特殊平行四边形中地常见辅助线

word特殊平行四边形中的常见辅助线一、连结法1. (2014某某,第9题3分)如图，在菱形ABCD中，AB=5，对角线AC=6假如过点A作AEBC，垂足为E，如此AE的长为A 4BCD52. 2015某某,第9题4分如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上假如四边形EGFH是菱形，如此AE的长是A2B3C5D63.如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，M，N分别是AB，CD的中点，P是AD上的点，且PNB=3CBN1求证：PNM=2CBN；2求线段AP的长.2015某某某某,第20题8分如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线OB，AC相交于点D，且BEAC，AEOB，1求证：四边形AEBD是菱形；2如果OA=3，OC=2，求出经过点E的反比例函数解析式考点：反比例函数综合题.分析：1先证明四边形AEBD是平行四边形，再由矩形的性质得出DA=DB，即可证出四边形AEBD是菱形；2连接DE，交AB于F，由菱形的性质得出AB与DE互相垂直平分，求出EF、AF，得出点E的坐标；设经过点E的反比例函数解析式为：y=，把点E坐标代入求出k的值即可解答：1证明：BEAC，AEOB，四边形AEBD是平行四边形，四边形OABC是矩形，DA=AC，DB=OB，AC=OB，AB=OC=2，DA=DB，四边形AEBD是菱形；2解：连接DE，交AB于F，如下列图：四边形AEBD是菱形，AB与DE互相垂直平分，OA=3，OC=2，EF=DF=OA=，AF=AB=1，3+=，点E坐标为：，1，设经过点E的反比例函数解析式为：y=，把点E，1代入得：k=，经过点E的反比例函数解析式为：y=点评：此题是反比例函数综合题目，考查了平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的性质、坐标与图形特征以与反比例函数解析式的求法；此题综合性强，有一定难度，特别是2中，需要作辅助线求出点E的坐标才能得出结果5.2015某某某某，第25题12分如图，正方形ABCD的边长为8cm，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的动点，且AE=BF=CG=DH1求证：四边形EFGH是正方形；2判断直线EG是否经过一个定点，并说明理由；3求四边形EFGH面积的最小值考点：四边形综合题.分析：1由正方形的性质得出A=B=C=D=90°，AB=BC=CD=DA，证出AH=BE=CF=DG，由SAS证明AEHBFECGFDHG，得出EH=FE=GF=GH，AEH=BFE，证出四边形EFGH是菱形，再证出HEF=90°，即可得出结论；2连接AC、EG，交点为O；先证明AOECOG，得出OA=OC，证出O为对角线AC、BD的交点，即O为正方形的中心；3设四边形EFGH面积为S，BE=xcm，如此BF=8xcm，由勾股定理得出S=x2+8x2=2x42+32，S是x的二次函数，容易得出四边形EFGH面积的最小值解答：1证明：四边形ABCD是正方形，A=B=C=D=90°，AB=BC=CD=DA，AE=BF=CG=DH，AH=BE=CF=DG，在AEH、BFE、CGF和DHG中，AEHBFECGFDHGSAS，EH=FE=GF=GH，AEH=BFE，四边形EFGH是菱形，BEF+BFE=90°，BEF+AEH=90°，HEF=90°，四边形EFGH是正方形；2解：直线EG经过一个定点，这个定点为正方形的中心AC、BD的交点；理由如下：连接AC、EG，交点为O；如下列图：四边形ABCD是正方形，ABCD，OAE=OCG，在AOE和COG中，AOECOGAAS，OA=OC，即O为AC的中点，正方形的对角线互相平分，O为对角线AC、BD的交点，即O为正方形的中心；3解：设四边形EFGH面积为S，设BE=xcm，如此BF=8xcm，根据勾股定理得：EF2=BE2+BF2=x2+8x2，S=x2+8x2=2x42+32，20，S有最小值，当x=4时，S的最小值=32，四边形EFGH面积的最小值为32cm2点评：此题是四边形综合题目，考查了正方形的性质与判定、菱形的判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理、二次函数的最值等知识；此题综合性强，有一定难度，特别是23中，需要通过作辅助线证明三角形全等和运用二次函数才能得出结果6.12分2015某某某某25，12分如图，四边形ABCD是边长为2，一个锐角等于60°的菱形纸片，小芳同学将一个三角形纸片的一个顶点与该菱形顶点D重合，按顺时针方向旋转三角形纸片，使它的两边分别交CB、BA或它们的延长线于点E、F，EDF=60°，当CE=AF时，如图1小芳同学得出的结论是DE=DF1继续旋转三角形纸片，当CEAF时，如图2小芳的结论是否成立？假如成立，加以证明；假如不成立，请说明理由；2再次旋转三角形纸片，当点E、F分别在CB、BA的延长线上时，如图3请直接写出DE与DF的数量关系；3连EF，假如DEF的面积为y，CE=x，求y与x的关系式，并指出当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？考点：几何变换综合题分析：1如答图1，连接BD根据题干条件首先证明ADF=BDE，然后证明ADFBDEASA，得DF=DE；2如答图2，连接BD根据题干条件首先证明ADF=BDE，然后证明ADFBDEASA，得DF=DE；3根据2中的ADFBDE得到：SADF=SBDE，AF=BE所以DEF的面积转化为：y=SBEF+SABD据此列出y关于x的二次函数，通过求二次函数的最值来求y的最小值解答：解：1DF=DE理由如下：如答图1，连接BD四边形ABCD是菱形，AD=AB又A=60°，ABD是等边三角形，AD=BD，ADB=60°，DBE=A=60°EDF=60°，ADF=BDE在ADF与BDE中，ADFBDEASA，DF=DE；2DF=DE理由如下：如答图2，连接BD四边形ABCD是菱形，AD=AB又A=60°，ABD是等边三角形，AD=BD，ADB=60°，DBE=A=60°EDF=60°，ADF=BDE在ADF与BDE中，ADFBDEASA，DF=DE；3由2知，ADFBDE如此SADF=SBDE，AF=BE=x依题意得：y=SBEF+SABD=2+xxsin60°+×2×2sin60°=x+12+即y=x+12+0，该抛物线的开口方向向上，当x=0即点E、B重合时，y最小值=点评：此题考查了几何变换综合题，解题过程中，利用了三角形全等的判定与性质，菱形的性质以与等边三角形的判定与性质，对于促进角与角边与边相互转换，将未知角转化为角未知边转化为边是关键。二、中心对称法倍长法1.2014某某某某,第25题11分【问题情境】如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分DAM【探究展示】1证明：AM=AD+MC；2AM=DE+BM是否成立？假如成立，请给出证明；假如不成立，请说明理由【拓展延伸】3假如四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示1、2中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明考点：四边形综合题；角平分线的定义；平行线的性质；全等三角形的判定与性质；矩形的性质；正方形的性质专题：综合题；探究型分析：1从平行线和中点这两个条件出发，延长AE、BC交于点N，如图11，易证ADENCE，从而有AD=，只需证明AM=NM即可2作FAAE交CB的延长线于点F，易证AM=FM，只需证明FB=DE即可；要证FB=DE，只需证明它们所在的两个三角形全等即可3在图21中，仿照1中的证明思路即可证到AM=AD+MC仍然成立；在图22中，采用反证法，并仿照2中的证明思路即可证到AM=DE+BM不成立解答：1证明：延长AE、BC交于点N，如图11，四边形ABCD是正方形，ADBCDAE=ENCAE平分DAM，DAE=MAEENC=MAEMA=MN在ADE和NCE中，ADENCEAASAD=NCMA=MN=NC+MC=AD+MC2AM=DE+BM成立证明：过点A作AFAE，交CB的延长线于点F，如图12所示四边形ABCD是正方形，BAD=D=ABC=90°，AB=AD，ABDCAFAE，FAE=90°FAB=90°BAE=DAE在ABF和ADE中，ABFADEASABF=DE，F=AEDABDC，AED=BAEFAB=EAD=EAM，AED=BAE=BAM+EAM=BAM+FAB=FAMF=FAMAM=FMAM=FB+BM=DE+BM3结论AM=AD+MC仍然成立证明：延长AE、BC交于点P，如图21，四边形ABCD是矩形，ADBCDAE=EPCAE平分DAM，DAE=MAEEPC=MAEMA=MP在ADE和PCE中，ADEPCEAASAD=PCMA=MP=PC+MC=AD+MC结论AM=DE+BM不成立证明：假设AM=DE+BM成立过点A作AQAE，交CB的延长线于点Q，如图22所示四边形ABCD是矩形，BAD=D=ABC=90°，ABDCAQAE，QAE=90°QAB=90°BAE=DAEQ=90°QAB=90°DAE=AEDABDC，AED=BAEQAB=EAD=EAM，AED=BAE=BAM+EAM=BAM+QAB=QAMQ=QAMAM=QMAM=QB+BMAM=DE+BM，QB=DE在ABQ和ADE中，ABQADEAASAB=AD与条件“ABAD“矛盾，故假设不成立AM=DE+BM不成立2.2014某某某某,第26题9分