2023-2024学年云南省大理州祥云县祥华中学高一（下）第一次调研数学试卷（3月份）（含解析）

2023-2024学年云南省大理州祥云县祥华中学高一（下）第一次调研数学试卷（3月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z满足ziz+1=i，则复数z=(    )A. 1iB. 1+iC. 1iD. 1+i2.已知向量a与b的夹角为45°，|a|= 2，|b|=2，则a(a2b)=(    )A. 2B. 2C. 4D. 43.已知复数z满足(1i)z=2i(i为虚数单位)，则z(z为z的共轭复数)在复平面内对应的点位于(    )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4. 在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB=(    )A. 34AB14ACB. 14AB34ACC. 34AB+14ACD. 14AB+34AC5.设为平面，a、b为两条不同的直线，则下列叙述正确的是(    )A. 若a/，b/，则a/bB. 若a，a/b，则bC. 若a，ab，则b/D. 若a/，ab，则b6.如图所示的直观图中，OA=OB=2，则其平面图形的面积是(    )A. 4B. 4 2C. 2 2D. 87.如图所示，为了测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C作为测量基点，从A点测得M点的仰角MAN=60°，C点的仰角CAB=45°，MAC=75°，从C点测得MCA=60°.已知山高BC=500m，则山高MN(单位：m)为(    )A. 750B. 750 3C. 850D. 850 38.在ABC中，D为BC上一点，且BD=3DC，ABC=CAD，BAD=23，则tanABC=(    )A. 3913B. 133C. 33D. 35二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.设z1，z2，z3为复数，z10.下列命题中正确的是(    )A. 若|z2|=|z3|，则z2=±z3B. 若z1z2=z1z3，则z2=z3C. 若z2=z3，则|z1z2|=|z1z3|D. 若z1z2=|z1|2，则z1=z210.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论中正确的是(    )A. 若acosA=bcosB，则ABC一定是等腰三角形B. 若cosA>cosB，则sinA<sinBC. 若ABC是锐角三角形，sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosCD. 若ABC是钝角三角形，则tanAtanB+tanBtanC+tanCtanA<311.如图，在菱形ABCD中，BAD=60°，延长边CD至点E，使得DE=CD.动点P从点A出发，沿菱形的边按逆时针方向运动一周回到A点，若AP=AB+AE，则(    )A. 满足+=1的点P有且只有一个B. 满足+=2的点P有两个C. +存在最小值D. +不存在最大值12.勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动(如图甲)，利用这一原理，科技人员发明了转子发动机勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体如图乙所示，若正四面体ABCD的棱长为2，则下列说法正确的是(    )A. 勒洛四面体ABCD被平面ABC截得的截面面积是8( 3)B. 勒洛四面体ABCD内切球的半径是4 6C. 勒洛四面体的截面面积的最大值为22 3D. 勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为2 62三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知向量a与向量b夹角为60°，且|a|=1，b=(3,4)，要使2a+b与a垂直，则=           14.已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，且bcosC+ccosB=asinA，则A=_15.复数2+i为一元二次方程x2+ax+b=0(a,bR)的一个根，则复数|a+bi|=           16.直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB=90°,AC=BC= 22AA1，M，N，P分别是B1C1，AA1和AC的中点，若三棱锥PMNB1的体积为V，三棱柱ABCA1B1C1的体积为V2，则V1V2= _四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题10分)m为何实数时，复数z=(2+i)m23(i+1)m2(1i)满足下列要求：(1)z是纯虚数；(2)z在复平面内对应的点在第二象限18.(本小题12分)已知锐角ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m=(b,sinB)，n=(2a, 3)，且m/n(1)求角A的大小；(2)若c=2，BC边上的中线AD长为 3，求b19.(本小题12分)已知向量a=(1,2)，b=(4,3)(1)若向量c/a，且|c|=2 5，求c的坐标；(2)若向量a+kb与akb互相垂直，求实数k的值20.(本小题12分)在ABC中，P为AB的中点，O在边AC上，BO交CP于R，且|AO|=2|OC|，设AB=a，AC=b(1)试用a，b表示AR；(2)若|a|=2,|b|=1,<a,b>=60°，求ARB的余弦值；(3)若H在BC上，且RHBC，设|a|=2,|b|=1,=<a,b>，若3,23，求|CH|CB|的取值范围21.(本小题12分)如图，在正六棱锥PABCDEF中，球O是其内切球，AB=2,PC= 13，点M是底面ABCDEF内一动点(含边界)，且OM=OP(1)求正六棱锥PABCDEF的体积；(2)当点M在底面ABCDEF内运动时，求线段OM所形成的曲面与底面ABCDEF所围成的几何体的表面积22.(本小题12分)如图，在平面四边形ABCD中，AD=BD，ADB=90°.CD=2 2，BC=2(1)若BDC=45°，求线段AC的长；(2)求线段AC长的最大值答案和解析1.【答案】D 【解析】【分析】本题考查了复数代数形式的乘除运算，属于基础题直接利用复数代数形式的乘除运算化简即可【解答】解：ziz+1=i，zi=zi+i，z=2i1i=2i(1+i)(1i)(1+i)=2+2i2=1+i，故选：D2.【答案】B 【解析】【分析】本题考查向量的数量积的求法与应用，是基础题直接利用向量的数量积的求法，化简求解即可【解答】解：向量a与b的夹角为45°，|a|= 2，|b|=2，则a(a2b)=a22ab=22× 2×2× 22=2故选B3.【答案】D 【解析】解：(1i)z=2i，z=2i1i=2i(1+i)(1i)(1+i)=1+i，z=1i，z在平面内对应的点(1,1)位于第四象限故选：D根据已知条件，结合复数代数形式的乘除法运算可得，z=1+i，再结合共轭复数的概念和复数的几何意义，即可求解本题考查了共轭复数的概念和复数的几何意义，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题4.【答案】A 【解析】【分析】本题考查平面向量的运算，以及平面向量基本定理，属于较易题根据向量的加法运算法则运算即可得解【解答】解：如图，BE=12BA+12BD=12BA+14BC=12BA+14(BA+AC)=12BA+14BA+14AC=34BA+14AC，所以EB=34AB14AC故选A5.【答案】B 【解析】解：若a/，b/，则a与b相交、平行或异面，故A错误；若a，a/b，则由直线与平面垂直的判定定理知b，故B正确；若a，ab，则b/或b，故C错误；若a/，ab，则b/，或b，或b与相交，故D错误故选：B利用空间线线、线面、面面间的关系求解本题考查命题的真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养6.【答案】A 【解析】解：由斜二测画法可知原图应为：其面积为：S=12×2×4=4，故选：A由斜二测画法还原出原图，求面积也可利用原图和直观图的面积关系，先求直观图面积，再求原图面积本题考查直观图与平面图形的画法，注意两点：一是角度的变化；二是长度的变化；考查计算能力7.【答案】A 【解析】解：在RtABC中，CAB=45°，BC=500m，所以AC=500 2m；在AMC中，MAC=75°，MCA=60°，从而AMC=45°，由正弦定理得，ACsin45=AMsin60，因此AM=500 2× 32 22=500 3m；在RtMNA中，AM=500 3m，MAN=60°，由MNAM=sin60°，得MN=500 3× 32=750m故选：A利用直角三角形求出AC，由正弦定理求出AM，再利用直角三角形求出MN的值本题主要考查了正弦定理的应用问题，也考查了解三角形的应用问题，是中档题8.【答案】D 【解析】解：法一、如图所示，在ACD和BCA中，有ACB=DCA，ABC=DAC，故ACDBCA，设CD=x，则BC=4x，CDAC=CABC，所以AC=2x设AD=y，则根据相似比：ADAB=DCAC=12=ADAB得AB=2y，又BAD=23，由余弦定理可得：cos23=4y2+y29x24y2=12，y2x2=97，则cosB=4y2+9x2y212xy=5 714，sinB= 1cos2B= 2114，故tanB= 35；法二：设B=DAC，则C=32，在ACD和BCA中，有BD=3DC，由正弦定理有：BDsin23=ADsinCDsin=ADsin(32)，两式相除得：sin(32)=2 3sin2，由三角恒等变换公式得：3 3cos2sin2=2 3，由弦化切，构造齐次式得：3 3cos2sin2sin2+cos2=2 3=3 33 3tan22tantan2+1，即5 3tan2+2tan 3=0，解之得：tan= 35或 33，在ABD中BAD=23，则B(0,3)，故tan=tanB= 35故选：D法一：根据条件，利用相似三角形的性质及余弦定理可求cosB，计算即可法二：先由正弦定理及BD=3DC可得关于B的三角恒等式，然后结合和差角公式及同角基本关系进行化简可求本题考查向量与解三角形的综合，属于压轴题方法一通过已知找到边之间的关系是关键，在根据余弦定理即可解得答案；方法二是根据“爪”型三角形，通过两次正弦定理转化边角关系，解有关角的方程，属于中档题9.【答案】BC 【解析】解：对于A，令z2=1，z3=i，满足|z2|=|z3|，但z2±z3，故A错误；对于B，z1z2=z1z3，则z1(z2z3)=0，z10，则