曲线坐标计算
曲线坐标计算圆曲线圆曲线要素： 曲线转向角R 曲线半径根据及 R 可以求出以下要素：T 切线长L 曲线长E 外矢距q 切曲差（两切线长与曲线全长之差）各要素的计算公式为：T R tg2LR180 (弧长 )E R(sec 1)2(sec =cos的倒数)1Eo R ( 1)cos2q 2T L圆曲线主点里程：ZY=J DTQZ=ZY L2 或 QZ=JD q /2YZ=QZ L2 或 YZ=JD T qJD=QZq2（校核用）1、基本知识 里程：由线路起点算起，沿线路中线到该中线桩的距离 表示方法： DK26 284.56。“+”号前为公里数，即 26km， “+”后为米数，即 284.56m CK 表示初测导线的里程。DK 表示定测中线的里程。 表示竣工后的连续里程。 铁路和公路计算方法略有不同。2、曲线点坐标计算（偏角法或弦切角法）已知条件：起点、终点及各交点的坐标1）计算 ZY 、YZ 点坐标通用公式：XZYiXJDiTicos i 1,iYZYi YJDi Tisin i 1,iXYZiX JDi Ti cosi ,i 1YYZi YJDi Tisin i,i 12）计算曲线点坐标 计算坐标方位角i 点为曲线上任意一点。li 为 i 点与 ZY 点里程之差li180弧长所对的圆心角i R 90 li弦切角ZY iZY JD弦的方位角当曲线左转时用“ -”，右转时用“ +”。 计算弦长C 2 R sin 计算曲线点坐标 此时的已知数据为：ZY（xZY，yZY ）、 ZY- i、 C。根据坐标正算原理：xixZY C cos ZY iyiyZY C sin ZY i切线支距法 这种方法是以曲线起点 ZY 或终点 YZ 为坐标原点，以 切线为 X 轴，以过原点的半径为 Y 轴，则圆曲线上任意一点的切线 支距坐标可通过以下公式求得：Rsiny R(1式中 ,cos )l 180 R利用坐标平移和旋转， 该点在大地平面直角坐标系中的坐标可由以下 公式求得：式中：为 ZY(YZ) 点沿线路前进方向的切线方位角。当起点为 ZY 时，“±”取“” ，X0=X(ZY), Y0=Y(ZY), 曲线为左偏时应以 yi=- yi 代入；当起点为 YZ 时，“±”取“-”，X0=X(YZ), Y0=Y(YZ), 曲线为左偏时应以 yi=- yi 代入；注： 1、同弧所对的圆周角等于圆心角的一半2、切线性质 圆的切线与过切点的半径相垂直3、弦切角定理弦切角等于它所夹弧上的圆周角4、弧长公式由 L/ R=n° /180 ° 得 L=n° R/ 180° =n R/180二、 缓和曲线（回旋线）缓和曲线主要有以下几类：A：对称完整缓和曲线（基本形） 切线长、 ls1与 ls2都相等。B: 非对称完整缓和曲线 切线长、 ls1与 ls2都不相等C: 非完整缓和曲线（卵形曲线） 连接两个同向、半径不等的圆的缓和段所组成的卵形曲线D: 回头曲线 回头曲线是一种半径小、 转弯急、 线型标准低的曲线形式，其转角接近、等于或大于 180 度。1、 基本形缓和曲线基本公式： =A2/lA= Rls为缓和曲线上任意点的曲率半径 A 为回旋线参数l 为缓和曲线上任意点到起点（ ZH ）的距离（弧长）ls 为缓和曲线的全长切线角公式：缓和曲线直角坐标任意一点 P 处取一微分弧段 ds ，其所对应的中心角为 d x dx=dscos xdy=dssin x缓和曲线常数主曲线的内移值 p 及切线增长值 q内移值： p=Y s-R(1- cos s)=l s2/24R 切线增长值： q=X s - Rsin s=l s/2-ls 3 /240R 2缓和曲线的总偏角及总弦长总偏角：s=l s/2 R ? 180 总弦长：Cs=l s-l s3/90R 2缓和曲线要素计算切线长外距线长圆曲线长切线差平曲线五个基本桩号：ZH HY QZ YH HZ 缓和曲线主点里程：ZH=JD-T HY=ZH+Ls YH=HY+Ly HZ=YH+LsQZ=ZH+L 总 /2=HZ-L 总/2JD=QZ+q/2 (校核)缓和曲线上任意点坐标计算 切线支距法：以缓和曲线起点 ZH(HZ) 点为坐标原点，起点的切线为 x 轴，过原点的垂直于切线的垂线为 y 轴建立坐标系，则缓和曲线上 任意一点的切线支距坐标可通过以下公式求得：利用坐标平移和旋转， 该点在大地平面直角坐标系中的坐标可由以下 公式求得：式中：为 ZH(HZ) 点沿线路前进方向的切线方位角。当起点为 ZH 时，“±”取“” ，X0=X(ZH), Y0=Y(ZH), 曲线为左偏时应以 yi=- yi 代入；当起点为 HZ 时，“±”取“-”，X0=X(HZ), Y0=Y(HZ), 曲线为左偏时应以 yi=- yi 代入；曲线上任意点的方位角( i)= (ZH 或 HZ)± 为切线角 ± 为右转“”左转“当点位于圆曲线上，有为点到坐标原点的曲线长2、 非对称完整缓和曲线由于受特殊地形和地物条件限制采用对称缓和曲线型平曲线难以 与地形条件相结合， 于是引入非对称缓和曲线型平曲线。 非对称缓和 曲线在计算时较困难， 不能简单套用对称缓和曲线的公式。 以下阐述 非对称缓和曲线几何要素和任意点坐标及方位角的计算原理。 （1）计算原理如图 1所示，平曲线由非对称缓和曲线 Ls1、Ls2 及半径 R 的圆曲线 组成， JD 为平曲线切线交点，转角。由于平曲线两端的缓和曲线 不等长，因此在计算平曲线各要素时就不能简单套用等长缓和曲线的 计算公式。平曲线各要素计算：或者L = aR 卫-180 0L1 + JL ?+ 9j中宀一 R:Rsin r 2R + P、ri = arcts-2SiiTMamC<nr r = arctp- 2 arCtS口RE 二 KSuTM4p.com或 E 0=121外矢距arctg由于缓和曲线的不等长，故曲线的中点与圆曲线的中点并不一致，为便于测设, 一般取曲线的交点与圆心的连线与圆曲线的交点虬作为曲线的中点注：第一式最后一项应 +q1根据交点坐标和切线长计算缓和曲线起点( ZH 或 HZ )坐标：X(ZH)=X(JD)+T 1× COSY(ZH)=Y(JD)+T1 ×Sin 为 JD ZH方位角X(HZ)=X(JD)+ T 2×COSY(ZH)=Y(JD)+T2×Sin 为 JDHZ方位角旋转曲线上任意点坐标按基本型缓和曲线的切线支距法和坐标变换、 来计算求出3、 非完整缓和曲线（卵形曲线）卵形曲线是指在两个同向、 半径不等的圆曲线间插入一段不完整的缓和曲线，即卵形曲线是缓和曲线的一段， 在插入时去掉了靠近半径无首先需要计算出实际并不存在只是在计算过程中起辅助作用的完整 缓和曲线段的起点即 ZH 或 HZ 点桩号、坐标和切线方位角。这样卵 形曲线段的计算就转化为完整缓和曲线段的计算。（1） 卵形曲线参数式中： R大，R 小为卵形曲线相连的两圆曲线半径，为非完整缓和曲线段即卵形曲线段长度。（2） 与 相对应的完整缓和曲线的长度 为3） 卵形曲线的起点 Q（接大半径圆的点）至假设存在的完整缓和曲线起点 ZH 或 HZ 点的弧长 为或=(4) 与 对应的弦长 为又因为Q切线角Q切点 Q 至假设起点 ZH(HZ) 的弦切角故可得， Q 点至 ZH 点的方位角ZH 点的切线方位角Q 点至 HZ 点的方位角HZ 点的切线方位角求得卵形曲线起点 Q 至 ZH(HZ) 的弦长 和方位角 后，则 ZH(HZ)点的坐标为求出假设的 ZH(HZ) 点的坐标后，就可以根据基本形缓和曲线的计算 方法来计算曲线上任意点的坐标。上面的公式( 3)到( 11)是以不完整缓和曲线的起点 Q(接大圆点) 来计算假设的完整缓和曲线起点 ZH(HZ) 的坐标。也可以以接小圆的 缓和曲线终点 YH(HY) 来计算起点 ZH(HZ) 坐标。如下： 与 相对应的完整缓和曲线的长度 为 与对应的 的弦长为总弦长： Cs= l s-l s5 /90R 2 ls2= l s-l s3/90R 2 接小圆的 YH(HY) 点的切线角总偏角： s=l s/2 R ? 180 接小圆的 YH(HY) 点到假设起点 ZH(HZ) 的弦切角ls3R 设接小圆的 YH(HY) 点为 Z ，则 Z 点至 ZH 点的方位角(Z-ZH)=(Z) 180± b 02 l s2 0 3 R ZH 点的切线方位角( ZH)=(Z) ±(Z) Z 点至 HZ 点的方位角( Z-HZ)= (Z) ±b 02 0ls3R HZ 点的切线方位角( HZ )=(Z) ± (Z) ZH(HZ) 点的坐标为(设接小圆的 YH(HY) 点为 Z)X(ZH 或 HZ)=X(Z)+ Cs cos Z-ZH(HZ)Cs 为弦长Y(ZH 或 HZ)=Y(Z)+ Cs Sin Z-ZH(HZ)注：卵形曲线上大圆包含小圆，也就是说接小圆处的曲率半径为 R 小，沿大圆方向曲率半径渐大。假设的完整缓和曲线的起点 ZH(HZ)在大圆那边4、 回头曲线 什么是回头曲线回头曲线是一种半径小、转弯急、线型标准低的曲线形式，其转 角接近、等于或大于 180 度。在实际中，我们确实经常在山区道路碰到回头曲线，基本的感觉 就是一个急弯，并且转了一百八十度，跟掉头差不多，也就是前面描 述的： 转角接近、等于或大于 180 度。下图是湘西 “公路奇观 ”的连续 回头曲线。这里所讨论的回头曲线，主要是基于其平面坐标计算的特殊性而 言的，它只有一个定义
