（2013春季发行）高三数学第一轮总复习 9-7用向量方法证明平行与垂直配套训练（含解析）新人教B版
【走向高考】（2013春季发行）高三数学第一轮总复习 9-7用向量方法证明平行与垂直配套训练（含解析）新人教B版基础巩固强化1.已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E为侧面BCC1B1的中心若zxy，则xyz的值为()A1B. C2D.答案C解析.xyz12.2(2012·银川质检)若直线l1、l2的方向向量分别为a(2,4，4)，b(6,9,6)，则()Al1l2 Bl1l2Cl1与l2相交但不垂直 D以上均不正确答案B解析a·b2×(6)4×9(4)×60，ab，l1l2.3已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E、F分别是BC、AD的中点，则·的值为()Aa2 B.a2C.a2 D.a2答案C解析·()·(··)(a2cos60°a2cos60°)a2.故选C.4已知二面角l的大小为60°，点B、C在棱l上，A，D，ABl，CDl，AB2，BC1，CD3，则AD的长为()A. B. C2 D2答案C解析由条件知|2，|1，|3，120°，|2|2|2|22·2·2·4192×2×3×cos120°8，|2.5平面经过三点A(1,0,1)、B(1,1,2)，C(2，1,0)，则下列向量中与平面的法向量不垂直的是()A. B(6，2，2)C(4,2,2) D(1,1,4)答案D解析设平面的法向量为n，则n，n，n，所有与(或、)平行的向量或可用与线性表示的向量都与n垂直，故选D.6二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB4，AC6，BD8，CD2，则该二面角的大小为()A150° B45° C60° D120°答案C解析由条件知，·0，·0，.|2|2|2|22·2·2·6242822×6×8cos，11696cos，(2)2，cos，120°，所以二面角的大小为60°.7.如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E、F分别是棱BC、DD1上的点，如果B1E平面ABF，则CE与DF的和的值为_答案1解析以D1为原点，直线D1A1、D1C1、D1D为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(1,0,1)，B(1,1,1)，B1(1,1,0)，设DFt，CEk，则D1F1t，F(0,0,1t)，E(k,1,1)，要使B1E平面ABF，易知ABB1E，故只要B1EAF即可，(1,0，t)，(k1,0,1)，·1kt0，kt1，即CEDF1.8(2012·河南六市联考)如图，在平行四边形ABCD中，·0,2224，若将其沿BD折成直二面角ABDC，则三棱锥ABCD的外接球的体积为_答案解析因为ABBD，二面角ABDC是直二面角，所以AB平面BCD，ABBC，ADDC.故ABC，ADC均为直角三角形取AC的中点M，则MAMCMDMB，故点M即为三棱锥ABCD的外接球的球心由222422224，AC2，R1.故所求球的体积为V.9(2012·厦门质检)已知a(2，1,2)，b(2,2,1)，则以a、b为邻边的平行四边形的面积为_答案解析|a|3，|b|3，a·b2×2(1)×22×14，cosa，b，sina，b，S平行四边形|a|b|·sina，b.10.(2012·天津调研)如图，四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，PB与底面所成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，ABCBAD90°，PABCAD1.(1)求证：平面PAC平面PCD；(2)在棱PD上是否存在一点E，使CE平面PAB？若存在，请确定E点的位置；若不存在，请说明理由解析(1)证明：PA平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为PBA45°.AB1，由ABCBAD90°，易得CDAC，ACCD.又PACD，PAACA，CD平面PAC，又CD平面PCD，平面PAC平面PCD.(2)分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，设E(0，y，z)，则(0，y，z1)，(0,2，1)，y·(1)2(z1)0(0,2,0)是平面PAB的法向量，又(1，y1，z)，CE平面PAB.(1，y1，z)·(0,2,0)0，y1.将y1代入，得z.E是PD的中点，存在E点使CE平面PAB，此时E为PD的中点.能力拓展提升11.直三棱柱ABCABC中，ACBCAA，ACB90°，D、E分别为AB、BB的中点求证：CEAD.证明设a，b，c，根据题意，|a|b|c|，且a·bb·cc·a0，bc，()()cba.·c2b20.，即CEAD.12在棱长为1的正方体AC1中，O1为B1D1的中点求证：(1)B1D平面ACD1；(2)BO1平面ACD1.证明建立如图所示的空间直角坐标系，由于正方体的棱长为1，则B(1,0,0)，O1(，1)，D1(0,1,1)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，B1(1,0,1)，(1,1，1)，(0,1,1)，(1,1,0)，(，1)(1)·0，·0，与不共线，平面ACD1，B1D平面ACD1.(2)·0，平面ACD1.又BO1平面ACD1，BO1平面ACD1.点评第(2)问还可以通过证明(其中O为AC中点)证明13.如图，平面PAC平面ABC，ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E、F、O分别为PA，PB，AC的中点，AC16，PAPC10.(1)设G是OC的中点，证明FG平面BOE；(2)证明在ABO内存在一点M，使FM平面BOE.证明(1)如图，连接OP，以点O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，由条件知，OAOC8，PO6，OB8，则O(0,0,0)，A(0，8,0)，B(8,0,0)，C(0,8,0)，P(0,0,6)，E(0，4,3)，F(4,0,3)，G(0,4,0)因为(8,0,0)，(0，4,3)，所以平面BOE的法向量n(0,3,4)，由(4,4，3)，得n·0.又直线FG不在平面BOE内，所以FG平面BOE.(2)设点M的坐标为(x0，y0,0)，则(x04，y0，3)要使FM平面BOE，只需n，因此x04，y0，即点M的坐标是(4，0)在平面直角坐标系xOy中，AOB的内部区域可表示为不等式组经检验，点M的坐标满足上述不等式组，所以在AOB内存在一点M，使FM平面BOE.14在正三棱柱ABCA1B1C1中，H、F分别为AB、CC1的中点，各棱长都是4.(1)求证CH平面FA1B.(2)求证平面ABB1A1平面FA1B.(3)设E为BB1上一点，试确定E的位置，使HEBC1.解析在正三棱柱中，H为AB中点，CHAB，过H作HMAB交A1B1于M，分别以直线AB、HC、HM为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则B(2,0,0)，C(0，2，0)，F(0,2，2)，A(2,0,0)，A1(2,0,4)，C1(0，2，4)(1)证明：(0,2，0)，(2，2，2)，(2，2，2)，()，与不共线，平面FA1B，HC平面FA1B，HC平面FA1B.(2)证明：平面ABB1A1的一个法向量为n1(0,2，0)，设平面FA1B的一个法向量n(x，y，z)，则令x1得n(1,0,1)，n·n10，nn1，平面ABB1A1平面FA1B.(3)E在BB1上，设E(2,0，t)，(t>0)，则(2,0，t)，(2,2，4)，HEBC1，·44t0，t1，E是BB1上靠近B点的四等分点(或BEBB1)15如图，已知矩形ABCD，PA平面ABCD，M、N、R分别是AB、PC、CD的中点求证：(1)直线AR平面PMC；(2)直线MN直线AB.证明证法1：(1)连接CM，ABCD为矩形，R、M分别为AB、CD的中点，MA綊CR，AMCR为平行四边形，CMAR，又AR平面PMC，AR平面PMC.(2)连接MR、NR，在矩形ABCD中，ABAD，PA平面AC，PAAB，AB平面PAD，MRAD，NRPD，平面PDA平面NRM，AB平面NRM，则ABMN.证法2：(1)以A为原点，AB、AD、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设ABa，ADb，APc，则B(a,0,0)，D(0，b,0)，P(0,0，c)，C(a，b,0)，M、N、P分别为AB、PC、CD的中点，M(，0,0)，N(，)，R(，b,0)，(，b,0)，(，0，c)，(，b,0)，设，ARMC，AR平面PMC，AR平面PMC.(2)(0，)，(a,0,0)，·0，MNAB.1(2011·绍兴月考)已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，用向量方法求证：(1)E、F、G、H四点共面；(2)BD平面EFGH.证明(1)如图，()，由共面向量定理知：E、F、G、H四点共面(2)()，且E、H、B、D四点不共线，EHBD.又EH平面EFGH，BD平面EFGH，BD平面EFGH.2.在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA12AB2BC，E、F、E1分别是棱AA1，BB1，A1B1的中点求证：平面C1E1F平面CEF.证明以D为原点，DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设BC1，则C(0,1,0)，E(1,0,1)，C1(0,1,2)，F(1,1,1)，E1(1，2)设平面C1E1F的法向量n(x，
