浙江专版高中数学第二章平面向量2.2.3向量数乘运算及其几何意义学案新人教A版

22.3向量数乘运算及其几何意义预习课本P8790，思考并完成以下问题(1)向量数乘的定义及其几何意义是什么？ (2)向量数乘运算满足哪三条运算律？ (3)向量共线定理是怎样表述的？ (4)向量的线性运算是指的哪三种运算？ 1向量的数乘运算(1)定义：规定实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：a，它的长度和方向规定如下：|a|a|；当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反(2)运算律：设，为任意实数，则有：(a)()a；()aaa；(ab)ab；特别地，有()a(a)(a)；(ab)ab.点睛(1)实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如a，a均无法运算(2)a的结果为向量，所以当0时，得到的结果为0而不是0.2向量共线的条件向量a(a0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使ba.点睛(1)定理中a是非零向量，其原因是：若a0，b0时，虽有a与b共线，但不存在实数使ba成立；若ab0，a与b显然共线，但实数不唯一，任一实数都能使ba成立(2)a是非零向量，b可以是0，这时0a，所以有0，如果b不是0，那么是不为零的实数3向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算对于任意向量a，b及任意实数，1，2，恒有(1a±2b)1a±2b.1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“×”)(1)a的方向与a的方向一致()(2)共线向量定理中，条件a0可以去掉()(3)对于任意实数m和向量a，b，若mamb，则ab.()答案：(1)×(2)×(3)×2若|a|1，|b|2，且a与b方向相同，则下列关系式正确的是()Ab2aBb2aCa2b Da2b答案：A3在四边形ABCD中，若，则此四边形是()A平行四边形 B菱形C梯形 D矩形答案：C4化简：2(3a4b)7a_.答案：a8b向量的线性运算例1化简下列各式：(1)3(6ab)9；(2)2；(3)2(5a4bc)3(a3bc)7a.解(1)原式18a3b9a3b9a.(2)原式ababab0.(3)原式10a8b2c3a9b3c7abc.向量线性运算的方法向量的线性运算类似于代数多项式的运算，共线向量可以合并，即“合并同类项”“提取公因式”，这里的“同类项”“公因式”指的是向量活学活用化简下列各式：(1)2(3a2b)3(a5b)5(4ba)；(2).解：(1)原式6a4b3a15b20b5a14a9b.(2)原式(4a16b16a8b)(12a24b)2a4b.用已知向量表示未知向量典例如图所示，D，E分别是ABC的边AB，AC的中点，M，N分别是DE，BC的中点，已知a，b，试用a，b分别表示，.解由三角形中位线定理，知DE綊BC，故，即a.abaab.abaab.用已知向量表示未知向量的方法用图形中的已知向量表示所求向量，应结合已知和所求，联想相关的法则和几何图形的有关定理，将所求向量反复分解，直到全部可以用已知向量表示即可，其实质是向量的线性运算的反复应用活学活用如图，四边形OADB是以向量a，b为边的平行四边形又，试用a，b表示，.解：()(ab)，babab.，()(ab)(ab)abab.共线向量定理的应用题点一：判断或证明点共线1已知两个非零向量a与b不共线，ab，2a8b，3(ab)，求证：A，B，D三点共线证明：ab，2a8b，3(ab)，2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5.，共线，又它们有公共点B，A，B，D三点共线题点二：利用向量的共线确定参数2已知a，b是不共线的两个非零向量，当8akb与ka2b共线时，求实数k的值解：8akb与ka2b共线，存在实数，使得8akb(ka2b)，即(8k)a(k2)b0.a与b不共线，解得±2，k2±4.题点三：几何图形形状的判定3.如图所示，正三角形ABC的边长为15， AC.求证：四边形APQB为梯形证明：因为，所以.又|15，所以|13，故|，于是四边形APQB为梯形用向量共线的条件证明两条直线平行或重合的思路(1)若ba(a0)，且b与a所在的直线无公共点，则这两条直线平行；(2)若ba(a0)，且b与a所在的直线有公共点，则这两条直线重合例如，若向量，则，共线，又与有公共点A，从而A，B，C三点共线，这是证明三点共线的重要方法层级一学业水平达标1若|a|5，b与a的方向相反，且|b|7，则a()AbBbCb Db解析：选Bb与a反向，故ab(0)，|a|b|，则5×7，所以，ab.2已知a5e，b3e，c4e，则2a3bc()A5e B5eC23e D23e解析：选C2a3bc2×5e3×(3e)4e23e.3已知a5b，2a8b，3(ab)，则()AA，B，C三点共线 BA，B，D三点共线CA，C，D三点共线 DB，C，D三点共线解析：选B2a8b3(ab)a5b，又与有公共点B，A，B，D三点共线4在ABC中，点P是AB上一点，且，又t，则t的值为()A BC D解析：选A由题意可得()，又t，t.5在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线交DC于点F，若a，b，则()Aab BabCab Dab解析：选A由已知条件可知BE3DE，DFAB，ab.6若3(xa)2(x2a)4(xab)0，则x_.解析：由已知得3x3a2x4a4x4a4b0，x3a4b0，x4b3a.答案：4b3a7下列向量中a，b共线的有_(填序号)a2e，b2e；ae1e2，b2e12e2；a4e1e2，be1e2；ae1e2，b2e12e2.解析：中，ab；中，b2e12e22(e1e2)2a；中，a4e1e244b；中，当e1，e2不共线时，ab.故填.答案：8已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma3b与a(2m)b共线，则实数m的值为_解析：因为向量ma3b与a(2m)b共线且向量a，b是两个不共线的向量，所以存在实数，使得ma3ba(2m)b，即(m)a(m23)b0，因为a与b不共线，所以解得m1或m3.答案：1或39计算：(1)(ab)(2a4b)(2a13b)；(2)(2mn)amb(mn)(ab)(m，n为实数)解：(1)原式ab0.(2)原式2manambm(ab)n(ab)2manambmambnanbmanb.10已知e1，e2是两个非零不共线的向量，a2e1e2，bke1e2，若a与b是共线向量，求实数k的值解：a与b是共线向量，ab，2e1e2(ke1e2)ke1e2，k2.层级二应试能力达标1设a是非零向量，是非零实数，则下列结论中正确的是()Aa与a的方向相同Ba与a的方向相反Ca与2a的方向相同D|a|a|解析：选C只有当>0时，a与a的方向相同，a与a的方向相反，且|a|a|.因为2>0，所以a与2a的方向相同2已知O是ABC所在平面内一点，D为边BC的中点，且20，则()AB2C3 D2解析：选A在ABC中，D为边BC的中点，2，2()0，即0，从而.3已知向量a，b不共线，若1ab，a2b，且A，B，C三点共线，则关于实数1，2一定成立的关系式为()A121 B121C121 D121解析：选CA，B，C三点共线，k (k0)1abk(a2b)kak2b.又a，b不共线，121.4已知平面内有一点P及一个ABC，若，则()A点P在ABC外部 B点P在线段AB上C点P在线段BC上 D点P在线段AC上解析：选D，0，0，即0，2，点P在线段AC上5