方法解形如 x2=p (p> 0)，那么x=± Jp转 化为应用直接开平方法解形如(mx+n 2=p (p> 0)，那么mx+n=± Jp，达到降 次转化之目的.若pv0则方程无解六、布置作业1.教材复习巩固1、2.2 .某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙(墙长 25m，?另三边 用木栏围成，木栏长40m(1) 鸡场的面积能达到180吊吗？能达到200m吗？(2) 鸡场的面积能达到210斥吗？七、教学反思这一组练习中教师的教和学生理解是一个整体，那么两道练习就迎刃而解 了。整节课课堂结构严谨，教学内容由浅入深；在课堂中通过合作学习、师生互 动探究的方式来完成教学内容；教师积极鼓励学生学习并且激励学生对新知的探 索，学生也练的很扎实；重视学生思想的展示，多次借助预设错误，强化学生的 认知冲突让学生形成能力。