1月镇江市高三数学期末测试

2013年1月镇江市高三数学期末测试注意事项：1本试卷共4页，包括填空题（第1题第14题）、解答题（第15题第20题）两部分本试卷满分160分，考试时间120分钟2答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷的指定位置3答题时，必须用书写黑色字迹的毫米签字笔写在试卷的指定位置，在其它位置作答一律无效4如有作图需要，可用铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上1已知集合M1 ,2,3, 4,5，N2,4,6,8,10，则MN 2已知向量，若，则实数 3.直线与 平行,则实数 4.方程有 个不同的实数根5. 已知,函数的周期比振幅小1,则 6. 在ABC中，则= 7. 在等比数列中，为其前项和，已知，则此数列的公比为 8. 观察下列等式： ×1， ××1， ×××1，由以上等式推测到一个一般的结论：对于nN*，××× 9. 圆心在抛物线上,并且和抛物线的准线及轴都相切的圆的标准方程为 10. 在菱形中，,则 11.设双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线的右支上，且,则此双曲线离心率的最大值为 12. 从直线上一点向圆引切线,为切点,则四边形的周长最小值为 13. 每年的1月1日是元旦节，7月1日是建党节，而2013年的春节是2月10日，祝同学们新年梦想成真! 因为 ，新年将注定不平凡，请在括号内填写一个由月份和日期构成的正整数，使得等式成立，也正好组成我国另外一个重要节日.14. 已知x，y为正数，则的最大值为 二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.（本小题满分14分） 已知；不等式恒成立，若是的必要条件，求实数的取值范围.16.（本小题满分14分）已知的面积为，且.（1）求的值；（2）若，求ABC的面积17.（本小题满分14分）已知,函数R)图象上相异两点处的切线分别为，且.（1）判断函数的奇偶性；并判断是否关于原点对称；（2）若直线都与垂直，求实数的取值范围.18.（本小题满分16分） 一位幼儿园老师给班上个小朋友分糖果.她发现糖果盒中原有糖果数为,就先从别处抓2块糖加入盒中，然后把盒内糖果的分给第一个小朋友;再从别处抓2块糖加入盒中，然后把盒内糖果的分给第二个小朋友;,以后她总是在分给一个小朋友后,就从别处抓2块糖放入盒中，然后把盒内糖果的分给第个小朋友如果设分给第个小朋友后（未加入2块糖果前）盒内剩下的糖果数为.（1） 当,时,分别求;（2） 请用表示;令,求数列的通项公式; （3）是否存在正整数和非负整数,使得数列成等差数列,如果存在,请求出所有的和,如果不存在,请说明理由.19.（本小题满分16分） 已知椭圆的中心在原点，长轴在x轴上，右顶点到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为. 不过A点的动直线交椭圆于P,Q两点（1） 求椭圆的标准方程；（2）证明P,Q两点的横坐标的平方和为定值；（3）过点 A,P,Q的动圆记为圆C，动圆C过不同于A的定点，请求出该定点坐标.20. （本小题满分16分） 已知函数，对一切正整数，数列定义如下：，且，前项和为.（1）求函数的单调区间，并求值域；（2）证明；（3）对一切正整数，证明： ；.数学（附加题）注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1本试卷只有解答题，供理工方向考生使用本试卷第21题有4个小题供选做，每位考生在4个选做题中选答2题，3题或4题均答的按选做题中的前2题计分第22、23题为必答题每小题10分，共40分考试用时30分钟2答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考试号填写在试卷及答题卡的规定位置3请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔请注意字体工整，笔迹清楚本卷考试结束后，上交答题卡4如需作图，须用铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗5请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔 21【选做题】本题包括、四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A（选修41几何证明选讲）如图，O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为O上一点，AE=AC， DE交AB于点F求证：PDFPOC（第21-A题）ABPFOEDC· B（选修42：矩阵与变换） 求曲线:在矩阵对应的变换下得到的曲线的方程.C（选修44：坐标系与参数方程） 求圆被直线（是参数截得的弦长.D.（选修45：不等式选讲）设函数 （1）当时，求函数的定义域； （2）若函数的定义域为R，试求的取值范围必做题 第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内. 22（本小题满分10分）斜率为1的直线与抛物线交于不同两点，求线段中点的轨迹方程23（本小题满分10分） 已知函数在区间上是增函数.（1）求实数的取值范围；（2）若数列满足，* ，证明 高三数学期末检测答案及评分标准2013.01一、填空题（每题5分）1.; 2. 0; 3. ; 4. 2;5. 1 ; 6.; 7. 3; 8. 9.; 10.; 11. ; 12.; 13. 101; 14. .【说明】13. (10月1日国庆节)本题的一般结论是，可以应用课本习题中结论证得.14. 本题可以进一步推广为:是否存在实数,使得当 时恒成立?二、解答题：15. 解：,即,3分 是的必要条件, 是的充分条件,5分不等式对恒成立,7分对恒成立,10分,当且仅当时,等号成立.13分 .14分【说明】本题考查简易逻辑、命题真假判断、简单指数不等式的解法、函数的最值、基本不等式应用；考查不等式恒成立问题；考查转化思想.16. 解：（1）设的角所对应的边分别为.,2分, .4分 .5分（2） ,即,6分 ,7分. 9分11分由正弦定理知：,13分.14分【说明】本题主要考查和差三角函数、倍角公式、正弦定理的应用、平面向量的运算；考查运算变形和求解能力.17. 解：（1），2分为奇函数.3分设且,又，5分在两个相异点处的切线分别为,且，又，6分又为奇函数，点关于原点对称7分（2） 由（1）知，8分又在A处的切线的斜率， 直线都与垂直,，9分 令，即方程有非负实根，10分，又 ， 综上14分【说明】本题考查函数性质和导数的运算与应用、一元二次方程根的分布；考查换元法考查推理论证能力.21. 解：（1）当,时, ,.3分（2） 由题意知： ,6分即, ,7分累加得,9分 又,.10分（3） 由，得,12分若存在正整数和非负整数,使得数列成等差数列,则,14分 即,15分当时， ，对任意正整数,有成等差数列. 16分注:如果验证不能成等差数列,不扣分【说明】本题主要考查数列的定义、通项求法；考查反证法；考查递推思想；考查推理论证能力；考查阅读理解能力、建模能力、应用数学解决问题能力本题还可以设计：如果班上有5名小朋友，每个小朋友都分到糖果，求的最小值.19. 解：（1）设椭圆的标准方程为.由题意得.2分, , 2分 椭圆的标准方程为.4分（2）证明：设点将带入椭圆，化简得：,6分 , P,Q两点的横坐标的平方和为定值4.7分（3）(法一)设圆的一般方程为:,则圆心为（）,PQ中点M(), PQ的垂直平分线的方程为:, 8分圆心（）满足，所以,9分圆过定点(2,0)，所以,10分圆过, 则 两式相加得： ,11分, .12分因为动直线与椭圆C交与P,Q（均不与A点重合）所以，由解得: 13分代入圆的方程为：,整理得：,14分所以：15分 解得：或(舍). 所以圆过定点(0,1).16分(法二) 设圆的一般方程为:,将代入的圆的方程:.8分方程与方程为同解方程., 11分圆过定点(2,0)，所以 , 12分 因为动直线与椭圆C交与P,Q（均不与A点重合）所以.解得: ,13分 (以下相同)【说明】本题考查圆锥曲线的基本量间关系、直线与圆锥曲线的位置关系；考查定点定值问题；考查运算求解能力和推理论证能力.20. 解：（1）定义域R，1分，2分函数的单调增区间为，单调减区间为 3分（法一），当时， ，4分时，为减函数，；当时， ；函数的值域为5分（法二）当时，,当时，,且,函数的值域为.5分（法三）判别式法（略）（2）设,设，则，则，.6分 当时， 恒成立当且仅当时，7分令，当且仅当时，当时，由（）, 当时，无解8分当时， ，当时，在无解9分综上，除外，方程无解， 10分（3） 显然,又,，11分 所以， 若，则 矛盾.所以 .12分 (法一)14分 15分 16分(法二)13分 14分 15分， .16分【说明】本题以高等数学中不动点、函数迭代等理论为背景，考查函数的图象与性质、导数的运算与应用；考查函数思想；考查推理论证能力、运算能力. 其中第2问证法较多. 本题可以进一步设计证明. 如令,可证明对任意正整数有互素.