2023-2024学年重庆市巴南区部分学校高一（下）段考数学试卷（含解析）

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2023-2024学年重庆市巴南区部分学校高一（下）段考数学试卷（含解析）

2023-2024学年重庆市巴南区部分学校高一（下）段考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.如图，四边形ABCD中，AB=DC，则必有( )A. AD=CBB. OA=OCC. AC=DBD. DO=OB2.设a，b是非零向量，“a|a|=b|b|”是“a=b”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知向量a=(x,2)，b=(2,y)，c=(2,4)，且a/c，bc，则|ab|=( )A. 3B. 10C. 11D. 2 34.已知非零向量a，b且AB=a+2b，BC=5a+2b，CD=7a+2b，则一定共线的三点是( )A. A，B，DB. A，B，CC. B，C，DD. A，C，D5.在三角形ABC中，已知|AB+AC|=|ABAC|，|AB|=2，点G满足GA+GB+GC=0，则向量BG在向量BA方向上的投影向量为( )A. 13BAB. 23BAC. 2BAD. 3BA6.如图，矩形ABCD中，点E是线段AB上靠近A的三等分点，点F是线段BC的中点，则DE=( )A. 89DF59ACB. 109DF59ACC. 89DF+59ACD. 109DF+59AC7.在矩形ABCD中，已知E，F分别是BC，CD上的点，且满足BE=EC，CF=2FD.若点P在线段BD上运动，且AP=AE+AF(,R)，则+的取值范围为( )A. 15,75B. 35,45C. 23,34D. 15,358.已知平面向量a，b不共线，且|a|=1，ab=1，记b与2a+b的夹角是，最大时，|ab|=( )A. 1B. 2C. 3D. 2二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法错误的是( )A. 两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同B. 若非零向量AB与CD是共线向量，则A，B，C，D四点共线C. 若非零向量a与b共线，则a=bD. 若a=b，则|a|=|b|10.ABC中，下列说法正确的是( )A. 若ABBC<0，则ABC为钝角三角形B. 若AP=(AB|AB|+AC|AC|)，0,+)，则点P的轨迹一定通过ABC的内心C. 若G为ABC的重心，则AG=13(AB+AC)D. 若点O满足|OA|=|OB|=|OC|，AB=2，AC=6，则AOBC=1611.对于非零向量a=(x,y)，定义变换F(a)=(x+y,xy)以得到一个新的向量.则关于该变换，下列说法正确的是( )A. 若a/b，则F(a)/F(b)B. 若ab，则F(a)F(b)C. 存在a，b使得cosF(a),F(b)=cosa,b+12D. 设a0=(5,2)，a1=F(a0)，a2=F(a1)，a2023=F(a2022)，则a0a2023=21011三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.如图，作用于同一点O的三个力F1，F2，F3处于平衡状态，已知|F1|=1，|F2|=2，F1与F2的夹角为23，则F3的大小为_13.已知平面向量a，b，c满足bc，|b|=|c|=2，若ab=ac=8，则|a|=_14.如图，在ABC中，AB=4，AC=2，BAC=60°，已知点E，F分别是边AB，AC的中点，点D在边BC上，若DEDF=134，则线段BD的长为_四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)向量a=(3,2)，b=(1,2)，c=(4,1)：(1)求满足a=mb+nc的实数m，n；(2)若(a+kc)/(2ba)，求实数k16.(本小题15分)已知向量a与b的夹角=34，且|a|=3，|b|=2 2(1)求ab，|a+b|；(2)求a与a+b的夹角的余弦值17.(本小题15分)如图，在ABC中，AB=6，ABC=60°，D，E分别在边AB，AC上，且满足|AD|DB|=2，|CE|EA|=3，F为BC中点(1)若DE=AB+AC，求实数，的值；(2)若AFDE=8，求边BC的长18.(本小题17分)已知向量a，b满足|a|= 3，|b|=1，设a与b的夹角为(1)若对任意实数x，不等式|a+xb|a+b|恒成立，求cos的值；(2)根据(1)中a与b的夹角值，求a与a+2b夹角的余弦19.(本小题17分)如图所示，在ABC中，P在线段BC上，满足2BP=PC，O是线段AP的中点，(1)延长CO交AB于点Q(图1)，求AQQB的值；(2)过点O的直线与边AB，AC分别交于点E，F(图2)，设EB=AE，FC=AF()求证：2+为定值；()设AEF的面积为S1，ABC的面积为S2的面积为S2，求S1S2的最小值答案和解析1.【答案】D 【解析】【分析】本题考查了平行向量与相等向量、相反向量之间的关系与应用问题，属于基础题根据AB=DC，得出四边形ABCD是平行四边形，由此判断四个选项是否正确即可【解答】解：四边形ABCD中，AB=DC，AB/DC，且AB=DC，四边形ABCD是平行四边形；AD=CB，A错误；OA=OC，B错误；ACBD，C错误；DO=OB，D正确故选：D2.【答案】B 【解析】解：由a|a|=b|b|表示单位向量相等，则a,b同向，但不能确定它们模是否相等，即由a|a|=b|b|不能推出a=b，由a=b表示a,b同向且模相等，则a|a|=b|b|，所以“a|a|=b|b|”是“a=b”的必要而不充分条件故选：B根据向量相等、单位向量判断条件间的推出关系，结合充分、必要性定义即知答案本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题3.【答案】B 【解析】解：根据题意，向量a=(x,2)，b=(2,y)，c=(2,4)，若a/c，bc，则xy=444y=0，解可得x=4y=1，则ab=(3,1)，故|ab|= 9+1= 10，故选：B根据题意，由向量平行和垂直的判断方法分析可得则xy=444y=0，解可得x、y的值，即可得ab的坐标，进而计算可得答案本题考查向量数量积的计算，涉及向量平行和向量垂直的判断方法，属于基础题4.【答案】A 【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，BC=5a+2b，CD=7a+2b，则BD=BC+CD=5a+2b+7a+2b=2a+4b=2(a+2b)=2AB，则A、B、D一定共线，符合题意；对于B，AB=a+2b，BC=5a+2b，当且仅当a、b共线时，A、B、C三点共线，不符合题意；对于C，BC=5a+2b，CD=7a+2b，当且仅当a、b共线时，B、C、D三点共线，不符合题意；对于D，AB=a+2b，BC=5a+2b，AC=4a+4b，当且仅当a、b共线时，A、C、D三点共线，不符合题意故选：A根据题意，由向量共线的判断方法依次分析选项，综合可得答案本题考点平面向量共线的判断，涉及三点共线的证明，属于基础题5.【答案】B 【解析】解：在ABC中，|AB+AC|=|ABAC|，AB2+2ABAC+AC2=AB22ABAC+AC2，ABAC=0，即ABAC，点G满足GA+GB+GC=0，则G为ABC的重心，向量BG在向量BA方向上的投影为：|BG|cosABG=|BG|BABD|BA|BD|=23BABD|BA|，BDBA=(ADAB)BA=12ACBA+AB2=AB2，向量BG在向量BA方向上的投影为：23×AB2|AB|=23|AB|，则向量BG在向量BA方向上的投影向量为：23BA，故选：B根据条件得到ABAC以及G为ABC的重心，再结合投影的定义求解结论即可本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力，属于中档题6.【答案】A 【解析】解法一：依题意DE=DA+13DC,DF=DC+12DA,AC=DCDA，由式解得DA=23DF23AC,DC=23DF+13AC，代入式得DE=89DF59AC解法二：以D为原点，DC、DA分别为x、y轴的正方向建立平面直角坐标系，设DC=a，DA=b，则E(a3,b),F(a,b2),A(0,b),C(a,0)，由DE=1DF+2AC，有(a3,b)=1(a,b2)+2(a,b)，有1+2=13122=1，解得1=89,2=59，得DE=89DF59AC故选：A解法一：由平面向量的线性运算，以及平面向量基本定理，可表示DE；解法二：以D为原点，DC、DA分别为x，y轴的正方向建系，由DE=1DF+2AC，结合坐标运算，求得1，2，可表示DE本题考查了平面向量的线性运算和坐标运算，属于中档题7.【答案】B 【解析】解：如图，矩形ABCD中，已知E，F分别是BC，CD上的点，且满足BE=EC,CF=2FD，设DC=a,DA=b，则AE=AB+BE=a12b,AF=AD+DF=13ab，联立AE=a12bAF=13ab，可解得a=65AE35AFb=25AE65AF，因为点P在线段BD上运动，则可设AP=tAB+(1t)AD,0t1，所以AP=tAB+(1t)AD=ta(1t)b=t(65AE35AF)(1t)(25AE65AF)=(25+8t5)AE+(659t5)AF，又AP=AE+AF(,R)，所以=25+8t5，=659t5，则+=25+8t5+659t5=4515t，因为0t1，所以+=4515t35,45故选：B建立基底，DC=a,DA=b，则AE=a12b,AF=13ab，然后将设AP=tAB+(1t)AD,0t1，最终表示为AP=(25+8t5)AE+(659t5)AF，然后得到+=4515t，进而求出范围本题考查了平面向量的运算和平面向量基本定理的应用，属于中档题8.【答案】C 【解析】解：设|b|=x，则b(2a+b)=2ab+b2=x2+2，|2a+b|= 4a2+4ab+b2= x2+8；cos=b(2a+b)|b|2a+b|=x2+2x x2+8，易得cos>0；cos2=(x2+2)2x2(x2+8)=112(x2+2)2+4x2+2+1=112(1x2+216)2+43；当x2=4，即x=2时，cos2取得最小值，取得最大值；此时|ab|2=a22ab+b2=12+4=3；|ab|= 3故选：C把cos表示为|b|的函数，利用函数的性质求出当最大时|b|的值，进而可求出|ab|的值考查向量数量积的运算，向量夹角的余

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