外文翻译--NURBS曲线的双圆弧近中文版

计算机辅助设计34（2002）807±814NURBS曲线的双圆弧逼近计算机科学与工程学院，南佛罗里达大学，4202福勒大道，英118，坦帕佛罗里达州33620，美国系 GeomWare公司，3035大橡树圈，泰勒，TX75703 USA收到2001年5月29日;经修订的2001年7月23日;接受2001年7月26日摘要一个算法逼近任意NURBS曲线呈现。其主要思想是近似与NURBS曲线一个多边形，然后用biarcs多边形近似为所需的公差范围内。该方法使用的参数配方适当使用参数曲线的几何设计。该方法在数控是最有用的，以沿驱动所述切割器直线或圆弧路径。科学有限公司保留所有权利。 关键词：曲线近似; Biarcs;曲线和曲面;算法1引言 近似的数据，点，线或任意曲线，用各种形式的曲线是在一个基本操作工程设计。逼近直线和圆弧是特别重要的，因为该简单起见这些曲线的能力，并且由于的铣床沿直线移动，圆形路径12,19。逼近数据被C0，并通过弧7,9,15,18,21,22,25,26已调查门控过去。逼近给定曲线1,4,8,10,11,14,15,22,24,27也一直的主题广泛的研究。因为固有的限制圆逼近，双圆弧逼近是迄今为止还不如很好的研究数据所花键的逼近。 本文提出了一个近似的NURBS方法 曲线由一组双圆弧曲线向用户指定内宽容。该方法的主要思想总结，如下：·通过多边形逼近NURBS曲线内一定的耐受性;·近似与其结束点位于多边形曲线上，且其末端切线的切线曲线采取的双圆弧的终点;·曲线位于从给定的在公差范围内的曲线。本文的结构如下。在第2节一双圆弧配方给予，其次是第3节，其中在近似方法的细节介绍。一些测试和例子在第4节的纸张前关闭了一些结论。2双圆弧配方Biarcs出现在工程设计作为文学，早在20世纪70年代 2,3,21 ，研究一直在持续，虽然比较温和，直到今天 9,13,15,20,22,23,26 。利用两个圆弧代替的想法之一，是由于这一事实，即圆弧所无法比拟的两端点和两个端相切条件。选择两条曲线，即分段曲线，这些条件很好地满足。更精确地说，给定的两个位置Ps和PË和两个单元结束切线s和TË 一个件明智的圆弧寻求使：·它传递至Ps和PË·它是切线为Ps到Ts，并在P点Ë到TË和·弧加入G中连续性。在一般情况下，两个圆弧是令人满意的，但是，一些特殊情况下需要4个圆弧。绝大多数双圆弧配方坐标依赖于系统中，计算各个半径基于角度和三角学。虽然这是一个正确的做法，它是不恰当的参数曲线的世界。下面我们给所独立的坐标系统中的推导并依托完善的NURBS配方图1.双圆弧配方参照图如图1所示，未知控制点P1，P2和P3被寻求。下面，欧几里德突起P1，P2和P3 首先被计算，然后适当的权重被分配给它们。由于端切线被假定为单位的长度，我们得到因为圆的控制三角形必须是一个等腰三角形，下面必须持有这相当于P1代 和P3 进入P2的方程的差矢量计算如下：其中。计算点积公式中。 （3）， 一个得到简化后唯一的未知数的方程。 （6）是常数a和b。 各种条件可以在比A / B被施加到具有一个独特的解决方案。是在本研究，您的选择是设置 B，在此之后，通用公式简化为式。 （6）是一个类似于在参考文献中找到。 13与选择 的 b为与文献一致。这种选择不仅使计算简单，它成为关键再生循环数据。在一般情况下，方程（7） 总是有一个正根，它与方程在一起（1）唯一确定的未知控制点。 上述配方的吸引人之处在于特殊情况下，很容易识别和计算。这些情况出现时；第一个条件意味着该端的切线平行， 而第二状态，该结束的矢量和切线垂直于弦连接的端点中的平行端切线biarcs的情况下，可以构建无解二次方程。该 第二种类型的特殊情况是由接头2 biarcs解决一起在弦接合结束点的中点，使用切线作为结束切线的平分线方向蒸发散。 表达biarcs在NURBS形式，除还需要控制点，节点值和权重。为双弧双圆弧曲线设T为计算作为参数值那么节点矢量简直是它可以重新缩放到任何其他跨度以产生更一般形式权重分配如下其中A1和A2 表示第一个的一半扫描角度和第二圆弧，分别。3.NURBS逼近 对于符号上的便利，我们开始与曲线定义。度P的普通NURBS曲线是德®定义为 如下：其中Pi 是加权控制点，以及Ni是定义在节点矢量归一化的B样条给定一个用户定义的公差E，分段G1双圆弧曲线 寻求使双圆弧不会从曲线偏离大于E。也就是说，对于任何给定的点P躺在分段双圆弧，其中p是对应的投影参数图2，多边形分解P到NURBS曲线。为了获得这种近似，下面概念性程序被应用，图2： ·获得的NURBS曲线的多边形近似来在公差E /2; ·偏移通过e/2在每个方向上的多边形来获得脂肪宽度e的多边形;和 ·构建分段G1双圆弧曲线，它位于内脂肪多边形。由于E /2多边形逼近，原 NURBS曲线完全位于脂肪多边形内。如果G1双圆弧还在于脂肪的多边形内，它接近曲线内É。因此，第一个目标是获得一个NURBS曲面的快速和可靠的多边形分解曲线。3.1多边形分解 基本上有两种多边形分解为：（1）参数;和（2）的几何。该参数分解来计算一组参数，其中多边形的顶点被假定。为了避免整个计算，如弯曲，同样的间隔参数进行计算。如果曲线是参数在0，1，点的数量计算如下:其中M是一界上的二阶导数。给定n，则 多边形分解需要计算点的1 / n 增量。虽然这是一个非常简单的方法，并且它工作相当充分的公差大，它有许多不足之处： ·它是参数化依赖，同样的曲线，即不同的参数化可能会大大不同的衍生工具，因此点数;计算一个尖锐界的二阶导数是一个具有挑战性的问题，特别是对理性的曲线;和 ·在式趋于过采样的曲线相当多的使算法中一个缓慢的下降（见表1）。其中lP0，PP表示P0and PP之间为什么NURBS分解为BeÂzier原因是直线 双重的：（1）个体BeÂzier片往往是简单的，以及（2）细分BeÂzier比细分便宜 将NURBS。 这两种方法的比较，发现在表1using中所示的测试曲线。 2，p和g表示的由参数变化与几何过程所需的多边形顶点的数量，respectively.It显然，对于高精密制造thederivative基础的方法提供点的望而却步largenumber。即使在10的范围23±1024它过样品以25的平均系数，因此，在这研究几何方法选择。3.2 差错控制 由于顶点的PS，PE的一个子集 中，目的是要检查双圆弧，装到PS，PE和切线那里，是可以接受的近似。也就是说，双圆弧必须在E中的多边形PS，PE/ 2。的核心要素差错控制的是距离的计算之间的线段PQ和圆弧，图3。 假设这两个点是圆弧的扫描角范围内，该距离是德®定义为如表1图3。线段和圆弧的距离点M是中心C的垂直投影到线段PQ 。如果其中一个点是不属于扫掠角，线段是夹相对于的边界射线和新业务进行测试。如果两个点的后掠角外，线段是不接受和prede ® NED的距离，所谓的定义，是返回。现在，给定一个双圆弧曲线和多边形，则算法过程如下。1，对于每个顶点， ®第二最接近的双圆弧。请注意，一个多边形顶点可以更加扫描角度范围内谎言不止一个双圆弧。2，对于每个多边形计算腿从距离参与第一步中获得的圈子。一些例子示于图4所示。图4（a）示出了 C形双圆弧中，几乎所有的点都在范围内扫两个biarcs的角度。线段朝向的双圆弧的中间被分割，使得第一部分被测试靠第一圆弧，而第二个是针对测试第二电弧。一个S形的例子中给出了图图4（b）所示。只有一个弧是从每个点可见，两个多边形必须被分割为成功的错误检查。图。图4（c）所示。当端部切线的矢量和是特例 垂直于弦。有几个点是从可见3个圆弧，并且只有一条腿分割是必要的，因为所有的点都在各自最亲密的弧线，只有一个除外。特殊情况下的直线，由共线端部的切线定义的，是在图1所示。图4（d）所示。所有点都必须突出到内部线段的一部分并且必须是在公差范围内。图4（a）C型双圆弧与点的子集。 （b）S形双圆弧与点的子集。 （c）四部分双圆弧与点的子集。 （d）简并双圆弧与点的子集。图4 （a） C型双圆弧与点的子集。 （b） S- shap3.3 .双圆弧拟合给出的双圆弧配方和误差控制机制，一个非常强大的算法可以被设计为近似任意NURBS曲线。该算法的主要步骤概述如下。1，分解的NURBS曲线进入的至少C1段连续性。即，从输入的曲线具有多重性的结不到的程度提取物片段。后面这一步的原理是捕捉到尖点或直线段。如果一个轮廓曲线包含了弯道，直线和圆弧，这些段通常由多重海里等于拼凑度。2，对于每个至少C1流畅的曲线得到一个双圆弧.操作步骤如下。2.1 。获取一个多边形分解为E / 2 。同时存储多边形的顶点以及参数，其中这些顶点假设。2.2 。计算单元的切线在多边形的顶点。2.3 。段顶点设置成一个子集，从而使装biarcs满足公差要求。2.4 。一块biarcs连成一个G1NURBS曲线以节省储存空间。结矢量由下式计算交界处的弦长参数化点作为概括为两部分以上。编双圆弧与点的子集。 （c）四部分双圆弧与点的子集。 （d）简并双圆弧与点子集。都在从多边形逼近宽容，其数量r是最佳的以某种方式。最优能是许多形式，例如弧的最小数目，最小平均误差，最小曲率范围等经验表明这种计算最佳是相当昂贵甚至有可能不会产生美观的曲线。该这是应用方法是一个简单的搜索技术， 尝试第二最长的圆弧一旦一个起点和一个开始切线计算。 该方法首先找到最长的电弧从起始开始。一旦第一电弧被发现时，增量kD的是设置为开始和结束索引之间的差。这个想法是从计算机图形借来的，被称为一致性原则。即，预期的第i个段近似为大约相同数量的顶点的第（i 2 1 ）个人做。如果碰巧第i段立即公差范围内，最终指数科延伸。二进制搜索开始一旦点设置PS，PE不能由一个近似电弧所需的公差范围内。即使在上述分割方法不严格优化，实践经验表明，此外，根据一致性原则，使搜索该算法相当快，因为每个新的双圆弧建设要求不超过几个迭代多。图5示出了该算法的工作。该biarcs与控制点（实线）和原始曲线（虚线）示于图图5（a ）使用0.02 。为了更好地可视化，该控制点在图上被关闭。 5（ b）所示。图5（c ）是关键® GURE显示所有三条曲线，原始曲线（虚线） ，该双圆弧逼近（固体）为以及多边形逼近（实线） ，是内脂肪多边形。图。图5（d ） ± （六）目前曲率曲线的耐受元代，分别为。注意变化在沿原曲线的曲率。该双圆弧近似的目的是要再现的形状这条曲线有一个阶梯函数。这清楚地表明这更适合于双圆弧近似的曲线是那些已经顺利曲率变化。它采取了10公差夺回路径的弯曲的细节TURE情节，图5 （ f）所示。请注意，两个小区不重叠由于在这两条曲线的参数的差（原NURBS曲线和它的双圆弧逼近） 。然而，曲率情节无论是外形，以及作为峰相当不错转载。4，测试和实例上述算法已经过测试的各种数据集，包括开放式和封闭式的曲线。我们能够实时近似任意NURBS曲线最多27宽容在Windows工作站上。错误检查也被执行，并且发现，该近似是很好的给定公差，即在大多数情况下，内最大误差被认为是比一半稍多的需要宽容。两个测试案例示于图6和7所示。图6（ a）表示的直链曲线的双圆弧近似和、图.5 （a）双圆弧近似：=0.02 （b）双圆弧逼近，控制点关闭：=0.02。 （c）双圆弧逼近脂肪多边形：=0.02。 （d） 曲率曲线;。=0.02。