（特效提高）高考数学一轮精品复习 9.6 抛物线题库 理

9.6 抛物线一、选择题1抛物线x2(2a1)y的准线方程是y1，则实数a()A. B. C D解析 根据分析把抛物线方程化为x22y，则焦参数pa，故抛物线的准线方程是y，则1，解得a.答案D2若抛物线y22px(p>0)的焦点在圆x2y22x30上，则p()A. B1C2 D3解析 抛物线y22px(p>0)的焦点为(，0)在圆x2y22x30上，p30，解得p2或p6(舍去)答案 C3已知抛物线y22px(p0)的准线与圆x2y26x70相切，则p的值为()A. B1 C2 D4解析抛物线y22px(p0)的准线为x，圆x2y26x70，即(x3)2y216，则圆心为(3,0)，半径为4；又因抛物线y22px(p0)的准线与圆x2y26x70相切，所以34，解得p2.答案C4已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|12，P为C的准线上一点，则ABP的面积为()A18 B24 C36 D48解析如图，设抛物线方程为y22px(p0)当x时，|y|p，p6.又P到AB的距离始终为p，SABP×12×636.答案C5. 过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，点是原点，若,则的面积为（ ） A B C D答案C6将两个顶点在抛物线y22px(p0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则()An0 Bn1Cn2 Dn3解析结合图象可知，过焦点斜率为和的直线与抛物线各有两个交点，所以能够构成两组正三角形本题也可以利用代数的方法求解，但显得有些麻烦答案C7已知点P是抛物线y22x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为()A. B3 C. D.解析 依题设P在抛物线准线的投影为P，抛物线的焦点为F，则F.依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP|PF|，则点P到点A(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和d|PF|PA|AF|.答案A二、填空题8设抛物线y22px(p>0)的焦点为F，点A(0,2)若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为_解析 设抛物线的焦点F，由B为线段FA的中点，所以B，代入抛物线方程得p，则B到该抛物线准线的距离为.答案 9已知动圆过点(1,0)，且与直线x1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为_解析设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1,0)的距离与其到直线x1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y24x.答案y24x10已知抛物线y24x的焦点为F，准线与x轴的交点为M，N为抛物线上的一点，且满足|NF|MN|，则NMF_.解析 过N作准线的垂线，垂足是P，则有PNNF，PNMN，NMFMNP.又cosMNP，MNP，即NMF.答案 11设圆C位于抛物线y22x与直线x3所围成的封闭区域(包含边界)内，则圆C的半径能取到的最大值为_解析依题意，结合图形的对称性可知，要使满足题目约束条件的圆的半径最大，圆心位于x轴上时才有可能，可设圆心坐标是(a,0)(0a3)，则由条件知圆的方程是(xa)2y2(3a)2.由消去y得x22(1a)x6a90，结合图形分析可知，当2(1a)24(6a9)0且0a3，即a4时，相应的圆满足题目约束条件，因此所求圆的最大半径是3a1.答案112. 过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若则= 。答案三、解答题13在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点在原点，经过点A(2,2)，其焦点F在x轴上(1)求抛物线C的标准方程；(2)设直线l是抛物线的准线，求证：以AB为直径的圆与准线l相切解析 (1)设抛物线y22px(p>0)，将点(2,2)代入得p1.y22x为所求抛物线的方程(2)证明：设lAB的方程为：xty，代入y22x得：y22ty10，设AB的中点为M(x0，y0)，则y0t，x0.点M到准线l的距离dx01t2.又AB2x0p12t2122t2，dAB，故以AB为直径的圆与准线l相切14抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线，被抛物线所截得的弦长为8，试求该抛物线的方程解析依题意，设抛物线方程为y22px(p0)，则直线方程为yxp.设直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，过A、B分别作准线的垂线，垂足分别为C、D，则由抛物线定义得|AB|AF|FB|AC|BD|x1x2，即x1x2p8.又A(x1，y1)、B(x2，y2)是抛物线和直线的交点，由消去y，得x23px0，所以x1x23p.将其代入得p2，所以所求抛物线方程为y24x.当抛物线方程设为y22px(p0)时，同理可求得抛物线方程为y24x.综上，所求抛物线方程为y24x或y24x.【点评】 (1)根据问题的条件，抛物线方程可能是y22px(p0)，也可能是y22px(p0)，任何一种情况都不要漏掉.(2)要由定“性”和“量”两个方面来确定抛物线的方程.定“性”，即确定开口方向，便于设抛物线的方程.定“量”，即求所设方程中的参数p.15设抛物线y22px(p0)的焦点F，Q是抛物线上除顶点外的任意一点，直线QO交准线于P点，过Q且平行于抛物线对称轴的直线交准线于R点，求证：·0.证明y22px(p0)的焦点F准线为x.设Q(x0，y0)(x00)，则R，直线OQ的方程为yx，此直线交准线x于P点，易求得P.y2px0，··(p，y0)p2p2p20.16如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1y2的值及直线AB的斜率解析(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y22px(p0)点P(1,2)在抛物线上，222p×1，解得p2.故所求抛物线的方程是y24x，准线方程是x1.(2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB，则kPA(x11)，kPB(x21)，PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，kPAkPB.由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，得y4x1，y4x2，y12(y22)y1y24.由得，yy4(x1x2)，kAB1(x1x2)